福建省厦门第一中学2019届高三3月模拟数学（文）试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式求出集合A，求定义域得出B，再根据交集的定义写出A∩B．【详解】集合A＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|y＝lg（3﹣x）}＝{x|3﹣x＞0}＝{x|x＜3}，则A∩B＝{x|1＜x＜2}．故选：A．【点睛】本题考查了集合的基本运算，不等式解集,函数定义域,准确计算是关键,是基础题目．2.已知双曲线的一条渐近线为，则双曲线的离心率为（）A. B. 2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线方程得到a，b的关系，再根据离心率公式计算即可．【详解】∵双曲线1（a＞0，b＞0）的一条渐近线为，∴，∴双曲线的离心率为e故选：D．【点睛】本题考查双曲线的方程和几何性质，考查渐近线方程的运用，考查离心率的求法，考查运算能力，属于基础题．3.中国将于今年9月3日至5日在福建省厦门市主办金砖国家领导人第九次会晤.某志愿者队伍共有5人负责接待，其中3人担任英语翻译，另2人担任俄语翻译.现从中随机选取2人，恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的概率是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用古典概率计算公式计算即可．【详解】从5人中随机选2人的基本事件总数为恰有1个英语翻译，1个俄语翻译的事件总数为P （恰有1个英语翻译，1个俄语翻译），故选：C．【点睛】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式求得tan（α）的值．【详解】∵角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点（，2），∴tanα，则tan（α）3，故选：A．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，熟记定义与公式，准确计算是关键，属于基础题．5.我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺。

莞生一日，长一尺。

蒲生日自半。

莞生日自倍。

问几何日而长等？”（蒲常指一种多年生草本植物，莞指水葱一类的植物）现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，输入，.那么在①处应填（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意由两种植物生长长度的规律结合框图，即可求解．【详解】由题意， S表示莞高，T表示蒲高，现欲知几日后，莞高超过蒲高一倍，故①处应填S＞2T？．故选：B．【点睛】本题考查程序框图，考查学生的读图能力，比较基础，读懂程序的功能是关键.6.实数，满足，则的最大值为（）A. 3B. 4C. 18D. 24【答案】D【解析】【分析】画出满足条件的平面区域，求出交点的坐标，结合函数的图象求出z的最大值即可．【详解】画出满足条件的平面区域，如图所示：，由，解得A（3，4），由z＝4x+3y得l：y x z，平移l结合图象得直线l过A（3，4）时，z最大，z的最大值是24，故选：D．【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，准确画出可行域，确定最优解是关键，是一道中档题．7.定义在上的连续函数，当时，函数单调递增，且函数的图象关于直线对称，则使得成立的的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的对称性得到函数f（x）是偶函数，根据f（2）＝0，问题转化为|2﹣m|＞2，求出m的范围即可．【详解】函数y＝f（x﹣1）的图象关于直线x＝1对称，即函数y＝f（x）的图象关于y轴对称，故函数f（x）是偶函数，而f（2）＝0，故f（2﹣m）＞0，即f（2﹣m）＞f（2）,由题意知函数为增函数，故|2﹣m|＞2，解得：m＞4或m＜0，故选：C．【点睛】本题考查了函数奇偶性，考查转化思想以及函数的单调性，熟练运用函数的奇偶性和单调性解不等式是关键,是一道中档题．8.在平行四边形中，，，，，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质，利用平面向量的线性表示化简，,再结合数量积运算，即可求出答案．【详解】如图所示，平行四边形ABCD中，AB＝3，AD＝2，，，∴，若•12，则•（）•（）•32223×2×cos∠BAD＝12，cos∠BAD，又∠BAD∈（0，）∴∠BAD．故选：B．【点睛】本题考查了平面向量基本定理，平面向量的数量积运算，将向量表示为是关键，基础题目．9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四棱锥的三视图，已知其俯视图是正三角形，则该四棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据四棱锥的三视图知该四棱锥为底面为矩形，高为的四棱锥，放入长方体，设该四棱锥的外接球球心为O，求出外接球的半径，计算外接球的表面积．【详解】根据四棱锥的三视图，知该四棱锥为底面为矩形，高为的四棱锥；且侧面PAB⊥底面ABCD，如图所示；放入长方体（图2所示），长方体的长CD=2，宽为，高为．设该四棱锥的外接球球心为O，则过O作OM⊥平面PAB，M为△PAB的外心，作ON⊥平面ABCD，则N为矩形ABCD对角线的交点；∴OM，ON；∴外接球的半径满足R2＝ON2+AN2，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝4π．