加工奶制品的生产计划
问题 品加工厂用牛奶生产1A ，2A 两种奶制品，1桶牛奶可以在设备甲用12小时加工成3公斤1A ，或者在设备乙上用8小时加工成4公斤2A 。
根据市场需求，生产的1A ，2A 全部能售出，且每公斤1A 获利24元，每公斤2A 获利16元。
现在加工厂每天能得到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间魏480小时，并且设备甲每天至多能加工100公斤1A ，设备乙的加工能力没有限制。
试为该厂制订一个生产计划，使每天获利最大，并进一步讨论以下三个附加问题：
1） 若用35元可以买到1桶牛奶，应否作这项投资？ 若投资，每天最多购买多少桶
牛奶？
2） 若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的工资最多是每小时几元？
3） 由于市场需求变化，每公斤1A 的获利增加到30元，应否改变生产计划？
问题分析 这个优化问题的目标是使每天的获利最大，要作的决策是生产计划，即每天用多少桶牛奶生产1A ，用多少桶牛奶生产2A ，决策受到3个条件的限制：原料（牛奶）供应、劳动时间、设备甲的工作能力。
按照题目所给，将决策变量、目标函数和约束条件用数学符号及式子表示出来，就得到下面的模型。
基本模型
决策变量：设每天用1x 桶牛奶生产1A ，用2x 桶牛奶生产2A 。
目标函数：设每天获利Z 元。
1x 桶牛奶可生产31x 公斤1A ，获利1324x ⨯，2x 桶牛奶可生产42x 公斤2A ，获利2416x ⨯，故Z=216472x x +.
约束条件
原料供应：生产1A ，2A 的原料（牛奶）总量不得超过每天的供应，即1x +2x ≤50桶； 劳动时间：生产1A ，2A 的总加工时间不得超过每天正式工人总的劳动时间，即121x +82x ≤480小时；
设备能力：1A 的产量不得超过设备甲每天的加工能力，即31x ≤100；
非负：1x ，2x 均不能为负值，即1x ≥0，2x ≥0。
综上可得 Max Z=216472x x + (1)
s.t. 1x +2x ≤50 (2)
121x +82x ≤480 (3)
31x ≤100； (4)
1x ≥0，2x ≥0 (5)
这就是该问题的基本模型。
由于目标函数和约束条件对于决策变量而言都是线性的，所以称为线性规划（Linear Programming,简记作LP ）.
模型分析与假设
1）1A ，2A 两种奶制品每公斤的获利是与它们各自产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需时间是与它们各自产量无关的常数；
2）1A ，2A 每公斤的获利是与它们相互间产量无关的常数，每桶牛奶加工出1A ，2A 的数量和所需的时间是与它们相互产量无关的常数；
3）加工1A ，2A 的牛奶的桶数可以是任意实数。
软件实现 求解线性规划有不少现成的数学软件，比如用LINDO 软件就可以很方便的实现。
在LINDO6.1版本下打开一个新文件，像书写模型（1）—（5）一样，直接输入：
max 72x1+64x2
st
2)x1+x2<50
3)12x1+8x2<480
4)3x1<100
end
注：LINDO 中已经规定所有的决策变量均为非负，故（5）式不必输入；乘号省略，式中不能有括号，右端不能有数学符号；模型中符号，≤，≥用<=,>=形式输入，它们与<,>等效；输入文件中第一行为目标函数，2），3），4）是为了标示个约束条件，便于从输出结果中查找相应信息；程序最后以end 结束。
将文件存储并命名后，选择菜单“solve ”并对提示“DO RANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS ?”(灵敏性分析)回答“是”，即可得到如下输出：
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2
OBJECTIVE FUNCTION V ALUE
1) 3360.000
VARIABLE V ALUE REDUCED COST
X1 20.000000 0.000000
X2 30.000000 0.000000
ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES
2) 0.000000 48.000000
3) 0.000000 2.000000
4) 40.000000 0.000000
NO. ITERATIONS= 2
RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED:
OBJ COEFFICIENT RANGES
V ARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE
X1 72.000000 24.000000 8.000000
X2 64.000000 8.000000 16.000000
RIGHTHAND SIDE RANGES
ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE
RHS INCREASE DECREASE
2 50.000000 10.000000 6.666667
3 480.000000 53.333332 80.000000
4 100.000000 INFINITY 40.000000
上面结果的第3，5，6行明确告诉我们，这个线性规划的最优解为x1=20,x2=30,最优值为Z=3360，即用20桶牛奶生产1A ，30桶牛奶生产2A ，可获最大利润3360元。
结果分析
上面的输出中除了告诉我们问题的最优解和最优值以外，还有许多对分析结果有用的信息，下面结合题目中提出的3个附加问题给予说明。
（1）3个约束条件的右下端不妨看作3种“资源” ：原料、劳动时间、设备甲的加工能力。
输出第7~10行“SLACK OR SURPLUS ”给出这3种资源在最优解下是否有剩余：2）原料，3）劳动时间的剩余均为零，4）设备甲尚余40公斤加工能力。
一般称“资源”剩余为零的约束称为紧约束。
（2）目标函数可以看作“效益” ，成为紧约束的“资源”一旦增加，“效益” 必然跟着增长。
输出第7~10行“DUAL PRICE ”给出这3种资源在最优解下“资源”增加一个单位时“效益”的增量：2）原料增加1个单位（1桶牛奶）时利润增长48元，3）劳动时间增加一个单位（1小时）时利润增加2元，而增加非紧约束4）设备甲的能力显然不会使利润增长。
这里，“效益”的增量可以看作“资源”的潜在价值，经济学上称为影子价格，即1桶牛奶的影子价格为48元，1小时劳动的影子价格为2元，设备甲的影子价格为零。
可以用直接求解的方法验证上面的结论，即将输入文件中原料约束2）右端的50改为51，看看得到的最优值（利润）是否恰好增长48元。
用影子价格很容易回答附加问题1）：用35元可以买一桶牛奶，低于1桶牛奶的影子，当然应该作这项投资。
回答附加问题2）：聘用临时工人以增加劳动时间，付给的工资低于劳动时间的影子价格才可以增加利润，所以工资最多是每小时2元。
（3）目标函数的系数发生变化时（假定约束条件不变），最优解和最优值会改变吗？这
个问题不能简单的回答。
上面输出的第13~17行“CURRENT COEF”的“ALLOWABLE INCREASE”和“ALLOWABLE DECREASE”给出了最优解不变条件下目标函数系数的允许变化范围：x1的系数为（72-8，72+24），即（64，96）；x2的系数为（64-16，64+8），即（48，72）。
注意：x1系数的允许范围需要x2 系数64不变，反之亦然。
A的获利增加到30元，则x1的系数变用这个结果很容易回答附加问题3）：若每公斤
1
=90，在允许范围内，所以不应该改变生产计划。
为303
（4）对“资源”的影子价格作进一步的分析。
影子价格的作用（即在最优解下“资源”增加1个单位时“效益”的增量）是有限制的。
上面输出的第18~23行“CURRENT RHS”的“ALLOWABLE INCREASE”和“ALLOWABLE DECREASE”给出了影子价格有意义条件下约束右端的限制范围：2）原料最多增加10桶牛奶，3）劳动时间最多增加53小时。
现在可以回答附加问题1）的第2问：虽然应该批准用35元买一桶牛奶的投资，但每天最多购买10桶牛奶。
顺便指出，可以用低于每小时2元的工资聘用临时工人以增加劳动时间，但最多增加53小时。