M r l M r
方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率
| lim u
u u u u 1
l
M0
l 0
l
x
dx
y
dy
z
dz
dl
eˆ x
u x
eˆ y
u y
eˆ z
u z
eˆ x
dx
eˆ ydy dl
eˆ zdz
u cos u cos u cos
x
y
z
cos ,cos ,cos 为 l 的方向余弦
z
1. 正交曲线坐标系
P (x, y, z)
三维空间任意点的位置可通过 三条相互正交曲线的交点来确
定。该三条正交曲线组成确定
三维空间任意点位置的体系称
为正交曲线坐标系，三条正交
y 曲线称为坐标轴，描述坐标轴
x
的量称为坐标变量.
2. 正交曲线坐标系的变换
P (x, y, z)
q1 q1 x, y, x
Fx z
Fz x
eˆ z
Fy x
Fx y
F
x Fx
y Fy
z Fz
3.旋度与漩涡源的关系
为了给出空间任意点矢量场与旋
J
涡源的关系，当闭合曲线L 所围 n
F
的面积趋于零时，矢量场对回路
L 的环量与旋涡源对于L 所围的
面积的通量成正比，即：
s
Ñ lim F dl lim J s
7. 正交曲线坐标系中梯度的表达式
u
eˆq1
u s1
eˆq2
u s2
eˆq3
u s3
ds1 h1dq1, ds2 h2dq2 , ds3 h3dq3
u
eˆ q1
u h1q1
eˆq2
u h2q2
eˆq3
u h3q3
§1.4 矢量场的散度
1. 矢量场与矢量线 在确定空间区域上的 每一点有确定矢量与 对应，称该空间区域 上定义了一个矢量场
只有数值的大小而没有方向的场称为标量场 既有数值的大小又有方向的场称为矢量场 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场
静态标量场用 u x, y,z 时变场标量场用 u x, y,z,t
静态矢量场 F x, y,z 时变矢量场 F x, y,z,t
福建省
台 湾 岛
台湾海峡表面流速场数值分布
旋度的定义为：矢量场在M点处的旋度为一矢 量，其数值为包含M点在内的小面元边界的环 量与小面元比值极限的最大值，其方向为极限 取得最大值时小面积元的法线方向，即：
lim Ñ rotF
nˆ
s0
1 s
l
F dl
Max
根据线积分的公式，直角坐标系中旋度的表达式为:
蜒 ? rotF
eˆ x
有净的矢量线流出 有产生发散力线源
有净的矢量线流入 有产生汇聚力线源
3 矢量场的散度
考虑空间任意点（包含该点在内的小体积元）单位 体积闭合曲面矢量场发散和汇聚力线强度，利用极 限方法得到：
F x, y, zds
divF x, y, z lim s V 0
V
为矢量场的散度。散度是矢量通过包含该点的任 意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限
根据通量的物理意义，矢量场相对于小体 积元的通量与体积元内的通量源成正比：
lim
V 0
Ò
F
x
,
y
,
z
ds
பைடு நூலகம்
x
,
y
,
z
V
s
其中 x, y,z 为通量源密度。于是有：
divF＝ Fx, y,z＝x, y,z
κ为比例常数，一般由实验获得。
4. Gauss定理
直接从散度的定义出发，不难 得到矢量场在空间任意闭合曲 面的通量等于该闭合曲面所包 含体积中矢量场散度的积分。
4. 三矢量乘积
A
B
C
B
C
A
C
A
B
ABC ABC
A
B
C
BA
C
CA
B
(混合积 )
5. 并矢
AB
二阶张量
AB
3 Ai B jeiej
i1, j 1
§1.3 标量场的梯度
1.场的概念 任何物理过程总是在一定空间上发生，对应 的物理量在空间区域按特定的规律分布。如 电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布 在空间区域上每一点有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了该物理量的场
Fx, y, z ds
S
Fx
zy
|
x
x
x
Fx
zy
|
x
x
x
2
2
Fy
zx
|
y
y
y
