圆周运动[方法点拨] (1)圆周运动的动力学问题实际上是牛顿第二定律的应用，且已知合外力方向(匀速圆周运动指向圆心)，做好受力分析，由牛顿第二定律列方程．(2)理解做圆周运动、离心运动、近心运动的条件．(3)竖直面内的圆周运动常结合动能定理或机械能守恒解题．1．(圆周的运动学问题)正在以速度v匀速行驶的汽车，车轮的直径为d，则车轮的转动周期为( )A.dvB.d2vC.πdvD.2πdv2．(圆周的动力学问题)(多选)如图1所示，两根细线分别系有两个完全相同的小球，细线的上端都系于O点．设法让两个小球均在同一水平面上做匀速圆周运动．已知L1跟竖直方向的夹角为60°，L2跟竖直方向的夹角为30°，下列说法正确的是( ) 图1 A．细线L1和细线L2所受的拉力之比为3∶1B．小球m1和m2的角速度大小之比为3∶1C．小球m1和m2的向心力大小之比为3∶1D．小球m1和m2的线速度大小之比为33∶13．(圆周的动力学问题)如图2所示为空间站中模拟地球上重力的装置，环形实验装置的外侧壁相当于“地板”，让环形实验装置绕O点旋转，能使“地板”上可视为质点的物体与地球表面处有同样的“重力”，则旋转角速度应为(地球表面重力加速度为g，装置的外半径为R)( ) 图2A.gRB.RgC．2gRD.2Rg4．(竖直面内的圆周运动)(多选)如图3所示，光滑管形圆轨道半径为R(管径远小于R)，小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动．两球先后以相同速度v通过轨道最低点，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，则以下说法正确的是( ) 图3 A．当小球b在最高点对轨道无压力时，小球a所需向心力是小球b所需向心力的5倍B．速度v至少为5gR，才能使两球在管内做圆周运动C．速度满足2gR＜v＜5gR时，小球在最高点会对内侧轨道有压力作用D ．只要v ≥5gR ，小球a 对轨道最低点的压力比小球b 对轨道最高点的压力大6mg5．(圆周运动的周期性问题)(多选)如图4所示，在半径为R 的水平圆盘中心轴正上方水平抛出一小球，圆盘以角速度ω做匀速转动，当圆盘半径Ob恰好转到与小球初速度方向相同且平行的位置时，将小球抛出，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为b ，重力加速度为g ，小球抛点a 距圆盘的高度h和小球的初速度v 0可能应满足( ) 图4A ．h ＝g π2ω2，v 0＝Rω2πB ．h ＝8π2g ω2，v 0＝Rω4π C ．h ＝2g π2ω2，v 0＝Rω6π D ．h ＝32π2g ω2，v 0＝Rω8π 6．(圆周运动的临界问题)(多选)如图5所示，半径分别为R 、2R 的两个水平圆盘，小圆盘转动时会带动大圆盘不打滑地一起转动．质量为m 的小物块甲放置在大圆盘上距离转轴R 处，质量为2m 的小物块乙放置在小圆盘的边缘处．它们与盘面间的动摩擦因数相同，当小圆盘以角速度ω转动时，两物块均相对圆盘静止．下列说法正确的是( ) 图5A ．小物块甲受到的摩擦力大小为14mω2R B ．两物块的线速度大小相等C ．在角速度ω逐渐增大的过程中，物块甲先滑动D ．在角速度ω逐渐减小的过程中，摩擦力对两物块做负功7．如图6所示，在室内自行车比赛中，运动员以速度v 在倾角为θ的赛道上做匀速圆周运动．已知运动员的质量为m ，做圆周运动的半径为R ，重力加速度为g ，则下列说法正确的是( )A ．将运动员和自行车看做一个整体，整体受重力、支持力、摩擦力和向心力的作用 图6B ．运动员受到的合力大小为m v 2R ，做圆周运动的向心力大小也是m v 2RC ．运动员做圆周运动的角速度为vRD ．如果运动员减速，运动员将做离心运动8．如图7所示，在质量为M 的物体内有光滑的圆形轨道，有一质量为m的小球在竖直平面内沿圆轨道做圆周运动，A 与C 两点分别是轨道的最高点和最低点，B 、D两点与圆心O 在同一水平面上．在小球运动过程中，物体M 静止于地面，则关于物体M 对地面的压力F N 和地面对物体M 的摩擦力方向，下列说法正确的是( ) 图7A ．小球运动到A 点时，F N ＞Mg ，摩擦力方向向左B ．小球运动到B 点时，F N ＝Mg ，摩擦力方向向右C ．小球运动到C 点时，F N ＜(M ＋m )g ，地面对M 无摩擦D ．小球运动到D 点时，F N ＝(M ＋m )g ，摩擦力方向向右9．(多选)如图8所示，两个可视为质点的、相同的木块A 和B 放在转盘上，两者用长为L的细绳连接，木块与转盘的最大静摩擦力均为各自重力的K 倍，A 放在距离转轴L 处，整个装置能绕通过转盘中心的转轴O 1O 2转动，开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使角速度缓慢增大，以下说法正确的是( ) 图8A ．当ω>2Kg 3L 时，A 、B 相对于转盘会滑动 B ．当ω>Kg 2L 时，绳子一定有弹力 C ．ω在 Kg 2L <ω< 2Kg 3L范围内增大时，B 所受摩擦力变大 D ．ω在0<ω< 2Kg 3L范围内增大时，A 所受摩擦力一直变大 10．(多选)如图9所示，一个内壁光滑的34圆管轨道ABC 竖直放置，轨道半径为R .O 、A 、D 位于同一水平线上，A 、D 间的距离为R .