小结与思考新沂市第四中学张世涛一、教学目标：1、梳理全章知识结构，使学生系统地把握全章知识。
2、复习整式乘法、乘法公式和因式分解的内容，能熟练地进行基本运算或变形。
3、通过对主要知识点回顾，对易错、易混点分析，进一步提高学生的知识技能。
4、通过探索、合作、交流活动，培养学生团结、协作精神。
5、通过做一做，使学生感受到整式乘法与因式分解具有相同的几何背景，提高对两者关系的认识高度，从而培养学生“两分法”看世界的观点，使学生初步感受矛盾对立统一的辩证思想。
6、在教学过程中和阅读材料里，渗透类比、转化等数学思想以提高学生数学素养。
二、重难点：1、能准确理解整式乘法和因式分解的关系，能准确规范地进行基本的整式乘法运算，能准确规范地用提公因式法、公式法分解因式。
2、通过操作理解整式乘法与因式分解的几何背景，感受数、形结合思想，进而抽象到用“两分法”看世界。
3、理解整式变形中蕴含的数学思想、方法，培养初步推理能力。
说明本课时是本章的小结与复习，重在对全章内容重新梳理，对学生易错、易混点要多做提醒，教学中要抓住本章的灵魂，整式乘法与因式分解的关系——互为逆过程这一中心来设计。
在对比中让学生理解它们的区别，在动手操作时理解它们的关系，还要注意渗透类比、转化等数学思想。
要关注考一考中的学生掌握情况，以利于采取补救措施，本课时内容较多，在时间安排上要根据学生情况作出灵活调整。
三、教具、学具矩形、正方形纸板若干块，有条件的用实物投影仪或多媒体演示。
四、教学过程(一)设置情境情境1你能说出(－2)2005+(－2)2006的结果吗？说明：学生讨论、交流后回答，注意学生可能采取的不同的策略。
对学生思维中出现的创造性火花予以鼓励，本设计旨在让学生体会因式分解合理性、实用性。
思考1、在解题过程中你用了什么方法？2、这种方法的要点是什么？在使用这种方法时，要注意哪些问题？建议教学时，及时复习公因式如何确定等要点，可以自己配套选取相应内容的练习。
情境2 小明、小丽、小亮三人做游戏，小明、小亮一人手里拿一块正方形纸片。
小明说：我这块纸片边长比小亮的大2cm，小亮说：我这块面积比小明的小20cm2，现在，让小丽猜他们两人手中的正方形纸片边长各是多少？你能帮助你小丽解决这个问题吗？说明：让学生讨论、交流，确定解决策略，建立数学模型后得出方程(x+2)2－x2=20，可能不困难，要重点关注下面的变形，有的用完全平方公式展开后合并、化简的解；有的是用因式分解变形，教学时要鼓励学生用不同的方法以达到复习目的。
思考：1、刚才的解题过程中，用了哪些方法？引出乘法公式和因式分解。
2、你能说说整式乘法和因式分解的关系吗？3、本章的主要内容有哪些？从而引出本章的知识结构。
情境3 提问：本章学了哪些主要内容？小组交流、讨论、口答，老师补充、规范。
思考：1、你能举一个单项式乘多项式的例子吗？2、你能举一个多项式乘多项式的例子吗？3、你能举一个乘法公式的例子吗？然后让学生把上面几个例子倒过来看，是什么？用什么方法？引出因式分解与整式乘法的关系。
(二)知识回顾说明：小组讨论、交流回答，教师归纳整理出本章知识结构图，有条件的尽量用多媒体演示，这样能更好反映出本章各知识点之间的联系，更直观地揭示整式乘法与因式分解的关系。
注意：图中蓝色方框中单项式乘单项式与因式分解不是互逆关系，准确地说：有多项式参与的整式乘法与因式分解是可逆的。
(三)例题讨论例1 下列变形中哪些变形是因式分解，哪些是整式乘法？(1)8a 2b 3c=2a 2b ·2b 3·2c (2)3a 2+6a=3a(a+2)(3)x 2－21y =(x+y 1)(x －y 1) (4)x 2－4+3x=(x+2)(x －2)+3x(5)ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)(6)(2a+5b)(2a －5b)=4a 2－25b 2说明：此练习旨在复习学生对因式分解与整式乘法的认识，强调因式分解必须是左边是多项式，右边整体是积。
解：（略）例2 下列变形中，因式分解对不对？为什么？(1)x 2y －xy 2=xy(x －y)(2)a 3－2ab+ab 2=a(a －b)2=a(a 2－2ab+b 2)(3)62ab －4ab 2+2ab=2ab(3a －2b)(4)4a2－100=(2a+10)(2a－10)(5)a2－b2=(a－b)2说明：此例旨在提醒学生常出现的错误，1、剩下的1漏写；2、没有先提公因式分解不完全；3、平方差与差平方相混，尤其是(2)中是学生常见错误类型，原因是学生对整式乘法先入为主，而对因式分解的本质没有完全理解，形成心理学上的“倒摄抑制”效应，应提醒学生注意。
解：（略）例3 因式分解(x+a)2－(x－a)2说明：让学生先做，小组交流、总结，以达到复习公式的目的。
思考：1、你分解的思路是什么？2、其中用到哪两个公式？3、你能把这两个公式特征说出来吗？说明：此例旨在复习完全平方公式展开和因式分解的平方差公式，学生叙述时可能说不清楚，教师要规范说法，随时说明每步变形的依据，培养学生以理驭算的能力。
