第五章 一阶电路和二阶电路§5-1 动态电路的方程及其初始条件一阶电路：用一阶微分方程描述的电路。

一．换路：指电路中开关的突然接通或断开，元件参数的变化，激励形式的改变等。

换路时刻0t （通常取0t ＝0），换路前一瞬间：0_t ，换路后一瞬间：0t +。

二．换路定则 c 0c 0()()u t u t +-= L 0L 0()()i t i t +-= C 0C 0()()i t i t +-≠， L 0L 0()()u t u t +-≠， R 0R 0()()i t i t +-≠， R 0R 0()()u t u t +-≠三．初始值的计算： 1. 求C 0L 0(),()u t i t --： ①给定C 0L 0(),()u t i t --；②0t t <时，原电路为直流稳态 ： C —断路 L —短路③0t t -=时，电路未进入稳态 ： 0C 0C ()()|t t u t u t --==， 0L 0L ()()|t t i t i t --== 2. 画0t +时的等效电路：C 00()()u t u t +-=，L 0L 0()()i t i t +-= 换路前后电压（流）不变的为电压（流）源C —电压源 L —电流源C 0()0u t -=， L 0()0i t -=C —短路 L —断路3. 利用直流电阻电路的计算方法求初始值。

例1已知：0t <时，原电路已稳定,0t =时，打开开关S 。

求：0t +=时，各物理量的初始值。

解： 1. 求C L (0),(0)u i --：0t -=时，C L (0)7.5V,(0)0.25A u i --==2. 画0t +=时的等效电路：3. 0t +=时：R1(0)0.2510u +=⨯= R27.5(0)0.5A 15i +== L R1C (0)(0)10(0)0u u u +++=-+-=2C L R (0)(0)(0)0.25i i i A +-+=-=-例2：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时，打开开关S 。

求：0t +=时，1(0),(0)i i ++。

解：1. 求C (0)u -：0t -=时：C 1111C (0)14(0)10(0)4(0)(0)(0)4(0)(0)2A (0)28Vu i i i i i i i u ---------==+⎧⎪+=⎪⎨==⎪⎪=⎩2. 作0t +=时的等效电路：0t +=时：11(0)(0)414(0)7(0)28i i i i +++++=⎧⎨=+⎩ 184(0)A,(0)A33i i ++∴==C (t ) _10i 1(0+) +_ +_7.5V +_C (0-)§5-2 一阶电路的零输入响应R C S K V L :()()(0)u t u t u t ++=≥ C C C R C VAR :,du dui Cu Ri RC dt dt=== C C S C (0)(0)?du RC u u t dt u +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩零输入响应：指输入为零，初始状态不为零所引起的电路响应。

零状态响应：指初始状态为零，而输入不为零所产生的电路响应。

完全响应：指输入与初始状态均不为零时所产生的电路响应。

一．RC 放电过程已知：0t -=时，电容已充电至0U ，0t =时，S 由a 合向b 。

求0t +≥后的C R C (),(),()u t u t i t 。

1. 定性分析：0t -=时，C 0(0)u U -=，R S 0(0)u U U -=-，S 0C (0)U U i R--= 0t +=时，C C 0(0)(0)u u U +-== R 0(0)u U +=-(0)C U i R+=- Uu C + _C UC ,t u ，R C ,u i ； C R C ,0,0,0t u u i →∞→→→ 2. 定量分析：0t +≥时，C C C 00(0)(0)du RC u t dt u U +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩ C ()et RCu t K -=令0t +=，C 0(0)1u K U +=⋅=C 0()e(0)tRCu t U t -+∴=≥R C 0()()e(0)t RCu t u t U t -+=-=-≥0R C ()()e(0)tRCU u t i t t R R-+==-≥()(0)e(0)t RCf t f t -++=≥3. 时间常数： RC τR ：由动态元件看进去的戴维南等效电阻[]τ⋅⎡⎤⎡⎤=⋅⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦伏特库仑安培秒＝＝秒安培伏特安培 C 0:()u t τ的物理意义衰减到36.8％C 0()u t 所需时间C 0()e (0)t RCu t U t -+=≥_ u (t )+ C _u C (t 0+τ)=36.8%0C 00()et RCu t u -=00C 000C 0()e ee()0.368t t RCRC RCu t u U u t τττ+---+===⨯τ的几何意义：由0C 0[,()]t u t 点作C ()u t 的切线所得的次切距。

