L2 ·L1 L⊥2 ·L2 L⊥2 ·L3
L2 〔 2 〕 (其中 ·代表组合作用) 3 L2 〔 222 〕 L3 3L2 〔 32 〕
L⊥2 ·L4
L⊥2 ·L6
L4 4L2 〔 422 〕
L6 6L2 〔 622 〕
方括号中的符号是相应点群的国际符号。
下标 “ ⊥ ” 表示 L2 与另一对称轴垂直相交。
32种点群的极射赤平投影
32种点群中对称元素的空间分布和相互关系
1.
对称轴的组合(轴式): 前面提到有 8 种可 以独立存在的宏观对称元素 , 它们是 L1, L2, L3, L4, L6, Li4 和 P, C, 其相应点群的 国际符号分别为1, 2, 3, 4, 6, 4, m 和 1。 L1, L2, L3, L4, L6 和 Li4称为原始轴式。 当在这 6 种对称轴(或旋转反伸轴)上垂直 加入一个 L2, 根据对称元素组合定理二之 推理 , 可以得到:
定理五 :如有一偶次对称轴垂直于一个对称 面 , 则其交点恒为一对称中心。 推理一: 偶次对称轴、垂直于它的对称面和 对称中心中 , 任意二者的组合必产生第三者。 推理二 : 当有对称中心存在时 , 偶次对称 轴的个数之和必等于对称面的个数之和 , 且每一 个偶次轴均垂直于一个对称面。
3.2.3
定理一(欧拉定理): 通过任意二相交对称轴之交点 , 必可找到 第三个新轴 , 其作用等于前二者之积 , 其轴次 及其与两个原始对称轴之间的交角则取决于 该二原始对称轴的 轴次及它们之间的交角。
推理 : 如有一m 次对称轴与一n 次对称
轴相交 , 则围绕 n 次对称轴恒有 n 个共点的 m 次对称轴; 同时 , 围绕 m 次对称轴恒有 m 个共点的 n 次对称轴 , 且任意两个 m 次对 称 轴与 n 次对称轴间的交角均等于原始的 m 次对称轴与 n 次对称轴之间的交角。
根据组合定理四之推理 ,L⊥2 · Li4 Li4 2L2 2P 〔 42m 〕 , 由于该点群中含有对 称面 , 所以把该点群归于下一组点群中。
习惯上把高于二次轴的对称轴或旋转反 伸轴(简称反轴) , 如 L3, L4, L6, Li4 等称为高 次轴。含有一个以上高次轴的组合推导稍为 复杂一些 , 在此从略。
推理 : 如有一二次轴垂直于(或对称面包 含)一n 次旋转反伸轴时 , 当 n 为奇数时 , 恒 有 n 个共点的二次轴垂直于此 n 次旋转反伸 轴 , 同时还有 n 个共线的对称面包含该 n次 旋转反伸轴 ; 当 n 为偶数时 , 则恒有n/2个共 点的二次轴垂直于该 n 次旋转反伸轴 , 同时 还有n/2个共线的对称面包含该 n 次旋转反 伸轴。
D3h (6m2) 点群的对称系和对称点系
PH · 3L24L3 3L24L33PC = 3L24Li33P, 〔m3〕(PH ⊥ L2) , PH ·3L44L36L2 3L44L36L29PC 〔m3m 〕 , 〔PH ⊥ L4〕 。
这样以来 , 通过加垂直于主轴的对称 面 , 又产生出 11 个点群 ( 去掉重复的) , 它 们是: m, 2/m, 6, 4/m, 6/m, mmm, 6m2, 4/m mm, 6/m mm, m3 和 m3m 。其中点 群mmm, 4/m mm, 6/m mm 和 m3m对称 元素的极射赤平投影图如图 3.16 所示。
2. 向上述 12 种轴式加对称面 P, 对称面只 能有如下两种加法: (1)垂直于主轴加对称面 , 这样加上去的 对称面称为水平的 , 用 PH 表示。根据对
称元素组合定理 :
PH ·L1
PH·L2
P〔m〕,
L2PC 〔2/m〕 ,
PH ·L3
PH ·L4
L3P = Li6 〔 6 〕 ,
定理三 : 二对称面的交线恒为一对称轴 , 其基转角为该二对称面之交角的 2 倍。 推理 : 如有一个对称面包含一n 次对称 轴 , 则必有 n 个对称面同时包含该 n 次轴 , 且相邻二对称面之交角为该与对称面之交 点并垂直于该二次对称轴之直线恒为一旋 转反伸轴, 该旋转反伸轴之基转角等于该二 次轴与对称面交角之余角的两倍。
32 个点群
就数学上的意义而言 , 任何空间对称变 换即构成了所谓 “ 群 “ 。 通常把对称变换的集合和对称元素的集 合总称为对称群。 把相交于一点的宏观对称元素的集合所 构成的对称群 , 称为点群。
根据上述定理和推理 , 晶体中的宏观对 称元素只可能有 32 种组合方式 , 称为 32 种 对称类型或 32 个点群。 32 个点群亦可用群论的方法推导出来。 下面看一下 32 个点群的简单推导过程。
欧拉定理是最基本的对称元素组合定 理 , 其它所有的对称元素组合定理均可由 欧拉定理派生出来。 欧拉定理不仅适合于对称轴 , 而且也 适合于旋转反伸轴(包括 Li1 = C,Li2 = P )。
定理二 :两个二次轴 (L2)相交 , 如交角 为 360o /2n , 则过该两二次轴交点并与其 所在平面垂直的直线恒为一n 次对称轴。 推理 : 如有一个二次对称轴与一个 n 次对称轴垂直 (相交) , 则必有 n 个二次对 称轴同时垂直(并相交)于该 n 次对称轴。
理论和实际情况 均表明 , 含有多个高 次轴的组合只能有以下两种 , 即 3L24L3 和 3L44L36L2, 其相应的国际符号为 23 和 432, 这两种点群中包含的所有对称轴恰与 四面体和立方体或八面体所含 对称轴完全 一样。
这一组点群中包括 12 个不重复的点 群 , 即 1, 2, 3, 4, 6, 4, 222, 32, 422, 622, 23, 432( 点群 622, 432 也可 记作 62 和 43 )。 其中点群 622,23,432 中对称元素在 空间排布及其极射赤平投影图分别如图 3.13, 3.14 和 3.15 所示。
L4PC 〔4/m〕 ,
PH ·L6
PH ·Li4
L6PC 〔6/m〕 ,
L4PC,
定理五
PH ·3L2
3L23PC〔mmm 〕 ,
PH ·L44L2
PH ·L33L2
L44L25PC 〔4/m mm〕
L33L24P = Li63L23P L66L27PC 〔6/m mm〕
〔 6m2 〕 ,
PH ·L66L2