故选：A．【点睛】本题考查了由空间几何体三视图，外接球问题，准确还原几何体，将四棱锥放到长方体中是关键，是综合性题目．10.已知抛物线：的焦点为，准线为，，是上两动点，且（为常数），线段中点为，过点作的垂线，垂足为，若的最小值为1，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线AQ，BP，垂足分别是Q，P．设|AF|=a，|BF|=b，连AF，BF．由抛物线定义得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|．在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．在中，由余弦定理得．∴，当且仅当，即时等号成立．∵的最小值为1，∴，解得，∴．选C．点睛：（1）抛物线定义在解题中的两个应用：①当已知曲线是抛物线时，可利用抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，利用此结论可解决有关距离、最值、弦长等问题．②当动点满足的几何条件符合抛物线的定义时，可根据定义得到动点的轨迹是抛物线，进而可求得抛物线的方程．（2）应用基本不等式求最值时，一定要注意不等式使用的条件，当所给式子不满足条件时需要通过变形得到所需要的形式，然后再用不等式求解．11.已知数列的前项和为，直线与圆交于，两点，且.若对任意恒成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知得到关于数列{a n}的递推式，进一步得到{S n+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．求出数列{a n}的前n项和为S n，进一步求得数列{a n}的通项，然后利用错位相减法求得，代入＜λa n2+2，分离参数λ，求出的最大值得答案．【详解】圆心O（0，0）到直线y＝x﹣2，即x﹣y﹣20的距离d2，由d2r2，且，得22+S n＝2a n+2，∴4+S n＝2（S n﹣S n﹣1）+2，即S n+2＝2（S n﹣1+2）且n≥2；∴{S n+2}是以+2为首项，2为公比的等比数列．由22+S n＝2a n+2，取n＝1，解得＝2，∴S n+2＝（+2）•2n﹣1，则S n＝2n+1﹣2；∴（n≥2）．＝2适合上式，∴．设，，所以.所以，若对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立.设，因为，所以，故的最大值为因为，所以.故选:B【点睛】本题考查数列通项公式，数列求和，数列的最值，不等式恒成立问题，考查数学转化思想方法，训练了利用错位相减法求数列的前n项和，考查直线与圆的位置关系，是中档题．12.已知，为动直线与和在区间上的左，右两个交点，，在轴上的投影分别为，.当矩形面积取得最大值时，点的横坐标为，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意知，P与Q关于直线对称，设P（x，sinx），则矩形PQRS的面积为S（x）＝（2x）•sinx，（0＜x），再利用导数求得矩形面积S（x）的最大值，结合零点存在定理和得的范围【详解】由题意知，与关于直线对称，设，则，∴，∴，∴，∵，∴，∴在区间上单调递减，且，，∴在区间存在唯一零点，即为.令得：，即.由不等式得：，解得：，故选：A.【点睛】本题考查函数与导数综合,零点,不等式等，三角函数的图象与性质,考查数形结合思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为__________．【答案】【解析】【分析】由复数代数形式的除法运算得z,再由共轭复数得答案．【详解】由得z，∴．故答案为：．【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，准确计算是关键，是基础题．14.是等差数列，其前项和为，，，的最大值为__________．【答案】30【解析】【分析】设等差数列{a n}的公差为d，根据，可得3d＝﹣15，3+6d＝15，解得d，．令，解得n，进而得出的最大值．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，∵，，∴3d＝﹣15，3+6d＝15，解得d＝﹣5，＝15．∴a n＝15﹣5（n﹣1）＝20﹣5n，由解得3≤n≤4．则的最大值为＝＝3×1530．故答案为：30．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，数列和的最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.直三棱柱中，，，，直线与平面所成角等于，则三棱柱的侧面积为__________．【答案】【解析】【分析】由题意，B，∠＝60°，求出底面的边长，即可求出三棱柱ABC﹣的侧面积．【详解】由题意，面B，∠＝60°，∴，B，∴AB，∴三棱柱ABC﹣的侧面积为（2）×1，故答案为．【点睛】本题考查三棱柱的侧面积，线面位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．16.若实数，，满足，则的最小值是__________．【答案】1【解析】【分析】（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，可得a＝2b+1，a＝c+lnc.，得,故|b﹣c|，令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可求解．【详解】∵（a﹣2b﹣1）2+（a﹣c﹣lnc）2＝0，∴a＝2b+1，a＝c+lnc．