π l = π 11 − 2 (π 11 − π 12 − π 44 ) l12 m 12 + n12 l12 + m 12 n12
2 2 2 2 π t = π 12 + (π 11 − π 12 − π 44 ) l12 l 2 + m12 m2 + n1 n2
(
(
)
)
式中 分别为压阻元件的纵向、 分别为压阻元件的纵向 π11、 π12、 π44——分别为压阻元件的纵向、横向及剪切向压 阻系数，是硅、锗之类半导体材料独立的三个压阻系数。 阻系数，是硅、锗之类半导体材料独立的三个压阻系数。 l1、m1、n1——分别为压阻元件纵向应力相对于立方晶轴的 分别为压阻元件纵向应力相对于立方晶轴的 方向余弦； 方向余弦； l 2、m2、n2——分别为压阻元件横向应力相对于立方晶轴的 分别为压阻元件横向应力相对于立方晶轴的 方向余弦； 方向余弦
式中 压阻元件的电流方向垂直。 压阻元件的电流方向垂直。
∆R = π lσ l + π t σ t + π s σ s R
8.3 压阻系数
当硅晶体的晶轴与立方晶体晶轴有偏离时， 当硅晶体的晶轴与立方晶体晶轴有偏离时，电阻的变化率表示为
∆ R R = π
lσlຫໍສະໝຸດ + πtσ
t
在此情况下， 在此情况下，式中的πl、πt 值可用π11、π12、π44表示为
8.2 晶向的表示方法
（2）法线式
x cos α + y cos β + z cos γ = p − − − − − −(2)
p －－－法线长度 －－－法线长度
cos α , cos β , cos γ －－－法线的方向余弦，也可 －－－法线的方向余弦 法线的方向余弦，
表示。 以用l 以用 、m、n表示。 表示
灵敏度高（比金属丝高 灵敏度高（ 50～80倍）、尺寸小、横向效应 50～80倍）、尺寸小、 尺寸小 滞后和蠕变小、 小、滞后和蠕变小、适于动态测量
8.1 压阻式传感器的工作原理
任何材料电阻的变化率都由下式决定
∆ρ ∆R ∆l ∆s = + − R ρ l s
半导体电阻的变化率主要是电阻率变化 引起的，这就是压阻式传感器的基本工作原理。 引起的，这就是压阻式传感器的基本工作原理。
8.1 压阻式传感器的工作原理
如果引用
∆ρ
ρ
= πσ
式中π为压阻系数，σ为应力 为应力， 式中π为压阻系数，σ为应力，再引进横 为压阻系数 向变形的关系， 向变形的关系，则电阻的相对变化率可写成
∆R ∆l ∆l = πσ + + 2µ = πEε + (1+ 2µ)ε = (πE +1+ 2µ)ε = kε R l l 式中 k——灵敏系数 灵敏系数
晶体 导电类 型 Si P Si N 电阻率 /Ω·cm 7.8 11.7
π11
+6.6 -102.2
π12
-7.1 +53.4
π44
+138.1 -13.6
8.3 压阻系数
前面已经讲过，单晶硅的晶面虽然很多， 前面已经讲过，单晶硅的晶面虽然很多， 但是（ ）、（110）、（ ）、（111）是三个主 但是（100）、（ ）、（ ）、（ ） 要晶面。制作压力传感器， 要晶面。制作压力传感器，总是在某一晶 面上选择两个互相垂直的晶向[h， ， 和 面上选择两个互相垂直的晶向 ，k，l]和 [r，s，t]作为坐标轴，也就是说， ， ， 作为坐标轴，也就是说， 作为坐标轴 Y(r,s,t) 扩散电阻要么垂直于X轴 扩散电阻要么垂直于 轴，要么垂 直于 Y轴，如图所示。 轴 如图所示。
8.2 晶向的表示方法
例如： 例如： 有一ABC ABC面 截距为4a 4a、 有一ABC面，截距为4a、b、c, 截距的 倒数为1/4 1/4、 倒数为1/4、1、1，它的密勒指数为 （1，4，4）。 另有一晶面，截距为2a 4b、 2a、 另有一晶面，截距为2a、4b、∞c, 截距的 倒数为1/2 1/4、 1/2、 倒数为1/2、1/4、0，它的密勒指数为 （2、1、0）。
半导体材料的灵敏系数。 式中 ky——半导体材料的灵敏系数。 半导体材料的灵敏系数 此式表示， 此式表示，压阻式传感器的灵敏系数是金 属应变片的灵敏系数的50～ 倍 属应变片的灵敏系数的 ～100倍。
8.2 晶向的表示方法
压阻效应与压阻系数
晶向、 晶向、晶面的表示方法 晶向——通过晶体中任意两个原子中心连 晶向——通过晶体中任意两个原子中心连 —— 成直线来表示晶体结构的空间的各个方向。 成直线来表示晶体结构的空间的各个方向。 晶面—— ——晶体结构一系列原子所构成的 晶面——晶体结构一系列原子所构成的 平面。 平面。 晶向是晶面的法线方向 的法线方向。 晶向是晶面的法线方向。 结晶体是具有多面体形态的固体， 结晶体是具有多面体形态的固体， 其表面由称为晶面的许多平面围合而成。 其表面由称为晶面的许多平面围合而成。 一般来讲，对于平面的表示方法有两种： 一般来讲，对于平面的表示方法有两种： x y z （１）截距式 + + = 1 − − − − − −(1) r s t
