2017年江苏省淮安市高考数学二模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．已知集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B=．2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的模是．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S是．4．现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是．5．100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是．7．现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．8．函数f（x）=的定义域是．9．已知{a n}是公差不为0 的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3=a4a5，S9=1，则a1的值是．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2=9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是．11．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若•=﹣7，则•的值是．12．在△ABC中，已知AB=2，AC2﹣BC2=6，则tanC的最大值是．13．已知函数f（x）=其中m＞0，若函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是．14．已知对任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程. 15．已知sin（α+）=，α∈（，π）．求：（1）cosα的值；（2）sin（2α﹣）的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，A1B与AB1交于点D，A1C与AC1交于点E．求证：（1）DE∥平面B1BCC1；（2）平面A1BC⊥平面A1ACC1．17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C 的坐标为（2，），求a ，b 的值；（2）设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且=，求直线AB 的斜率．18．一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．19．已知函数f （x ）=，g （x ）=lnx ，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数y=f （x ）g （x ）在x=1处的切线方程；（2）若存在x 1，x 2（x 1≠x 2），使得g （x 1）﹣g （x 2）=λ[f （x 2）﹣f （x 1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e ；（3）若对任意的x ∈（0，1]，不等式f （x ）g （x ）≤a （x ﹣1）恒成立，求实数a 的取值范围．20．设数列{a n }的前n 项和为S n （n ∈N *），且满足：①|a1|≠|a2|；=（n2+n）a n+（n2﹣n﹣2）a1，其中r，p∈R，且r≠0．②r（n﹣p）S n+1（1）求p的值；（2）数列{a n}能否是等比数列？请说明理由；（3）求证：当r=2时，数列{a n}是等差数列．A.[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB=∠ADC．求证：AD•BC=2AC•CD．B.[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵A满足：A=，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．C.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，已知直线（l为参数）与曲线（t 为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．D.[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y，z均为正实数，且xyz=1，求证： ++≥xy+yz+zx．【必做题】每小题10分，共计20分.25．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a （a 为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a ，求观众与乐队的互动指数之和X 的概率分布及数学期望．26．