一.教学内容：
对数运算、对数函数
二.重点、难点：
1.对数运算
（1）x N a =log N a x =⇔
（2）01log =a
（3）1log =a a
（4）N a N a =log
（5）N M N M a a a log log )(log +=⋅
（6）N M N
M a a a log log log -= （7）M x M a x a log log ⋅=
（8）a M M b b a log /log log =
（9）b x
y b a y a x log log = （10）1log log =⋅a b b a
2.对数函数x y a log =，0>a 且1≠a
定义域 （+∞,0）
值域 R
单调性 ↓∈)1,0(a ↑+∞∈),1(a
奇偶性 非奇非偶
过定点 （1，0）
图象 x y a log =与x y a 1log =关于x 轴对称
【典型例题】
[例1]求值
（1）=7log 3)9
1(； （2）=-++4log 20log 2
3log 2log 151515
15； （3）=+⋅+18log 3log 2log )2(log 66626； （4）=⋅81log 16log 329；
（5）=+⋅++)2log 2(log )5log 5)(log 3log 3(log 2559384；
（6）=+⋅+2)2(lg 50lg 2lg 25lg 。
解：
（1）原式49
1733)3(27log 7log 27log 22333=
====---- （2）原式115log 15==
（3）原式18log )3log 2(log 2log 6666++⋅=
（4）原式5
8)3log 54()2log 24(23=⋅= （5）原式8
15)2log 23()5log 23()3log 65(532=⋅⋅= （6）原式)2lg 50(lg 2lg 25lg ++=
[例2]若z y x ,,满足)](log [log log )](log [log log 33132212y x =)]z (log [log log 55
15=
0=，试比较z y x 、、的大小关系。
解：log 2〔log 21(log 2x)〕＝0⇒log 2
1(log 2x)＝1⇒log 2x ＝21⇒x ＝2＝(215)301. 同理可得y ＝33＝(310)301,z ＝55＝(56)301. ∵310>215>56，由幂函数y ＝x 301
在(0，+∞)上递增知，y>x>z.
[例3]若==2121log log b b a a ……λ==n a b n log ，则=⋅)(log 21)(21n a a a b b b n 。
解：由已知λ11a b =，λλn n a b a b == 22
∴λ)()(11n n a a b b =
∴λ=)(log 21)(1n a a b b b n
[例4]图中四条对数函数x y a log =图象，底数a 为10
1,53,34,3这四个值，则相对应的C 1，C 2，C 3，C 4的值依次为（） A.101,53,34,3 B.53,101,34,3 C.101,53,3,34 D.5
3,101,3,34 答案：A
[例5]求下列函数定义域
（1）)]lg[lg(lg x y =
（2）)43lg(2--=x x y
（3）)1(log 2
1-=x y
解：
（1）1lg 0]lg[lg =>x ∴1lg >x ∴),10(+∞∈x
（2）0432>--x x ),4()1,(+∞⋃--∞∈x
（3）110≤-<x ]2,1(∈x
[例6]求下列函数的增区间
（1）1log 2-=x y
（2）)82(log 22
1--=x x y
解：
（1）↑=t y 2log 1-=x t ↑+∞↓-∞),1()1,(
∴)(x f y =在（+∞,1）↑
（2）↓=t y 2
1log 822--=x x t ↑+∞↓--∞),4()2,(
∴)(x f y =在↑--∞)2,(
[例7]研究函数)1(log )(22x x x f y -+==的定义域、值域、奇偶性、单调性。
解：（1）x x x x ≥=>+221∴012>-+x x ∴定义域为R
（2）R x ∈),0(12+∞∈-+x x ∴R y ∈为值域
（3）)1(log )](1)([log )(2222x x x x x f ++=--+-=- ∴奇函数
（4）),0(+∞∈x 时，x
x x x y ++=-+=11log )1(log 2222 ↓++=x
x t 112t y 2log =↑∴)(x f y =在),0(+∞上↓ ∵奇函数∴)(x f y =为R 上↓
[例8]已知)1,0(∈x ，0>a 且1≠a ，试比较)1(log x a +与)1(log x a -的大小关系。
解：
（1）)1,0(∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+
（2）),1(+∞∈a 时，)1(log )1(log x x a a --+)1(log )1(log x x a a -++= 综上所述，)1(log )1(log x x a a -<+
[例9]函数)34(log )(22++==kx kx x f y
（1）若定义域为R ，求k 的取值范围。
（2）若值域为R ，求k 的取值范围。
解：
（1）0=k 时，3log 2=y R x ∈
4300121602<<⇒⎩
⎨⎧<-=∆>k k k k ∴)43,0[∈k （2）⎩
⎨⎧≥-=∆>0121602k k k ),43[+∞∈⇒k 【模拟试题】（答题时间：30分钟）
1.求值：
（1）=-2log 5)125
1(； （2）=+-+8
lg 5.0lg 215lg 4lg ； （3）=+-)2log 3(log )6)(log 6(log 3232；
（4）=-+++6lg 26lg )6(lg 3lg 2lg 62。
2.正实数y x ,满足z y x 643==
（1）求证：y
x z 2111=- （2）比较y y x 6,4,3的大小关系
3.已知a =2log 3，b =2log 5试用b a ,表示90log 30
4.),1(d x ∈，x a d 2log =，2log x b d =，)(log log x c d d =，
试比较c b a ,,大小关系。
5.若12>>>a b a ，则b a a
b b a a b b a log ,log ,log ,log 的大小关系是。
6.1>>m n ，试比较n m log 与n m 2log 2的大小关系。
7.研究函数)1(log )(-==x a a x f y （0>a 且1≠a ）的定义域及单调性。
【试题答案】
1.
（1）8558log )2log (355==--
（2）原式1lg
lg 22
== （3）2)2log 3(log )2log 1)(3log 1(3232=+-++
（4）16lg 16lg )16(lg 3lg 2lg 2=-+=-++
2.
（1）令010643>===k z y x ∴6
lg 4lg 3lg k z k y k x === 2lg 124lg 21k
k y ==∴成立 （2）k k k y x =-=-4lg 43lg 3434
lg 3lg 3lg 44lg 3⋅-⋅ ∴z y x 643<< 3.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==5log 13log 122b
a
4.x x a d d log log ⋅=x b d log 2⋅=∵)1,0(log ∈x d
∴c a b >>>0 5.0log 1log <-=b b a a a )2
1,0(0log 1log ∈>-=a a b b b )1,21(log ∈a b )2,1(log ∈b a ∴b
a a
b a b a b b a log log log log >>> 6.m n m n n n m m 22222log 1log 1log log 2log log ++-=-0)
log 1(log log log 2222>+-=m m m n 7.
（1）)1,0(∈a 01a a x =>∴定义域为)0,(-∞↓=t y a log ↓-=1x a t ∴↑=)(x f y
（2）),1(+∞∈a 01a a x =>∴定义域为),0(+∞
↑=t y a log ↑-=1x a t ∴↑=)(x f y。