lim
k
||
Ak
||
0
证明：
lim
k
Ak
A
k lim a i (k j) a ij ( i 1 , ,m ;j 1 , ,n )
klim (ai(k j) aij) 0
mn
lim
k
|ai(kj) aij |2 0
i 1j 1
klim||A k A||F 0
由范数的等价性，对于 F m n 上任意一个范
是收敛矩阵，即 k 1
lim
k
Ak
O
这是因为
A k S k S k1 SSO
这个结果与数项级数一致。
定义9 F m n 中的矩阵级数
A k 称为绝
对收敛的，如果数项级数
k1
a(k) ij k1
i 1,2, ,m j 1,2, ,n
都绝对收敛。这里 Ak (a(ikj) ).
同数项级数相吻合的是，判定矩阵级数是否绝 对收敛可借助范数理论转化为判定正项级数的 敛散性。
|| A||α 1
二、矩阵级数
定义8 设有 F m n 中的矩阵序列 { A k } ，矩阵
级数指的是无穷和
A k A 1 A 2
A k
k1
称矩阵级数收敛，且其和为 S ，如果其部分
和序列收敛于 S ，即
k
A k
lim
k
A i
k lim S k
S
k1
i1
显然，矩阵级数
A k 收敛时其通项 A k
可逆，且
Ak
1 k1 1 11
11 11
A
用矩阵的范数理论来研究矩阵序列的收敛性是 最常用、最简洁的方法。
定理5 F m n 中的矩阵序列 { A k } 收敛于 A 的充要条件是对任意一种矩阵范数 | | | | ，都有
klim||A k A || 0
特别地，若 A
O ，则
lim
k
Ak
O 的充
要条件是
数
||
||
，必存在正常数
C
、
1
C
2
，使
C 1 ||A kA ||F||A kA || C 2 ||A kA ||F
所以
k lim ||A k A ||F 0k lim ||A k A || 0
由于向量是特殊的矩阵，因此我们有
推论1 F n 中的向量序列 { x ( k ) } 收敛于 x * 的充要条件是对任意一种向量范数 | | | | ，都有
§1、矩阵序列与矩阵级数
微积分的基础是数列极限的收敛理论及 其衍生出来的级数理论。矩阵可看成一个 “超数”，因此类比可得矩阵序列与矩阵 级数，只要找到度量两个“超数”距离的 适当工具。在矩阵里，这就是范数。尽管 使用给定基下的分量和元素等也可以，但 明显用范数记号简洁明晰，且有助于证明。
定理3 F m n 中的矩阵系列 { Ak }、{Bk } 分别 收敛于 A、B Fmn，则
A P J P 1 ,J d i a g ( J 1 ( λ 1 ) ,, J s ( λ S ) )
则
Ak PJkP1
从而由定理3可知，
lim Ak O
k
limJk O
k
klimJik(λi) O (i 1,2, ,s)
λki Ck1λki 1
C λ mi k mi 1 ki
lim
λki
k
Ck1λki 1
R时幂级数
c k A k 发散。
k0
证明： 设矩阵 A 的Jordan分解为 A P J P 1 ,Jd i a g ( J 1 ( λ 1 ) ,, J s ( λ S ) ) 则 Ak PJkP 1
第六章 矩阵分析及其应用
虽然在微积分开端时期贝克莱将无穷小称 为“上帝的幽灵”，进而导致“第二次数 学危机”，直到柯西的“极限论”和戴德 金等的“实数理论”的出现危机才算彻底 解决。但微积分在近代社会的巨大作用我 们早已深有体会，将微积分中的极限、导 数、积分、级数等分析思想和方法应用于 矩阵的研究，自然就在情理之中。
O
λki
这里规定 l
k
时，C
l k
0
lim
k
λki
0
|λi| 1(i 1 ,2 , ,s)
ρ(A ) m a ix|λi| 1
由于谱半径不易计算，联系到谱半径不超过任 何一种矩阵范数，实际常用范数来判断矩阵是 否是收敛矩阵。只有很难找到这样的范数，才 计算出矩阵的所有特征值，进而得到谱半径。
定理7 F m n中的矩阵 A 是收敛矩阵的充分 条件是存在一种矩阵范数 || ||α ，使得
k1
mn
|a(ikj) |
k1 i 1 j 1
m nM , Mm i,a jxM ij
所以正项级数
|| Ak || m 1收敛。
k1
根据范数的等价性，对任意矩阵范数，正项
级数 | | A k | | 收敛。
k1
证明：充分性。
若级数
| | A k | | 收敛，则由矩阵范数的
等价性可知k 1，正项级数
lim ||x(k) x*|| 0
k
最常见的矩阵序列是方阵的幂构成的矩阵序列。
联想到等比数列 { q n } 收敛当且仅当 q ，1
类似地，我们有
定理6 F m n中的矩阵 A 是收敛矩阵，即
lim Ak O
k
的充要条件是矩阵 A 的谱半径小于1，即
ρ(A) 1
证明： 设矩阵 A 的Jordan分解为
定理10 F m n 中的矩阵级数 A k 绝对
k1
收敛的充要条件是正项级数
| | A k | | 收敛，
这里矩阵范数是任意的。 k 1
证明：必要性。
若级数
A k 绝对收敛，则
|
a (k) ij
|
ij .
i 1,2, ,m j 1,2, ,n
从而
k1
|| Ak||m1
(1) klimAkBk AB (2) klim(PA kQ ) PA Q
PF mm , QF nn
定理4 F m n 中的矩阵序列 { A k } 收敛
于 A ，且所有 A k 和 A 都可逆，则
klim (A k)1 A1
注意定理中条件“所有 A k 和 A 都可逆” 必不可少，例如下面的 A 不可逆，虽然 A k
||
Ak
|
|
m
收敛，故
1
m nk 1
|a(ikj)|
|a(ikj)|
i1j1
||Ak||m1
所以
|
a
(k ) ij
|
都收敛，即
收敛，k 因1 此矩阵级数
Ak
k1
a (k) ij
绝对
k 绝1 对收敛。
定义11 F n n 中的矩阵级数
ckA k c0I c1Ac2A 2
k0
称为矩阵 A 的幂级数。这里 c k
ckA k F.
由前可知矩阵的幂级数是实变量的幂级
数
a k x k 以及复变量的幂级数 c k z k 的
推广k，0因此讨论矩阵幂级数的收敛性k 0问题自然
就与复变量的幂级数的收敛半径联系起来。
定理12 设幂级数的收敛半径为 R ，则
当 ρ(A) 当 ρ(A)
R 时幂级数 c k A k 收敛；
k0