8.3 压阻系数
沿一块半导体某一轴向施加一定 应力时，除了产生一定应变外， 应力时，除了产生一定应变外，材料 的电阻率也要发生变化，这种现象称为 的电阻率也要发生变化， 半导体的压阻效应。 半导体的压阻效应。
8.3 压阻系数
对于Ｐ型单晶硅半导体， 对于Ｐ型单晶硅半导体，当 应力沿［111］方向时，或对Ｎ 应力沿［111］方向时，或对Ｎ 型单晶硅半导体， 型单晶硅半导体，当应力沿 ［100］方向时，可得到最大的 100］方向时， 压阻效应。 压阻效应。
k = πE + 1 + 2 µ
8.1 压阻式传感器的工作原理
k = πE + 1+ 2 µ
对半导体来讲， 可忽略不计， 对半导体来讲，1+2µ可忽略不计，而压阻系 可忽略不计 数π =（40～80）×10-11N/m2，弹性模量 （ ～ ） E = 1.67×1011N/m2，故 ×
k y = πE ≈ (50 ~ 100 )k
8.2 晶向的表示方法
若式（ 若式（1）与式（2）表示的是同一平面， 与式（ 表示的是同一平面， 则由式（2）得 则由式（
x y z cos α + cos β + cos γ = 1 − − − − − −(3) p p p
比较式（ 比较式（1）与式（3），则有 与式（ ），则有
1 1 1 cos α : cos β : cos γ = : : r s t
8.2 晶向的表示方法
同理， 同理，与X、Y轴相交而平行于Z轴的晶面 0)，其晶向为[1 0]；其余类推。 为(1 1 0)，其晶向为[1 1 0]；其余类推。 硅立方晶体内几种不同晶向及符号如图。 硅立方晶体内几种不同晶向及符号如图。
[100]
单晶硅内集中不同晶向与晶面
8.2 晶向的表示方法
对于同一单晶， 对于同一单晶，不同晶面上原子的分布不 如硅单晶中， 1)晶面上的原子密度 同。如硅单晶中，(1 1 1)晶面上的原子密度 最大， 0)晶面上原子密度最小 晶面上原子密度最小。 最大，(1 0 0)晶面上原子密度最小。各晶面 上的原子密度不同，所表现出的性质也不同， 上的原子密度不同，所表现出的性质也不同， 如(1 1 1)晶面的化学腐蚀速率为各向同性， 1)晶面的化学腐蚀速率为各向同性， 晶面的化学腐蚀速率为各向同性 0)晶面上的化学腐蚀速率为各向异性 晶面上的化学腐蚀速率为各向异性。 而(1 0 0)晶面上的化学腐蚀速率为各向异性。 单晶硅是各向异性的材料，取向不同， 单晶硅是各向异性的材料，取向不同，则压阻 效应也不同。硅压阻传感器的芯片， 效应也不同。硅压阻传感器的芯片，就是选择压阻效应 最大的晶向来布置电阻条的。同时利用硅晶体各向异性、 最大的晶向来布置电阻条的。同时利用硅晶体各向异性、 腐蚀速率不同的特性， 腐蚀速率不同的特性，采用腐蚀工艺来制造硅杯形的压 阻芯片。 阻芯片。
8.3 压阻系数
的数值见下表。 室温下单晶硅π11、π12和π44的数值见下表。 从表可以看出： 型硅， 从表可以看出：对于 P型硅，π44远大于π11、 型硅 π12 因而在计算时，只取π44；对于 型硅， 因而在计算时， 对于N型硅 型硅， π44较小，π11最大，π12≈1/2π11，因而在计算 较小， 最大， 时只取π11和π12。 π11、π12、π44的数值（×10-11m2/N） 的数值（ ）
8.3 压阻系数
应力作用在单晶硅上，由于压阻效应，硅晶体的电阻发生变化。 应力作用在单晶硅上，由于压阻效应，硅晶体的电阻发生变化。电 阻的相对变化与应力的关系如下式所示。在正交坐标系统， 阻的相对变化与应力的关系如下式所示。在正交坐标系统，坐标 轴与晶轴一致时， 轴与晶轴一致时，有
σl ——纵向应力； ——纵向应力 纵向应力； σt ——横向应力； 横向应力； 横向应力 σs ——与纵向应力和横向应力垂直的应力。 与纵向应力和横向应力垂直的应力。 与纵向应力和横向应力垂直的应力 πl ——纵向压阻系数； 纵向压阻系数； 纵向压阻系数 πt ——横向压阻系数； 横向压阻系数； 横向压阻系数 πs ——与纵向和横向垂直的压阻系数。 与纵向和横向垂直的压阻系数。 与纵向和横向垂直的压阻系数 小很多一般略去。 由于σs一项比σt 和σl 小很多一般略去。πl表示应力作用方向 与通过压阻元件的电流方向一致， 与通过压阻元件的电流方向一致，πt 表示应力作用的方向与通过
8.2 晶向的表示方法
A（a1,a2,a3）与B(b1,b2,b3)两向量点乘 =0。 时，如A⊥B，必有a1b1+a2b2+a3b3=0。 A⊥B，必有a 在电阻式传感器的设计中， 在电阻式传感器的设计中，有时需求出 与两晶向都垂直的第三晶向，这可根据两向量的 与两晶向都垂直的第三晶向， 叉乘来求，因为Ａ×Ｂ＝Ｃ，向量Ｃ必然与向量Ａ 乘来求，因为Ａ Ｂ＝Ｃ，向量Ｃ必然与向量Ａ 向量 及向量Ｂ都垂直。 及向量Ｂ都垂直。