∴2b+1＝c+lnc，∴b．∴|b﹣c|，令f（c）＝1+c﹣lnc（c＞0），f′（c）＝1，当c>1, f′（c）>0;0<c<1, f′（c）<0可得：c＝1时，函数f（c）取得极小值即最小值，f（1）＝2＞0．∴|b﹣c|1，故答案为：1．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题：本大题共5小题，每小题12分，共60分.17.已知函数的图象与轴的两个相邻交点是，，是函数图象的一个最高点.，，分别为的三个内角，，的对边，满足. （Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）将函数的图象向左平移1个单位后，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得到函数的图象，求函数的单调递减区间.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A，可得f（x）的解析式．（Ⅱ）利用函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性求得函数g（x）的单调递减区间．【详解】（Ⅰ）由题意得，且=6,故，由正弦定理得，整理得：，即，又，所以.在中，易知，取中点易得，即，所以.（Ⅱ）函数图像向左平移1个单位，得，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍，得，由，解得.所以函数单调递减区间为.【点睛】本题主要考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，解直角三角形求出A．还考查了函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．18.为了响应厦门市政府“低碳生活，绿色出行”的号召，思明区委文明办率先全市发起“少开一天车，呵护厦门蓝”绿色出行活动.“从今天开始，从我做起，力争每周至少一天不开车，上下班或公务活动带头选择步行、骑车或乘坐公交车，鼓励拼车……”铿锵有力的话语，传递了绿色出行、低碳生活的理念.某机构随机调查了本市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：人数次数年龄18岁至31岁8 12 20 60 140 15032岁至44岁12 28 20 140 60 15045岁至59岁25 50 80 100 225 45060岁及以上25 10 10 18 5 2联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老年人.用样本估计总体的思想，解决如下问题：（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？0.00110.828【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关. 【解析】【分析】（Ⅰ）利用组中值，即可估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数；（Ⅱ）根据条件中所给的数据，列出列联表，把求得的数据代入求观测值的公式求出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．【详解】（Ⅰ）估计本市一个18岁以上青年人每月骑车的平均次数为.（Ⅱ）根据题意，得出如下列联表骑行爱好者非骑行爱好者总计青年人700 100 800非青年人800 200 1000总计1500 300 1800根据这些数据，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关.【点睛】本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是根据所给的数据列出列联表，准确计算是关键，是中档题19.已知空间几何体中，与均为边长为的等边三角形，为腰长为的等腰三角形，平面平面，平面平面.（Ⅰ）试在平面内作一条直线，使得直线上任意一点与的连线均与平面平行，并给出详细证明；（Ⅱ）求三棱锥的体积.【答案】(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）.【解析】分析：第一问注意到任意直线都与平面是平行的，从而想到应该是线所在的平面与对应平面是平行的，再结合题中所给的条件，求得结果，第二问结合题中的条件，求出与三棱锥的体积相关的量，最后代入体积公式求得结果.详解：( Ⅰ )如图所示,取 DC 中点 N ,取 BD 中点 M ,连结MN ,则 MN 即为所求证明:取 BC 中点 H ,连结AH , ∵ ΔABC 为腰长为 3 的等腰三角形,H 为 BC 中点,∴ AH ⊥ BC ,又平面ABC ⊥ 平面 BCD ,平面ABC ∩ 平面 BCD = BC ,AH ⊂平面 ABC ,∴ AH ⊥ 平面 BCD ,同理可证EN ⊥ 平面BCD , ∴ EN∥ AH ,∵ EN ⊄平面 ABC , AH ⊂平面ABC , ∴ EN ∥ 平面ABC .又 M , N 分别为 BD , DC 中点, ∴ MN ∥ BC ,∵ MN ⊄平面 ABC , BC ⊂平面EMN , ∴ MN ∥ 平面ABC .又MN ∩ EN = N , MN ⊂平面 EMN ,EN ⊂平面 EMN ,∴ 平面EMN ∥ 平面 ABC ,又 EF ⊂平面EMN , ∴ EF ∥ 平面 ABC .( Ⅱ )连结 DH ,取 CH 中点 G ,连结 NG ,则NG ∥ DH ,由( Ⅰ)可知EN ∥ 平面 ABC ,所以点 E 到平面 ABC 的距离与点 N 到平面 ABC 的距离相等 .