设n ≥2，n ∈N *，有序数组（a 1，a 2，…，a n ）经m 次变换后得到数组（b m ，1，b m ，2，…，b m ，n ），其中b 1，i =a i +a i +1，b m ，i =b m ﹣1，i +b m ﹣1，i +1（i=1，2，…，n ），a n +1=a 1，b m ﹣1，n +1=b m ﹣1，1（m ≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）． （1）若a i =i （i=1，2，…，n ），求b 3，5的值；（2）求证：b m ，i =a i +j C m j ，其中i=1，2，…，n ．（注：i +j=kn +t 时，k ∈N *，i=1，2，…，n ，则a i +j =a 1）2017年江苏省淮安市高考数学二模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分）.1．已知集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B={0，3} ．【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：集合A={0，3，4}，B={﹣1，0，2，3}，则A∩B={0，3}；故答案为：{0，3}2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则复数z的模是．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式求解．【解答】解：∵z==，∴．故答案为：．3．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S是17．【考点】伪代码．【分析】执行程序，依次写出每次循环得到的I，S的值，当I=7时不满足条件I＜6，输出S的值为17．【解答】解：执行程序，有I=1满足条件I＜6，I=3，S=9；满足条件I＜6，I=5，S=13；满足条件I＜6，I=7，S=17，不满足条件I＜6，输出S的值为17．故答案为：17．4．现有1000根某品种的棉花纤维，从中随机抽取50根，纤维长度（单位：mm）的数据分组及各组的频数如表，据此估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是180．【考点】频率分布直方图．【分析】由频率分布表先求出纤维长度不小于37.5mm的频率，由此能估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数．【解答】解：由频率分布表知：纤维长度不小于37.5mm的频率为：=0.18，∴估计这1000根中纤维长度不小于37.5mm的根数是1000×0.18=180．故答案为：180．5．100张卡片上分别写有1，2，3，…，100，从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率是．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】在100张卡片上分别写上1至100这100个数字，从中任取一张共有100种取法，其中所得卡片上的数字为6的倍数的数是6，12，…，96，可得出满足条件的数据的个数，再利用古典概型的概率计算公式即可得出．【解答】解：在100张卡片上分别写上1至100这100个数字，从中任取一张共有100种取法，其中所得卡片上的数字为6的倍数的数是：6，12，18，24，30，36，42，48，54，60，66，72，78，84，90，96共16个，∴所得卡片上的数字为6的倍数的数共有16个．∴所得卡片上的数字为6的倍数的概率P==，故答案为：．6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2=4x上一点P到焦点的距离为3，则点P的横坐标是2．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知|PF|=3，则P到准线的距离也为3，即x+1=3，即可求出x．【解答】解：∵抛物线y2=4x=2px，∴p=2，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，∴|PF|=x+1=3，∴x=2，故答案为：2．7．现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是cm．【考点】球的体积和表面积．【分析】该铁球的半径为r，先求出锥体体积，再由圆球体积=锥体体积，由此能求出结果．【解答】解：设该铁球的半径为r，∵底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥实心铁器，∴锥体的母线、半径、高构成直角三角形，∴h==4，锥体体积V=×π×32×4=12π，圆球体积=锥体体积V==12π，解得r=．故答案为：．8．函数f（x）=的定义域是[﹣2，2] ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0求解对数不等式得答案．【解答】解：由lg（5﹣x2）≥0，得5﹣x2≥1，即x2≤4，解得﹣2≤x≤2．