导数的概念与运算(教案)一、 知识梳理：（阅读选修教材2-2第2页—第21页） 1、 导数及有关概念：函数的平均变化率：设函数)(x f y =在0x x =处附近有定义，当自变量在0x x =处有增量x ∆时，则函数()y f x =相应地有增量)()(00x f x x f y -∆+=∆，如果0→∆x 时，y ∆与x ∆的比x y ∆∆（也叫函数的平均变化率）有极限即xy∆∆无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数)(x f y =在0x x →处的导数，记作0x x y ='，即0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆在定义式中，设x x x ∆+=0，则0x x x -=∆，当x ∆趋近于0时，x 趋近于0x ，因此，导数的定义式可写成000000()()()()()limlim x ox x f x x f x f x f x f x x x x ∆→→+∆--'==∆-. 2.导数的物理意义和几何意义：导数0000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆是函数)(x f y =在点0x 的处瞬时变化率，它反映的函数)(x f y =在点0x 处变化．．的快慢程度. 它的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率.因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为000()()()y f x f x x x -='- 3.导函数(导数):如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数()f x '，从而构成了一个新的函数()f x ', 称这个函数()f x '为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数．．，也可记作y '，即()f x '＝y '＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim00说明 :导数与导函数都称为导数,这要加以区分,求一个函数的导数,就是求导函数,求一个函数在给定点处的导数,就是求导函数值.函数)(x f y =在0x 处的导数0x x y ='就是函数)(x f y =在开区间),(b a )),((b a x ∈上导数()f x '在0x 处的函数值，即0x x y ='＝0()f x '.所以函数)(x f y =在0x 处的导数也记作0()f x '4.可导: 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内每一点都有导数，则称函数)(x f y =在开区间),(b a 5.可导与连续的关系：如果函数)(x f y =在点0x 处可导，那么函数)(x f y =在点0x 处连续，反之不成立. 函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.6.求函数()y f x =的导数的一般步骤：()1求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆()2求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(； ()3取极限，得导数y '=()f x '=xyx ∆∆→∆0lim7.几种常见函数的导数： 0'=C (C 为常数)； 1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；1(ln )x x'=；1(log )log a a x e x'=， ()x x e e '= ；()ln x x a a a '=8.求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭9.复合函数的导数：（理科）设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅'10.复合函数的求导法则：（理科）复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数11.复合函数求导的基本步骤：分解——求导——相乘——回代12.导数的几何意义：是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率，即0()k f x ='，要注意“过点A 的曲线的切线方程”与“在点A 处的切线方程”是不尽相同的，后者A 必为切点，前者未必是切点. 二、题型探究：探究一．用导数的定义求函数在某一点处的导函数值。

例1：(1).（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷、若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.【答案】1-(2). [2014·广东卷10]．曲线y ＝e －5x ＋2在点(0，3)处的切线方程为________．[解析] : y ＝－5x ＋3 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y ′＝－5e －5x ，所以切线的斜率k ＝－5e 0＝－5，所以切线方程是：y －3＝－5(x －0)，即y＝－5x＋3.(3). [2014·江西卷13]．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．[解析]: (－ln 2，2)设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－e－x.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln 2，此时y＝2，所以点P的坐标为(－ln 2，2)．探究二．导数的几何意义例2:已知曲线y=13x3+43.(1)、求曲线在点P（2，4）处的切线方程；(y=4x-4)（2）、求过点P（0，0）的曲线的切线方程；(y=√43x)（3）、求斜率为1的曲线的切线方程。

(y=x-2;y=x+23)探究三：导数的物理意义例3：某市在一次降雨过程中，降雨量y（mm）与时间t（min）的函数关系可以近似地表示为y=√10t，则在t=40min的降雨强度(f′(40)=0.25)探究四：导数的运算：例4：求下列函数的导数（1）、f(x)=sin2x（2）、f(x)=e x cosx(3)、f(x)=x2+tan x探究五：求导运算后求切线方程x3−2ax2+3x(x∈R)例5：已知函数f(x)=23(1)、若a=1，点P为曲线 y=f(x)上的一个动点，求以点p为切点的切线的斜率取最小值时的切线方程；(y=x+2)3（2）、求函数y=f(x)在（0，+∞）上为单调增函数，试求满足条件的最大整数a。

(a=1)三、方法提升1、用定义求导数的步骤（3）、取极限（1）求函数的改变量∆y；（2）：求平均变化率∆y∆x（2）导数物理意义与几何意义（3）求复合函数的导数要坚持“将求导进行到底”的原则；（4）求切线方程时已知点是否切点至关重要。

四、反思感悟：五、课时作业 一、选择题1.[2014·全国卷7]．曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1[解析] 7．C 因为y ′＝(x e x －1)′＝e x －1＋x e x －1，所以y ＝x e x －1在点(1，1)处的导数是y ′|x ＝1＝e 1－1＋e 1－1＝2，故曲线y ＝x e x －1在点(1，1)处的切线斜率是2.2.设函数()f x ，()g x 在[],a b 上均可导，且()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有(C).A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+3、()f x 的导函数()y f x '=的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是(C)4、0()sin f x x =，10()()f x f x ='，21()()f x f x ='，…，1()()n n f x f x +='，n N ∈，则f 2013(x) =(A).A sin x .B sin x - .C cos x .D cos x -5、若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为(A) .A 430x y --=；.B 450x y +-=；.C 430x y -+=；.D 430x y ++=6、曲线12x y e=在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为(D) .A 29e 2.B 24e.C 22e.D 2e二、填空题： 7. [2014·新课标全国卷Ⅱ] .设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0，0)处的切线方程为y ＝2x ，则a 的值为 。

[解析] 3, y ′＝a －1x ＋1，根据已知得，当x ＝0时，y ′＝2，代入解得a ＝3.8、已知1cos ()xf x xe-=，则()f x '=三、解答题：9、求下列函数的导数：()1()21sin y x =+； ()221y x=+()321y x =+； ()411x x e y e +=-；()52sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ()6ln xy e x =⋅()7sin 1cos xy x=+； ()8()21sin cos y x x x x =-⋅+⋅10．设t ≠o ,点P （t ，0）是函数f (x )=x 3+ax 与函数g (x )=bx 2+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。

（1） 用t 表示a ，b ，c ；（2） 若函数f (x )−g (x )在（-1，3）上单调递减，求t 的取值范围。