又ΔBCD 是边长为 2 的等边三角形, ∴ DH ⊥ BC ,又平面ABC ⊥ 平面 BCD ,平面ABC ∩ 平面 BCD = BC , DH ⊂平面 BCD ,∴ DH ⊥ 平面ABC , ∴ NG ⊥ 平面 ABC ,∴ DH = ,又 N 为 CD 中点, ∴ NG =,又AC = AB =3 ,BC =2 , ∴ S ΔABC = ·BC·AH =2∴ V E- ABC = V N - ABC = ·S ΔABC · | NG |=注:本题用空间向量做同样给分点睛：该题考查的是有关空间的线线、线面、面面的平行垂直关系，要求对这些定理的条件都得熟记，并且能够将问题转化，再者，在计算三棱锥的体积时，对应的高线在求解时，需要做的垂线必须借助于垂面来完成，即所有的垂线以及平行线都不是凭空而来的.20.已知椭圆：，动圆：（圆心为椭圆上异于左右顶点的任意一点），过原点作两条射线与圆相切，分别交椭圆于，两点，且切线长的最小值为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：的面积为定值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）将圆心坐标代入椭圆方程，根据两点之间的距离公式，|OT|，由切线长的最小值为，即可求得b的值，求得椭圆C的方程；（Ⅱ）当斜率不存在，此时M、N分别为长、短轴一个端点，则△MON的面积为，当斜率存在，分别设出切线方程，代入求得M和N的坐标，由三角形的面积S△MON，即可求得△MON的面积【详解】（Ⅰ）因为椭圆，焦点在x轴上，P（，）在椭圆方程上，则2＝b2（1），由b＜2，得：＝（1）+b2≥b2r2，故点O在圆P外，不妨设OM与圆P相切于T，则有：切线长|OT|，代入得|OT|，由已知得：，解得：b2＝2，所以椭圆的方程为：（Ⅱ）当切线或斜率不存在即圆与轴相切时，易得，代入椭圆方程得：，说明圆同时也与轴相切，此时、分别为长、短轴一个端点，则的面积为.当切线、斜率都存在时，设切线方程为：，由得：，整理得：.由知：，即，此时，方程必有两个非零根，记为，则，分别对应直线，的斜率，由韦达定理得：，将代入得：，由上知：，设点位于第一、三象限，点位于第二、四象限，若点位于第一象限，点位于第二象限，设：与椭圆方程联立可得：，设：与椭圆方程联立可得：，分别过M,N作垂直x轴，则，代入坐标有：，同理，当点、位于其它象限时，结论也成立.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法，直线与圆、直线与圆锥曲线的位置关系，考查推理运算和方程求解能力．运用化归转化手段．将切线长最短问题转化为椭圆上的动点到定点距离最短问题；考查圆锥曲线中的有关定值问题，从变化中寻找不变量，并通过必要的推理和运算化简求值．考查转化化归思想、分类整合思想，属于难题．21.已知函数.（Ⅰ）讨论函数的单调性；（Ⅱ）函数有两个极值点，其中.若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）或时，函数的增区间是，，减区间是.时，函数的增区间是；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）问题等价于m恒成立，即m＞恒成立，令t＝a﹣2（t＞2），则，令g（t），根据函数的单调性求出g（t）的最小值，从而求出m的范围即可．【详解】（Ⅰ），令.（1）当时，即或时方程有两根，，，函数的增区间是，，减区间是.（2）当时，即时，在上恒成立，函数的增区间是.综上所述，或时，函数的增区间是，，减区间是.时，函数的增区间是.（Ⅱ）∵有两根，且，∴且，∴.恒成立等价于恒成立，即恒成立，令，则，令.当时，函数单调递增，，∴.∴，∴的取值范围是.【点睛】本题考查函数的单调性问题，考查导数的应用，解决与不等式有关的参数范围和证明问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，分类思想，考查运算能力，是一道综合题．四、选考题（请考生在22、23两题中任选一题作答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑，满分10分）22.在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线与，在第一象限分别交于，两点，为上的动点.求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(Ⅰ)先求出曲线的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.( Ⅱ)先求出,再求出以为底边的的高的最大值为,再求面积的最大值.【详解】(Ⅰ)依题意得,曲线的普通方程为,曲线的极坐标方程为,直线的直角坐标方程为．(Ⅱ)曲线的直角坐标方程为,设,,则,即,得或(舍),,则,到的距离为,以为底边的的高的最大值为,则的面积的最大值为【点睛】(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题的解题的关键是求出.23.已知函数，若的解集是.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）m=3 (2)【解析】试题分析：（Ⅰ）作出f（x）的图象，结合题意可得，由此求得m的值．（Ⅱ）求得f（x）的最小值为2，可得2＜a2+a﹣4，由此求得a的范围．试题解析：（1）解法一：作出函数的图象由的解集为及函数图象得得解法二：①得得，②得，不合题意③得当时，，不符合，舍去当时，综上不等式的解集为，（2）解法一：由（Ⅰ）得∵有解∴即即，实数的取值范围解法二：由绝对值不等式几何意义得有解即实数的取值范围点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。