4t τ≥时，电路进入新的稳态,4C 0C 0C 0(4)()e 1.82%()0u t u t u t τ-+==≈ 211422()4e V (0)2s ()4e V (0)4st t u t t u t t ττ-+-+=≥==≥=可见，时间常数反映了物理量的变化快慢，τ越小，物理量变化越快。

二．RL 放磁过程已知0t -=时，L 0(0)i I -=， 求0t +≥时的L L (),()i t u t . 利用对偶关系： L CL C i u L C u iG RRC 串联：C C C 00(0)(0)du RC u t dt u U ++⎧+=⎪≥⎨⎪=⎩ RL 并联：LL L 00(0)(0)di GLi t dti I ++⎧+=⎪≥⎨⎪=⎩L 0()e(0)t GLi t I t -+=≥ L GL Rτ==_u L (t )+ _(t)0L ()e(0)tGLI u t t G-+=-≥()(0)e(0)tf t f t τ-++=≥综上所述，一阶电路的零输入响应变化模式相同，即()(0)e(0)tf t f t τ-++=≥故求一阶电路的零输入响应时，确定出(0)f +和τ以后，就可以唯一地确定响应表达式。

§5-3 一阶电路的零状态响应 一． R C 充电过程 已知C (0)0u =，求0t ≥时的C R C ,,u u i 。

1. 定性分析：0t +=时，(0)0C u += R S (0)u U +=SC (0)U i R+=C ,t u ，R C ,u i ； C S R C ,,0,0t u U u i →∞→→→2. 定量分析： C C S C (0)(0)0du RCu U t dtu +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩C C p C h ()()()u t u t u t =+Cp ()u t 为非齐次微分方程任一特解， Ch ()u t 为对应齐次微分方程的通解， cp u —强制响应，与输入具有相同形式， c p S ()u t A A U =⇒=，cp S ()u t U ∴= /ch ()et RCu t K -=—固有响应，与电路结构有关。

∴ C S ()e tRCu t U K -=+0t +令＝U+ _ C (t )+_U +_u (0)_C S S(0)0u U K K U +=+=⇒=- C S S S()e(1e)(0)ttRCRCu t U U Ut --+∴=-=-≥ R S C S ()()e tRCu t U u t U -=-= (0)t +≥ S R C ()tRCU u i t R R-== (0)t +≥ C Cp Ch S C ()()()e()(1e )(0)ttRCu t u t u t U K u t τ--+=+=+=∞-≥其中：S U 为稳态响应（C ()u ∞），et RCK -为暂态响应（必将衰减为0）RC τ=为时间常数C 0S ()(1e )t u t U τ-=- 0C 0S ()(1e)t u t U τττ+-+=-01S S S (1e )(1e )(1e )t tU U U ττ---⎡⎤=-+---⎢⎥⎣⎦[]C 0S C 0()63.2%()u t U u t =+-即充电过程中时间常数的物理意义为由初始值上升了稳态值与初始值差值的63.2%处所需的时间。

4t τ≥ 时，电路进入新的稳态。

3. 充电效率η()100%()()C R C W W W η∞⨯∞+∞u C (t 0t 0)22C C S 1()()22C W Cu U ∞=∞= 222S R CS 0()(e )2tRC U C W Ri dt R dt U R -∞∞∞===⎰⎰50%η∴=例：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时合上S ，求0t +≥时的C 0(),()u t u t 。

解：已知(0)0C u =1. C ()u ∞： t →∞时，C 2()V 3u ∞=2. 求τeq 23R =Ω2s 3τ∴=1.5C 2()(1e )V (0)3t u t t -+∴=-≥1.50C 12()1()eV (0)33t u t u t t -+=-=+≥)Ω二．RL 充磁过程已知：L (0)0i =。

求：0t +≥时的L ()i t 利用对偶关系RL 充磁过程 LL S L (0)(0)0di GLi I t dti +⎧+=≥⎪⎨⎪=⎩ L S L ()(1e)()(1e )(0)t tGLi t I i t τ--=-=∞-≥例：已知：0t <时，原电路已稳定，0t =时合上S ，求0t +≥时的L o (),()i t i t解：已知L (0)0i = 1. 求L ()i ∞ t →∞时L ()3A i ∴∞=2. 求τ102s 5L R τ∴===5Ω(t )i 0(tL (∞)5Ω5ΩR eq =5ΩL (t )I S =U S /2L ()3(1)A (0)ti t e t -+∴=-≥L L 2o 410()20.5e A (0)6t di i dt i t t -++==+≥。