∴函数f（x）=的定义域是[﹣2，2]．故答案为：[﹣2，2]．9．已知{a n}是公差不为0 的等差数列，S n是其前n项和，若a2a3=a4a5，S9=1，则a1的值是．【考点】等差数列的前n项和．【分析】设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），由等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出a1的值．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d（d≠0），∵a2a3=a4a5，S9=1，∴，解得：a1=，故答案为：．10．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：（x﹣4）2+（y﹣8）2=1，圆C2：（x﹣6）2+（y+6）2=9．若圆心在x轴上的圆C同时平分圆C1和圆C2的圆周，则圆C的方程是x2+y2=81．【考点】圆的标准方程．【分析】由题意，圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径，求出圆心坐标，可得结论．【解答】解：由题意，圆C与圆C1和圆C2的公共弦分别为圆C1和圆C2的直径，设C（x，0），则（x﹣4）2+（0﹣8）2+1=（x﹣6）2+（0+6）2+9，∴x=0，∴圆C的方程是x2+y2=81．故答案为x2+y2=81．11．如图，在平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，若•=﹣7，则•的值是9．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性表示与数量积运算，利用•=（+）•（+）求出||=||=4；再利用•=（+）•（+）求出运算结果．【解答】解：平面四边形ABCD中，O为BD的中点，且OA=3，OC=5，∴+=；若•=﹣7，则（+）•（+）=+•+•+•=+•（+）﹣=32﹣=﹣7；∴=16，∴||=||=4；∴•=（+）•（+）=•+•+•+=﹣+•（+）+=﹣42+0+52 =9．12．在△ABC 中，已知AB=2，AC 2﹣BC 2=6，则tanC 的最大值是 ．【考点】余弦定理．【分析】由已知及余弦定理可得（）2﹣2××cosC +=0，由于△≥0，可求cosC≥，由于C 为锐角，根据正切函数的单调性可求当cosC=时，tanC 取最大值，利用同角三角函数基本关系式可求tanC 的最大值． 【解答】解：∵AB=c=2，AC 2﹣BC 2=b 2﹣a 2=6， ∴由余弦定理可得：4=a 2+b 2﹣2abcosC ，∴（b 2﹣a 2）=a 2+b 2﹣2abcosC ，∴（）2﹣2××cosC +=0， ∵△≥0，∴可得：cosC ≥，∵b ＞c ，可得C 为锐角，又∵tanC 在（0，）上单调递增，∴当cosC=时，tanC 取最大值，∴tanC===．故答案为：．13．已知函数f （x ）=其中m ＞0，若函数y=f （f （x ））﹣1有3个不同的零点，则m的取值范围是（0，1）．【考点】函数零点的判定定理．【分析】分类讨论，得出m﹣1＜0，即可确定实数m的取值范围．【解答】解：由题意，x＜0，f（x）=﹣x+m＞0，f（f（x））=（﹣x+m）2﹣1=0，则x=m ±1当1＞x≥0，f（x）=x2﹣1＜0，f（f（x））=﹣x2+1+m=0，x=；当x≥1，f（x）=x2﹣1≥0，f（f（x））=（x2﹣1）2﹣1=0，∴x=∵函数y=f（f（x））﹣1有3个不同的零点，∴m﹣1＜0∴m＜1，∵m＞0，∴m∈（0，1）．故答案为（0，1）．14．已知对任意的x∈R，3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3（a，b∈R）恒成立，则当a+b取得最小值时，a的值是﹣．【考点】函数恒成立问题．【分析】由题意可令sinx+cosx=﹣，两边平方，结合二倍角正弦公式，代入原式可得a+b≥﹣2，考虑最小值﹣2，再令t=sinx+cosx，求得t的范围，化简整理可得t的二次不等式，运用判别式小于等于0，即可求得a，b的值，再代入检验即可得到a的值．【解答】解：由题意可令sinx+cosx=﹣，两边平方可得1+2sinxcosx=，即有sin2x=﹣，代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，可得﹣a﹣b≤3，可得a+b≥﹣2，当a+b=﹣2时，令t=sinx+cosx=sin（x+）∈[﹣，]，即有sin2x=t2﹣1，代入3a（sinx+cosx）+2bsin2x≤3，可得﹣2bt2+3（2+b）t+3+2b≥0，对t∈[﹣，]恒成立，则△=9（2+b）2+8b（3+2b）≤0，即为（5b+6）2≤0，但（5b+6）2≥0，则5b+6=0，可得b=﹣，a=﹣．而当b=﹣，a=﹣时，3a（sinx+cosx）+2bsin2x=﹣t﹣（t2﹣1）=﹣（t+）2+3≤3．所以当a+b取得最小值﹣2，此时a=﹣．故答案为：﹣．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程.15．