Fyzx |y y y
2
2
Fz
yx
|
zz
z
Fz
yx
|
z
z
z
2
2
Fx x
Fy y
Fz z
xyz
divF F Fx Fy Fz x y z
z z 2 y y 2
x x
F
2
0
divF x,
y, z
Fx x
关于的场三个基本问题：
（1）场的基本性质及其分析方法 （2）场与激励源的关系及相互作用 （3）场与场的相互联系与相互作用
2. 标量场的等值面
标量场同一数 值各点在空间 形成的曲面
ux, y,z C
3. 方向导数
实际应用中不仅需要了解宏 观上场在空间的数值，还需 要知道场在不同方向变化。
方向性导数可以描述标量场 在空间某个方向上变化情况
ψ dψ＝ Fx, y, zds
dψ＝Fx, y, z nˆs
如果曲面 s 是闭合的，并规定曲面
法矢由闭合曲面内指向外，矢量场 对闭合曲面的通量是：
0
Q F x, y, zds＝ 0
s
0
0
Q F x, y, zds＝ 0
s
0
流入流出闭合曲面矢 量线相等或没有矢量 线流入和流出 发散和汇聚力线源相 等或没有产生力线源
(2)
cos A B
| A||B|
36
0.80
32 42 22 22 42 72
（3）
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
= ex(4×7－2×4) + ey(2×2 － 3×7) + ez(3×4 － 4×2) = ex20 － ey17 + ez4
电磁场与微波技术
Electromagnetic and Microwave Technology
江汉大学 柯璇
第一章
电磁场理论的数学基础
主要内容：
正交曲线坐标系及其转换 矢量的表示及其运算 场论基础（梯度、散度和旋度） 矢量场的Helmholtz定理 常用坐标系
§1.1正交曲线坐标系及其转换
矢量线不能定量描述矢量场
的大小，但过单位曲面积的
ds
矢量线的根数描述了矢量线
F x, y,z
的多少。引入通量的概念。
在场区域的某点选取面元，
穿过该面元矢量线的总数称 为矢量场对于面积元 ds 的
F x, y, z lim nˆ dψ
s0 ds Max
通量。
矢量场对于曲面 s 的 通量为曲面 s 上所有 小面积元通的叠加：
☻标量场在某个方向上的方向导 数，是梯度在该方向上的投影
☻ 标量场的梯度函数 建立了标量场与矢 量场的联系，这一 联系使得某一类矢 量场可以通过标量 函数来研究，或者 说标量场可以通过 矢量场的来研究。
☻ 标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
6. 梯度运算的基本公式
c 0
cuuvcuu v uv uv vu f u f ' uu
Fy y
Fz z
0 0
散度的三个结果的物理原因是什么？
4. 散度与源的关系
物理上的场 (矢量场或标量场）都是相应的源 激发的结果。矢量场通过闭合曲面通量的三种 可能结果一定与闭合曲面内有无产生矢量场的 源直接相关。使闭合曲面通量不为零的激励源 为通量源。矢量场对闭合曲面的通量与闭合曲 面内的通量源之间存在某种确定的关系。
q2
q2
x, y,x
q3 q3 x, y, x
x x q1 ,q2 ,q3
y
y q1 ,q2 ,q3
z z q1 ,q2 ,q3
P,, z
三维空间中同一点可以用不同的 正交曲线坐标系描述。不同坐标 系之间存在相互变换关系，这种 变换关系只能是一一对应的
在任何正交曲线坐标系有一组 与坐标轴对应的单位矢量。如 直角坐标系和圆柱坐标系等。
坐标变量单位矢量特点： 空间某点坐标变量的单位 矢量的方向为对应坐标变 量为常数的曲面的法矢
eˆx , eˆy , eˆz
eˆ ,eˆ ,eˆz
qi＝qi x, y, x C
曲面单位法矢量eˆqi
曲面单位法矢量：
eˆqi
eˆx
qi x, y,
x
x
eˆy
qi x, y,
y
x
eˆz
qi
x, y,
s0
s0
l
4. Stokes定理
利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲 面积分之间的变换关系式，即Stokes定理
A B A B sin
ex ey ez A B A1 A2 A3 B1 B2 B3 A B B A