A dl Acosdl A dl
t l l l
称为矢量场 A 按所取方向沿曲线 l 的环量 环量描述矢量场旋转特征 是一个标量。 它不仅与场矢量 A 有关， 而且与回路 l 的形状和取向有关。
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
2．环量面密度
S 是环量的平均面密度。
取极限得到在 M 点的环量面密度。 若极限存在，则环量面密度与 en 有关， 与 l 的形状无关。 大小反映了 A 在 M 点绕 en 方向旋转的强弱。 在空间的一点，方向 en 可以任意选取。 随着 en 方向改变，环量面密度将连续变化。
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工程电磁场
1．矢量场的环量
矢量场中选取一闭合曲线 l
主讲人： 王泽忠
表示曲线的走向，切线方向为曲线的正方向 过 M 点曲线的切线方向， 其单位 矢量为 e t 取一弧元 dl
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工程电磁场

主讲人： 王泽忠
矢量函数 A 沿有向闭合曲线 l 的线积分
当 S 以任意方式收缩到 M 点时， 若极限
l lim lim S 0 S S 0 S
A dl
存在，则称该极限值为 矢量场 A 在 M 点，沿方向 en 的环量面密度。
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工程电磁场
l
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A dl
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工程电磁场
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3．旋度的定义
环量面密度是与方向有关的标量。 对比，方向导数是与方向有关的标量。 梯度矢量的方向是方向导数最大的方向， 其模值是最大方向导数的值， 它在某一方向的投影，就是该方向的方向导数。
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工程电磁场
主讲人： 王泽忠
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4．旋度的计算
主讲人： 王泽忠
环量面密度定义式中的极限与所取小曲面边缘的形状无关。 现取如图所示平行于 yoz 坐标平面的小矩形面， 小矩形面的法向矢量与 ex 平行， 小矩形面的面积为 Sx 4yz
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工程电磁场
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以 M 点为中心，在其周围 将 A 展开成泰勒级数并忽略高阶项， 则 A 沿 lx 的线积分为 （ lx 沿逆时针方向）
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lx 1 2
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A dl A dl A dl A dl A dl
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lz 1 2
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设 M 为矢量场中的一点，在 M 点取一单位矢量 en ， 并在 M 点周围取小闭合回路 l ， 令 l 的环绕方向与 en 构成右手螺旋关系； 作以 l 为边界， en 为法线方向， 且过点 M 的小曲面 S 。
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若在矢量场 A 中的一点 M 处存在矢量 R , 它的方向是 A 在该点环量面密度最大的方向， 其模值是最大的环量面密度， 则称矢量 R 为矢量场 A 在点 M 的旋度， 记为
rotA R
A 绕 en 方向的环量面密度就是 rotA 在 en 上的投影。
en 方向的环量面密度
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华北电力大学电气与电子工程学院1 矢量分析与场论基础
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1.5
矢量场的环量和旋度
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得
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rot x A lim
lx
A dl
S x
S x 0
Az Ay = y z
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取如图的平行于 zox 坐标平面的小矩形面， 小矩形面的法向矢量与 ey 平行， 小矩形面的面积为 S y 4zx 将 A 展开成泰勒级数并忽略高阶 项， 则 A 沿 l y 的线积分为
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l y 1 2
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A dl A dl A dl A dl A dl
3 4
Ax Az = Az x 2z Ax z 2x x z Ax Az Az x 2z Ax z 2x x z Ax Az = 4zx x z
3 4
Ay Az = Ay z 2y Az y 2z z y Ay Az Ay z 2y Az y 2 z z y Az Ay = 4yz z y
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得
rot y A lim
l y

A dl S y
S y 0
Ax Az = z x
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取如图的平行于 xoy 坐标平面的小矩形面， 小矩形面的法向矢量与 ez 平行， 小矩形面的面积为 Sz 4xy ， 将 A 展开成泰勒级数并忽略高阶项， 则 A 沿 lz 的线积分为