已知sin（α+）=，α∈（，π）．求：（1）co sα的值；（2）sin（2α﹣）的值．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）利用两角和差公式打开，根据同角三角函数关系式可求cosα的值；（2）根据二倍角公式求出cos2α，sin2α，利用两角和差公式打开，可得sin（2α﹣）的值．【解答】解：（1）sin（α+）=，即sinαcos+cosαsin=，化简：sinα+cosα=…①sin2α+cos2α=1…②．由①②解得cosα=﹣或cosα=∵α∈（，π）．∴cosα=﹣（2）∵α∈（，π）．cosα=﹣∴sinα=，那么：cos2α=1﹣2sin 2α=，sin2α=2sinαcosα=∴sin （2α﹣）=sin2αcos﹣cos2αsin=．16．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ⊥BC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE ∥平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用三角形中位线的性质证明DE ∥BC ，即可证明DE ∥平面B 1BCC 1； （2）证明BC ⊥平面A 1ACC 1，即可证明平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1． 【解答】证明：（1）由题意，D ，E 分别为A 1B ，A 1C 的中点， ∴DE ∥BC ，∵DE ⊄平面B 1BCC 1，BC ⊂平面B 1BCC 1， ∴DE ∥平面B 1BCC 1；（2）∵AA 1⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴AA 1⊥BC ，∵AC ⊥BC ，AC ∩AA 1=A ， ∴BC ⊥平面A 1ACC 1， ∵BC ⊂平面A 1BC ，∴平面A 1BC ⊥平面A 1ACC 1．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．（1）若点C的坐标为（2，），求a，b的值；（2）设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且=，求直线AB的斜率．【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】（1）利用抛物线的离心率求得=，将（2，）代入椭圆方程，即可求得a和b的值；（2）方法二：设直线OC的斜率，代入椭圆方程，求得C的纵坐标，则直线直线AB的方程为x=my﹣a，代入椭圆方程，求得B的纵坐标，由=，则直线直线AB的斜率k==；方法二：由=，y2=2y1，将B和C代入椭圆方程，即可求得C点坐标，利用直线的离心率公式即可求得直线AB的斜率．【解答】解：（1）由题意可知：椭圆的离心率e===，则=，①由点C在椭圆上，将（2，）代入椭圆方程，，②解得：a2=9，b2=5，∴a=3，b=，（2）方法一：由（1）可知：=，则椭圆方程：5x2+9y2=5a2，设直线OC的方程为x=my（m＞0），B（x1，y1），C（x2，y2），，消去x整理得：5m2y2+9y2=5a2，∴y2=，由y2＞0，则y2=，由=，则AB∥OC，设直线AB的方程为x=my﹣a，则，整理得：（5m2+9）y2﹣10amy=0，由y=0，或y1=，由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，则=2×，（m＞0），解得：m=，则直线AB的斜率=；方法二：由（1）可知：椭圆方程5x2+9y2=5a2，则A（﹣a，0），B（x1，y1），C（x2，y2），由=，则（x1+a，y1）=（x2，y2），则y2=2y1，由B，C在椭圆上，∴，解得：，则直线直线AB的斜率k==．直线AB的斜率．18．一缉私艇巡航至距领海边界线l（一条南北方向的直线）3.8海里的A处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击，已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍，假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°≈，≈5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC．△ABC中，由余弦定理、正弦定理即可求解；（2）建立坐标系，求出P的轨迹方程，即可解决．【解答】解：（1）设缉私艇在C处与走私船相遇，则AC=3BC．△ABC中，由正弦定理可得sin∠BAC==，∴∠BAC=17°，∴缉私艇应向北偏东47°方向追击，△ABC中，由余弦定理可得cos120°=，∴BC≈1.68615．B到边界线l的距离为3.8﹣4sin30°=1.8，∵1.68615＜1.8，∴能最短时间在领海内拦截成功；（2）以A为原点，建立如图所示的坐标系，则B（2，2），设缉私艇在P（x，y）出与走私船相遇，则PA=3PB，即x2+y2=9[（x﹣2）2+（y﹣2）2]，即（x﹣）2+（y﹣）2=，∴P的轨迹是以（，）为圆心，为半径的圆，∵圆心到边界线l：x=3.8的距离为1.55，大于圆的半径，∴无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇总能在领海内成功拦截．