解：（略）例4 分解因式(1)x(x－y)+y(y－x) (2)16a2b－16a3－4ab2解：(1)x(x－y)+y(y－x)=x(x－y)－y(x－y)→整理、看清了公因式=(x－y)(x－y) →提公因式=(x－y)2→规范(2)16a2b－16a3－4ab2=4a(4ab－4a2－b2) →整理=－4a(4a2－4ab+b2)→提公因式=－4a(2a－b)2→用公式说明：板书出规范解题格式，提醒学生因式分解时的步骤，一提(提公因式提完)，二套(准确用公式)，三查(养成检查习惯)，尤其是最后一步，检查是否还可再分下去。
例5 计算(2+1)(22+1)(24+1)…(22n+1)谁算得快。
说明：此练习旨在复习乘法公式——“平方差”，要求学生用转化方法，使之转化为符合平方差公式的形式，还意在提醒学生整式乘法与因式分解区别，不要相混。
解：（略）思考：1、此题是整式乘法还是因式分解？2、你能为同位出类似的一道题吗？教师要关注学生的思维变化过程有典型的可以投影简评，鼓励以激发学生兴趣。
(四)做一做：用边长分别为a、b的正方形纸若干和边长为a、b的长方形纸片若干，你能拼成长方形吗？学生可能拼出以上图形，教师巡视对拼图有困难的小组提供适当的帮助。
投影出上图：思考：1、两矩形长宽分别是什么？2、由计算面积能得出什么结论？3、把过程倒过来，你发现了什么？说明：通过拼图，计算面积，先得出多项式乘多项式的结果，然后启发学生回头看，就成了多项式的因式分解了，体会两者联系，使学生感受它们具有相同的几何背景，这里要体现新课标理念，让学生“做”数学。
要给学生较充足的时间，让学生充分动手，合作交流，以培养学生团结协作的精神。
建议教学时针对学生特点，不要作统一要求，对拼出较多图形的小组予以表扬，激发其对数学的思趣。
(五)小结：1、整式乘法与因式分解的关系。
2、因式分解的一般步骤：一提，二套，三查。
3、本章有哪些容易混淆，出错的地方。
说明：小结时，可先让学生回答，教师补充、归纳。
(六)考一考：一、填空(1)(2x＋1)(－2x＋1)=(2)若x2＋mx＋1是一个完全平方式，则m=(3)(－x－y)2=(4)a＋b=－3，ab=2，则a2＋b2= (a－b)2=(5)单项式6a3b与9a2b3c的公因式为分解因式(6)x(x－y)＋y(y－x)(7)9x2－25y2(8)3x(a－b)－6y(b－a)(9)(m－n)2－m(m－n)2－n(n－m)2(10)4ab2－4a2b+b3课堂练习1、计算(1)5a2b·(－2ab3) (2)4x2y(3xy2z－7xy)(3)(a＋9)(a＋1) (4)(5－2x)(2x＋5)(5)(5－2x)(2x－5) (6)(a＋b＋c)22、分解因式(1)3ax2－3ay2(2)2xy2－3x2y＋xy(3)(a＋b)2－a2(4)49(a－b)2＋6(a＋b)2(5)x4y4－8x2y2＋16 (6)16－24(x－y)＋9(x－y)2 3、选做(1)若x2－4x＋y2－10y＋29=0，求x2y2＋2x3y2＋x4y2的值(2)①两个连续整数的平方差是个什么数？为什么？②两个连续偶数的平方差呢？③两个连续奇数平方差呢？课内作业：复习题第8题选做探索研究18课外：复习题14、15，探索19选作如图：用两个边长为a、b、c的直角三角形拼成一个新的图形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么？说明：让学生制作纸片拼图，可给予适当提示，鼓励有兴趣的同学去做，以体现不同的人在数学上有不同的发展这一理念。
阅读·欣赏·探索数学是奇妙的、有趣的，你知道因式分解还可以这样做吗？1、分解因式：x2+4x+3X2+4x+3=x2+4x+4－1 →怎样变形的？=(x+2)2－1 →能用什么公式？=[(x+2)+1][(x+2)－1] →平方差=(x+3)(x+1)对于此类二次三项式，可以先把常数项拆成两项在前面配出三项正好符合完全平方式，后面恰好是一个完全平方数，然后再用平方差公式分解。
这种方法叫配方法，这是很重要的一种数学方法，以后还能用到。
看完上面，你有何收获？请你尝试用刚才的方法分解因式。
(1)x2+2x－3 (2)x2+6x+8 (3)x2－4x+3(4)x2－4x－5 (5)x2－6x－7 (6)x2－x－22、做一做：先观察下面整式乘法过程(x+1)(x+3)=x(x+3)+1×(x+3)=x2+3x+x+3=x2+4x+3→这是什么运算？思考：因式分解与乘法有何区别与联系？生甲：把整式乘法过程倒过来就变成因式分解了。
师：根据因式分解与乘法关系，你能把x2+4x+3这个二次三项式因式分解吗？建议让学生讨论、交流、体会变形的关键要想到一次项可能是合并后的结果，关键是把一次项还原成合并前的情况，这就要求学生作出猜想，评价，推理后才能合理拆项，训练了学生的思维能力。
进一步体会因式分解与整式乘法的对立统一的关系。
思考：你能用这种方法分解下列二次三项式吗？(1)x2－4x+3 (2)x2－x－2 (3)x2+2x－3(4)x2－4x－5 (5)x2－6x+8 (6)x2－6x－7思考：你认为所有的二次三项式都能用此方法分解吗？说明：十字相乘法在新课标中明确不做要求，但考虑到今后的实际作用，还有其本身变形时蕴含的方法，思想如配方，拆项，尤其是两个一次二项式的乘积在反过来，就得到了分解过程，也符合本章的主旨，建议给学生介绍，但要控制难度，二次项系数限为1，教学中注意引导学生体会变形的依据，以培养学生的推理能力。