2 l n x dx 其中 an f ( x) cos l 0 l
( n 0 , 1, 2 , )
第三章分离变量法-波动方程
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当函数定义在任意有限区间上时, 其傅里叶展开方法: 方法1
ba ba , 即 z x 令xz 2 2 ba ba ba F ( z ) f ( x) f ( z ), z , 2 2 2 周期延拓
方程本身和边界条件都是齐次的
第三章分离变量法-波动方程
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第一步：分离变量 希望求得的特解具有分离变量的形式，即
u ( x, t ) X ( x)T (t )
把分离变量形式解代入方程，得
2 X ( x)T (t ) a X (x)T (t ) T (t ) X ( x) 两端除以 X ( x)T (t ) 有 2 a T (t ) X ( x) 及边界条件 X (0)T (t ) X (l )T (t ) 0
x
Be
x
,
A B 0,
Ae
l
A B0
l
Be
0
只有零解（舍）
第三章分离变量法-波动方程
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第二步：求解固有值问题 情形二： 0 通解为 X ( x) A Bx, 代入边界条件得
X ( x ) X ( x ) 0 X (0) X (l ) 0
分离变量法一
波动方程
预备知识——常微分方程的求解公式
一阶非齐次常微分方程：
dy P( x) y Q( x), dx
通解为：
y ( x) Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx

P ( x ) dx Q ( x )e dx
第三章分离变量法-波动方程
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预备知识——常微分方程的求解公式
由此得到方程满足边界条件的变量分离的特解
k a k a k u k ( x , t ) X k ( x )Tk (t )= a k cos t bk sin t sin x l l l (k 1, 2, ) ak Bk C k , bk Bk D k ,
第三章分离变量法-波动方程
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定理4. 设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件, 则它的傅里叶展开式为 a0 n x n x f ( x) an cos bn sin 2 n 1 l l (在 f (x) 的连续点处) 其中
1 l n x an f ( x) cos d x ( n 0 , 1, 2 , ) l l l 1 l n x bn f ( x) sin dx l l l
第三章分离变量法-波动方程
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k a k a t Dk sin t, 通解为 Tk (t ) C k cos l l
k T a T 0, (k 1,2,3, ) 2 l
2
2
2
(k 1, 2, )
所有的 u k ( x , t ) 叠加起来得一般解

u ( x , t ) X k ( x )Tk (t )
分离变量法又称Fourier级数方法，而在波动方程情 形也称为驻波法。它是解决数学物理方程定解问题 中的一种基本方法，也是最常用的方法。这个方法 建立在叠加原理的基础上，其基本出发点是物理学 中的机械振动或电磁振动总可分解为一些简谐振动 的叠加。 数学想法： 把偏微分方程求解问题转化为常微分方程求解问题
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定理3 (收敛定理, 展开定理) 设 f (x) 是周期为2的 周期函数, 并满足狄利克雷( Dirichlet )条件: 1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点; 2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里叶级数收敛 , 且有 a0 an cos nx bn sin nx 2 n 1 x 为连续点 f ( x) , f (x ) f (x ) , x 为间断点 2 其中 an , bn 为 f (x) 的傅里叶系数 .
k 2 2 k 2 , (k 1,2 ,3,). 固有值 l k X k ( x) Bk sin x, (k 1,2, ) 固有函数 l
第三章分离变量法-波动方程
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第三步：求特解，并进一步叠加出一般解 k 2 2 把固有值 k 2 , (k 1,2 ,3,) l 2 代入方程 T (t ) a T (t ) 0 得
b 1 f ( x) sin nx d x (n 1, 2 , ) n
①
②
由公式 ② 确定的 an , bn 称为函数 f ( x) 的傅里叶系数 ; 以 f ( x) 的傅里叶系数为系数的三角级数 ① 称为 f ( x) 的傅里叶级数 .
第三章分离变量法-波动方程
1 cos nx d x 1 sin nx d x 0
(k n )


n 1, 2,...
cos k x cos nx d x 0 sin k x sin nx d x 0



cos k x sin n x d x
0
第三章分离变量法-波动方程
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但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 [ , ] 上的积分不等于 0 . 且有
n 1, 2,...

2

11dx 2

cos n x dx


sin 2 n x d x

1 cos x sin x cos nx , , , ..., , 2
f ( x) , x [ a, b]

ba ba 上展成傅里叶级数 , F (z) 在 2 2 ba 将 z x 代入展开式 2 f ( x) 在 [ a, b] 上的傅里叶级数
第三章分离变量法-波动方程
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方法2
f ( x ) , x [ a, b ]
令 x za 即 z xa
注：假设X(x)和T(t)不恒等于零，即u(x,t)不恒等于零。 恒等于零的称为平凡解，不具研究价值。
第三章分离变量法-波动方程
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T (t ) X ( x) 2 a T (t ) X ( x)
X (0)T (t ) X (l )T (t ) 0
上述第一个等式左端是t的函数，右端是x的函数， 因此两端只能是常数，记为 . 从而有 X ( x ) X ( x ) 0 固有值问题 X(x): T(t):
二阶非齐次的常微分方程：
y P( x) y Q( x) y f ( x)
通解为：y ( x) C1 y1 C2 y2 y1 其中
y2 f y1 f dx y2 dx W W
y1 和 y2是 y P( x) y Q( x) y 0 两个线性无关的解.
第三章分离变量法-波动方程
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第一节 有界弦的自由振动
考虑一根长为 l 的弦，两端固定，给定初始位移和 速度，在没有强迫外力作用下的振动
2 2u u 2 x (0, l ), t 0 t 2 a x 2 , u ( x, 0) ( x), ut ( x, 0) ( x), x [0, l ] u (0, t ) u (l , t ) 0, t0
第三章分离变量法-波动方程
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预备知识——Fourier级数
一、三角函数系的正交性
定理 1. 组成三角级数的函数系 1 , cos x , sin x , cos 2 x , sin 2 x , ..., cos nx, sin nx , 在[ , ]上正交 , 即其中任意两个不同的函数之积在 [ , ] 上的积分等于 0 .
y1 W y1
y2 0. y2
第三章分离变量法-波动方程
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预备知识——常微分方程的求解公式 二阶常系数齐次常微分方程： y py qy 0
其特征方程为： r 2 pr q 0， 特征根为：r1，r2 . (1)若特征方程有两个不等的实根: 齐次方程通解为： y Ae r1x Be r2 x . (2)若特征方程有两个相等的实根: r1 x y ( A Bx ) e . 齐次方程通解为： (2)若特征方程有一对共轭复数根: r1 i , r2 i , 齐次方程通解为： y ( x) e x ( A cos x B sin x).
sin nx ,
组成一标准正交系
第三章分离变量法-波动方程
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二、函数展开成傅里叶级数
定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且 a0 f ( x) (an cos nx bn sin nx) 2 n 1 右端级数可逐项积分, 则有 1 an f ( x) cos nx d x (n 0 , 1, )
( n 1, 2 , )
第三章分离变量法-波动方程
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注 如果 f (x) 为奇函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) n x f ( x) bn sin l n 1 2 l n x d x ( n 1, 2 , ) 其中 bn f ( x) sin l 0 l 如果 f (x) 为偶函数, 则有 (在 f (x) 的连续点处) a0 n x a f ( x) n cos 2 n 1 l
F ( z ) f ( x) f ( z a ) ,
z 0 , b a
奇或偶式周期延拓
F ( z ) 在 0 , b a 上展成正弦或余弦级数
将 z x a 代入展开式
f ( x) 在 [ a, b] 上的正弦或余弦级数