19．已知函数f（x）=，g（x）=lnx，其中e为自然对数的底数．（1）求函数y=f（x）g（x）在x=1处的切线方程；（2）若存在x1，x2（x1≠x2），使得g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]成立，其中λ为常数，求证：λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出函数的导数，计算x=1时y和y′的值，求出切线方程即可；（2）令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+，（x＞0），求出函数的导数，通过讨论λ的范围，求出函数的单调区间，从而证明结论即可；（3）问题转化为﹣a（x﹣1）≤0在（0，1]恒成立，令F（x）=﹣a（x﹣1），根据函数的单调性求出a的范围．【解答】解：（1）y=f（x）g（x）=，y′=，x=1时，y=0，y′=，故切线方程是：y=x﹣；（2）证明：由g（x1）﹣g（x2）=λ[f（x2）﹣f（x1）]，得：g（x1）+λf（x1）=g（x2）+λf（x2），令h（x）=g（x）+λf（x）=lnx+，（x＞0），h′（x）=，令ω（x）=e x﹣λx，则ω′（x）=e x﹣λ，由x＞0，得e x＞1，①λ≤1时，ω′（x）＞0，ω（x）递增，故h′（x）＞0，h（x）递增，不成立；②λ＞1时，令ω′（x）=0，解得：x=lnλ，故ω（x）在（0，lnλ）递减，在（lnλ，+∞）递增，∴ω（x）≥ω（lnλ）=λ﹣λlnλ，令m（λ）=λ﹣λlnλ，（λ＞1），则m′（λ）=﹣lnλ＜0，故m（λ）递减，又m（e）=0，若λ≤e，则m（λ）≥0，ω（x）≥0，h（x）递增，不成立，若λ＞e，则m（λ）＜0，函数h（x）有增有减，满足题意，故λ＞e；（3）若对任意的x∈（0，1]，不等式f（x）g（x）≤a（x﹣1）恒成立，即﹣a（x﹣1）≤0在（0，1]恒成立，令F（x）=﹣a（x﹣1），x∈（0，1]，F（1）=0，F′（x）=﹣a，F′（1）=﹣a，①F′（1）≤0时，a ≥，F′（x ）≤递减，而F′（1）=0，故F′（x ）≥0，F （x ）递增，F （x ）≤F （1）=0，成立，②F′（1）＞0时，则必存在x 0，使得F′（x ）＞0，F （x ）递增，F （x ）＜F （1）=0不成立，故a ≥．20．设数列{a n }的前n 项和为S n （n ∈N *），且满足： ①|a 1|≠|a 2|；②r （n ﹣p ）S n +1=（n 2+n ）a n +（n 2﹣n ﹣2）a 1，其中r ，p ∈R ，且r ≠0． （1）求p 的值；（2）数列{a n }能否是等比数列？请说明理由； （3）求证：当r=2时，数列{a n }是等差数列． 【考点】等比关系的确定；等差关系的确定．【分析】（1）n=1时，r （1﹣p ）（a 1+a 2）=2a 1﹣2a 1，其中r ，p ∈R ，且r ≠0．又|a 1|≠|a 2|．可得1﹣p=0，解得p ．（2）设a n =ka n ﹣1（k ≠±1），r （n ﹣1）S n +1=（n 2+n ）a n +（n 2﹣n ﹣2）a 1，可得rS 3=6a 2，2rS 4=12a 3+4a 1，化为：r （1+k +k 2）=6k ，r （1+k +k 2+k 3）=6k 2+2．联立解得r ，k ，即可判断出结论．（3）r=2时，2（n ﹣1）S n +1=（n 2+n ）a n +（n 2﹣n ﹣2）a 1，可得2S 3=6a 2，4S 4=12a 3+4a 1，6S 5=20a 4+10a 1．化为：a 1+a 3=2a 2，a 2+a 4=2a 3，a 3+a 5=2a 4．假设数列{a n }的前n 项成等差数列，公差为d ．利用已知得出a n +1，即可证明．【解答】解：（1）n=1时，r （1﹣p ）（a 1+a 2）=2a 1﹣2a 1，其中r ，p ∈R ，且r ≠0．又|a 1|≠|a 2|．∴1﹣p=0，解得p=1．（2）设a n =ka n ﹣1（k ≠±1），r （n ﹣1）S n +1=（n 2+n ）a n +（n 2﹣n ﹣2）a 1，∴rS 3=6a 2，2rS 4=12a 3+4a 1， 化为：r （1+k +k 2）=6k ，r （1+k +k 2+k 3）=6k 2+2．联立解得r=2，k=1（不合题意），舍去，因此数列{a n }不是等比数列．（3）证明：r=2时，2（n ﹣1）S n +1=（n 2+n ）a n +（n 2﹣n ﹣2）a 1，∴2S 3=6a 2，4S 4=12a 3+4a 1，6S5=20a4+10a1．化为：a1+a3=2a2，a2+a4=2a3，a3+a5=2a4．假设数列{a n}的前n项成等差数列，公差为d．则2（n﹣1）=（n2+n）[a1+（n﹣1）d]+（n2﹣n﹣2）a1，化为a n=a1+（n+1﹣1）d，+1因此第n+1项也满足等差数列的通项公式，综上可得：数列{a n}成等差数列．