相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析一、 相似、全等的关系全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面， 全等形是相似比为1的特殊 相似形，相似形则是全等形的推广.因而学习相似形要随时与全等形作比较、 明确它们之间 的联系与二、 相似三角形（1）三角形相似的条件：① ___________________ :② ________________________ :③_______________________________ . 三、 两个三角形相似的六种图形：四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路：1） 先找两对内角对应相等（对平行线型找平行线），因为这个条件最简单； 2） 再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3） 若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例；尺 f 找另一角 --------- ►两角对应相等，两三角形相似a ）已知一对等［找夹边对应成比例 ——两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似找夹角相等 ►两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例 三边对应成比例，两三角形相似、二m 人击冷 J 找另一角 ------------ 两角对应相等，两三角形相似 c ） 己知'—个直角 ■L 找两边对应成比例 判定定理1或判定定理4找顶角对应相等判定定理1d ） 有等腰关系-找底角对应相等 判定定理1 I 找底和腰对应成比例 ---- ►判定定理3e ）相似形的传递性若2, △ 3,则3五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是： 先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形， 若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定” ；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定” 。
例1、已知：如图，△ AB （中 ,CE 丄AB,BF 丄AC. 求证:AE AC気AF BAb ）己知两边对应成比無件条件厶条件三上乙日築件务件4■厶D 条件AD 是RtABC 斛边上的高只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出 基本图形，从而使问题得以解决•（判断“横定”还是“竖定”？例2、如图，CD 是Rt △ ABC 的斜边 AB 上的高，/ BAC 的 平分线分别交 BC 、CD 于点E 、F , AC • AE=AF • AB 吗？ 说明理由。
分析方法：1） ________________________ 先将积式 2） ______________ （ “横定”还是“竖定”？）例1、已知：如图，△ ABC 中，/ ACB=90, AB 的垂直平分线交AB 于D,交BC 延长线于F 。
分析方法： 1） 先将积式2） （ “横定”还是“竖定”？ ）L» C '求证：CD 2=DE- DF 。
六、过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形， 这就要考虑灵活地运用 过渡”，其主要类型 有三种，下面分情况说明. 1、等量过渡法（等线段代换法） 遇到三点定形法无法解决欲证的问题时， 即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同 一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形， 但这两个三角形并不相 似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段， 如 果没有，可考虑添加简单的辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换得 当，问题往往可以得到解决。
当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1:如图3, △ABC 中，AD 平分/ BAC , AD 的垂直平分线 FE 交BC 的延长线于 E .求证：DE 2 = BE- CE . 分析： 2、等比过渡法（等比代换法） 当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法, 即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥， 也就是通过对已知条件或图形的深入分析, 找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角 形。
例2:如图4,在△ABC 中，/ BAC=90 , AD 丄BC , E 是AC 的中点, 交AB 的延长线于点F . 求证: AB AC DFAF思考冋题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段代换，或用等比代换，然后再用三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法。
例3:如图5,在△ABC中，/ ACB=90 , CD是斜边AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BE丄AG,垂足为E,交CD于点F. J 求证：CD2= DF-DG ./£A圏§I)E“遇等积，化比例：横找竖找定相似; 不相似，不用急：等线等比来代替。
2. 如图，A ABC中，点DE在边BC上，且A ADE是等边三角形，/ BAC=120 求证：（1 ）A ADB^A CEA; （2）DE2=BD- CE;（3）AB • AC=AD BC.3.如图，平行四边形ABCD中，E为BA延长线上一点，/ D=Z ECA.求证：AD- EC=AC EB .£小结：证明等积式思路口诀:同类练习：1. 如图，点D、E分别在边AB、AC上，且/ ADEN C求证：(1)A ADE^A ACB; (2)AD-AB=AE- AC.（1题图）（2题图）5. 如图，E 是平行四边形的边 DA 延长线上一点，EC 交AB 于点G,交BD 于点F, 求证：FC2=FG ・ EF.6. 如图，E 是正方形 ABCD 边BC 延长线上一点，连接 AE 交CD 于F,过F 作FMI BE 交DE 于 M.求证：FM=CF.7. 如图，△ ABC 中，AB=AC 点D 为BC 边中点, 点F 、G,连接FC.求证：（1） BF=CF. (2)BF 2=FG- FE.&如图，/ ABC=90 ,AD=DB,DE1 AB,9. 如图，ABCD 为直角梯形， AB// CD,AB 丄 BC,AC 丄 BC 。
AD= BD 过 E 作 EF / AB 交 AD 于 F. 是说明：(1) AF=BE;(2)AF2=AE ・EC.CE// AB,BE 分别交 AD AC 于10. A ABC 中,/ BAC=90 ,AD 丄 BC,E 为 AC 中点。
求证：AB:AC=DF:AF 。
11. 已知，CE 是RT A ABC 斜边AB 上的高，在 EC 延长线上任取一点 P,连接AP,作BGLAP, 垂足为G ,交CE 于点D.例2 如图6, CABCD 中，E 是BC 上的一点，AE 交BD 于点F ,已知BE : EC = 3: 1 ,S ^FBE = 18,求：(1)BF : FD(2)S 济DA七、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明： 常用三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法 等•若比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比 转移”必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似三角形来证明.图6 EC例3 如图7在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线, 于N .求：AN : AB 的值；例4 如图8在矩形 ABCD 中，E 是CD 的中点，BE 丄AC 交AC 于F ，过F 作FG // AB 交 AE 于 G .求证：AG 2= AF XFCl例5 如图在 A ABC 中，D 是BC 边的中点，且 AD = AC , DE 丄BC ,交AB 于点E , EC例6如图10过MBC 的顶点C 任作一直线与边 AB 及中线AD 分别交于点F 和E .过 点D 作DM // FC 交AB 于点M .⑴若S ^AEF ： ⑵求证：AE XFB = 2AF XEDM 是AD 的中点，CM 的延长线交AB交AD 于点F .⑴求证: △ABCFCD ;⑵若 S ZFCD = 5,D IVI CS 四边形 图例7 己知如图11在正方形ABCD 的边长为1 ,P 是CD 边的中点，Q 在线段BC 上, 当BQ 为何值时， A ADP 与A QCP 相似？ABCD 中，AD // BC ,/ A = 90°, AB = 7, AD = 2, BC = 3.试 使得以 P 、A 、D 为顶点的三角形与以 P 、B 、C 为顶点的三角形相似.例11.如图，已知△ ABC 中，AB=AC , AD 是BC 边上的中线， CF / BA , BF 交AD 于P 点，交AC 于E 点。
求证：BP 2=PE • PF 。
九、相似三角形中的辅助线在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到 成比例的线段或得出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等 量关系。
主要的辅助线有以下几种：例8己知如图 在边AB 上确定点 12在梯形 P 的位置， 中，/ BAC=900 , AD 丄 BC , E 是 AC求证:朋 DF、作平行线例1.如图， ABC 的AB 边和AC 边上各取一点 D 和E ,且使AD = AE , DE 延长线与BC例4、如图4-7，已知平行四边形 ABCD 中，对角线AC 、BD 交于0点，E 为AB 延长线上 一点，0E 交 BC 于 F ，若 AB=a , BC=b , BE=c ,求 BF 的长.例5、△ ABC 中，在AC 上截取 AD ，在CB 延长线上截取 BE ,使AD=BE ,求证：DF ?AC=BC ?FE延长线相交于F ，求证:BFCFBDCEAE= __________E 为BD 的中点，贝U AF : C例6:如图△ ABC 中，AD 为中线，CF 为任一直线，CF 交AD 于E ,交AB 于F ,求证：AE ED=2AF FBo于G .求AG : AC 的值.二、作延长线例7.如图，Rt ABC 中，CD 为斜边 AB 上的高，E 为CD 的中点，AE 的延长线交 BC 于F , FG AB 于G ,求证：2FG 2=CF ?BFAF例&如图4-1，已知平行四边ABCD 中，E 是AB 的中点,1 AD3 ，连 E 、F 交 ACB三、作中线例10: 已知：如图，△ ABC中，AB = AC , BD丄AC于D .求证：BC2= 2CD • AC .。