A.[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，已知△ABC内接于⊙O，连结AO并延长交⊙O于点D，∠ACB=∠ADC．求证：AD•BC=2AC•CD．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】证明AD垂直平分BC，设垂足为E，证明△ACD∽△CED，即可证明结论．【解答】证明：∵∠ACB=∠ADC，AD是⊙O的直径，∴AD垂直平分BC，设垂足为E，∵∠ACB=∠EDC，∠ACD=∠CED，∴△ACD∽△CED，∴，∴AD•BC=AC•CD，∴AD•BC=2AC•CD．B.[选修4-2：矩阵与变换]22．设矩阵A满足：A=，求矩阵A的逆矩阵A﹣1．【考点】逆变换与逆矩阵．【分析】设B=，求得B*，则B﹣1=×B*，由矩阵的乘法，A=×B﹣1，即可求得矩阵A ，则A ﹣1=×．，即可求得A ﹣1．【解答】解：A =，设B=，则丨B 丨=6，B *=，则B ﹣1=×B *=×=，A=×B ﹣1==，A=，丨A 丨=﹣，A *=A ﹣1=×=，矩阵A 的逆矩阵A ﹣1=．C.[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线（l 为参数）与曲线（t为参数）相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】先把方程化为普通方程，再联立，利用弦长公式，即可求线段AB 的长．【解答】解：直线（l 为参数）与曲线（t 为参数）的普通方程分别为x ﹣y=﹣，y 2=8x ，联立可得x 2﹣5x +=0，∴|AB |==4．D.[选修4-5：不等式选讲]24．设x，y，z均为正实数，且xyz=1，求证： ++≥xy+yz+zx．【考点】不等式的证明．【分析】x，y，z均为正实数，且xyz=1，可得++=++，利用柯西不等式，即可证明结论．【解答】证明：∵x，y，z均为正实数，且xyz=1，∴++=++，∴由柯西不等式可得（++）（xy+yz+zx）≥（++）2=（++）2=（xy+yz+zx）2．∴++≥xy+yz+zx．【必做题】每小题10分，共计20分.25．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）=1﹣P．（2）由题意可得：X=5a，6a，7a，8a．利用“超几何分布列”即可得出．【解答】解：（1）设“该乐队至少演唱1首原创新曲”的事件为A，则P（A）=1﹣P=1﹣=．（2）由题意可得：X=5a ，6a ，7a ，8a ．P （X=5a ）===，P （X=6a ）===，P （X=7a ）===，P （X=8a ）===．E （X ）=5a ×+6a ×+7a ×+8a ×=a ．26．设n ≥2，n ∈N *，有序数组（a 1，a 2，…，a n ）经m 次变换后得到数组（b m ，1，b m ，2，…，b m ，n ），其中b 1，i =a i +a i +1，b m ，i =b m ﹣1，i +b m ﹣1，i +1（i=1，2，…，n ），a n +1=a 1，b m ﹣1，n +1=b m ﹣1，1（m ≥2）．例如：有序数组（1，2，3）经1次变换后得到数组（1+2，2+3，3+1），即（3，5，4）；经第2次变换后得到数组（8，9，7）．（1）若a i =i （i=1，2，…，n ），求b 3，5的值；（2）求证：b m ，i =a i +j C m j ，其中i=1，2，…，n ．（注：i +j=kn +t 时，k ∈N *，i=1，2，…，n ，则a i +j =a 1）【考点】数列的应用．【分析】（1）根据新定义，分别进行1次，2次，3次变化，即可求出答案， （2）利用数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）依题意（1，2，3，4，5，6，7，8，…，n ），第一次变换为（3，5，7，9，11，13，15，…，n +1），第二次变换为（8，12，16，20，24，28，…，n +4），第三次变换为（20，28，36，44，52，…，n +12），∴b 3，5=52，（2）用数学归纳法证明：对m ∈N *，b m ，i =a i +j C m j ，其中i=1，2，…，n ，（i ）当m=1时，b 1，i =a i +j C 1j ，其中i=1，2，…，n ，结论成立，（ii ）假设m=k 时，k ∈N *时，b k ，i =a i +j C k j ，其中i=1，2，…，n ，则m=k +1时，b k +1，i =b k ，i +b k ，i +1=a i +j C k j +a i +j +1C k j =a i +j C k j +a i +j +1C k j ﹣1，=a i C k 0+a i +j （C k j +C k j ﹣1）+a i +k +1C k k ，=a i C k +10+a i +j C k +1j +a i +k +1C k +1k +1，=a i +j C k +1j ，所以结论对m=k +1时也成立，由（i ）（ii ）可知，对m ∈N *，b m ，i =a i +j C m j ，其中i=1，2，…，n 成立。