质量为m 的小球(球的直径略小于圆管直径)，从管口A 正上方由静止释放，要使小球能通过C 点落到AD 区，则球经过C 点时( ) 图9A ．速度大小满足 gR2≤v C ≤2gRB ．速度大小满足0≤vC ≤gRC ．对管的作用力大小满足12mg ≤F C ≤mg D ．对管的作用力大小满足0≤F C ≤mg11．如图10所示，半径为R 的光滑细圆环轨道被固定在竖直平面上，轨道正上方和正下方分别有质量为2m 和m 的静止小球A 、B ，它们由长为2R 的轻杆固定连接，圆环轨道内壁开有环形小槽，可使细杆无摩擦、无障碍地绕其中心点转动．今对上方小球A 施加微小扰动、两球开始运动后，下列说法不正确的是( ) 图10A ．轻杆转到水平位置时两球的加速度大小相等B ．轻杆转到竖直位置时两球的加速度大小不相等C ．运动过程中A 球速度的最大值为 4gR 3D ．当A 球运动到最低点时，两小球对轨道作用力的合力大小为133mg 12．如图11所示，在倾角为θ的光滑斜面上，有一长为l 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O 点在斜面底边的距离s OC ＝L ，求：图11(1)小球通过最高点A 时的速度v A ；(2)在最高点A 和最低点B 时细线上拉力之差；(3)小球运动到A 点或B 点时细线断裂，小球滑落到斜面底边时到C 点的距离若相等，则l和L 应满足什么关系？答案精析1．C [汽车行驶的速度与汽车车轮边缘的线速度大小相等，由线速度与周期关系可知，T ＝2πR v ＝πd v，C 项正确，A 、B 、D 项错．] 2．AC [由mg ＝F T1cos 60°可得F T1＝2mg ；由mg ＝F T2cos 30°可得F T2＝233mg ；细线L 1和细线L 2所受的拉力大小之比为3∶1，选项A 正确．由mg tan θ＝mω2h tan θ，可得小球m 1和m 2的角速度大小之比为1∶1，选项B 错误．小球m 1和m 2的向心力大小之比为mg tan 60°∶mg tan 30°＝3∶1，选项C 正确．由mg tan θ＝mv 2h tan θ，可得小球m 1和m 2的线速度大小之比为tan 60°∶tan 30°＝3∶1，选项D 错误．]3．A [物体随同环形装置做圆周运动，“重力”提供向心力，可得：mg ＝mω2R ，解得：ω＝g R，A 正确，选项B 、C 、D 错误．] 4．ACD [小球运动到最高点对轨道无压力时，其重力提供向心力，则mg ＝m v 21R ，解得v 1＝gR ，根据机械能守恒定律，12mv 2＝12mv 21＋2mgR ，解得v ＝5gR ，根据向心力公式，可知A 正确；两球在管内做完整的圆周运动的临界条件是小球到最高点时速度恰好为0，此状态下，根据机械能守恒定律，12mv 2＝2mgR ，解得v ＝2gR ，所以B 错误；当2gR ＜v ＜5gR ，小球能运动到最高点，在最高点时会和内侧轨道有弹力作用，C 正确；小球b 在轨道最高点的速度为v 1，当v ≥5gR 时，12mv 2＝12mv 21＋2mgR ，在最低点F 1－mg ＝m v 2R ，在最高点F 2＋mg ＝m v 21R ，解得F 1－F 2＝6mg ，D 正确．]5．BD [由平抛运动规律，R ＝v 0t ，h ＝12gt 2，要使小球与圆盘只碰一次，且落点为b ，需要满足n ·2π＝ωt (n ＝1,2,3，…)，联立解得：h ＝2gn 2π2ω2，v 0＝ωR 2n π(n ＝1,2,3，…)．当n ＝1时，h ＝2g π2ω2，v 0＝ωR 2π，选项A 错误；当n ＝2时，h ＝8g π2ω2，v 0＝ωR 4π，选项B 正确；当n ＝3时，h ＝18g π2ω2，v 0＝ωR 6π，选项C 错误，当n ＝4时，h ＝32g π2ω2，v 0＝ωR 8π，选项D 正确．] 6．AD [两圆盘转动时，两圆盘边缘的线速度大小相等，设大圆盘转动的角速度为ω′，则ω′×2R ＝ωR ，解得ω′＝12ω，此时小物块甲的线速度为12ωR ，小物块乙的线速度为ωR ，选项B 错误；对于小物块甲，其做匀速圆周运动的向心力是由大圆盘对其的静摩擦力来提供的，故由牛顿第二定律可得F f 甲＝mω′2R ＝14mω2R ，选项A 正确；在角速度ω增大过程中，小物块甲受到的摩擦力F f 甲＝14mω2R ≤μmg ，小物块乙受到的摩擦力F f 乙＝2mω2R ≤2μmg ，即小物块乙先滑动，选项C 错误；在角速度ω减小过程中，两物块的动能在减小，根据动能定理，其受到的合外力即摩擦力做负功，选项D 正确．]7．B [向心力是由整体所受力的合力提供的，选项A 错误；做匀速圆周运动的物体，合力提供向心力，选项B 正确；运动员做圆周运动的角速度为ω＝v R ，选项C 错误；只有运动员加速到所受合力不足以提供做圆周运动的向心力时，运动员才做离心运动，选项D 错误．]8．B [小球在A 点时，系统在水平方向不受力的作用，所以没有摩擦力的作用，A 项错误；小球在B 点时，需要的向心力向右，所以M 对小球有向右的支持力的作用，对M 受力分析可知，地面要对物体有向右的摩擦力的作用，在竖直方向上，由于没有加速度，物体受力平衡，所以物体M 对地面的压力F N ＝Mg ，B 项正确；小球在C 点时，小球的向心力向上，所以物体M 对小球的支持力要大于小球的重力，故M 受到的小球的压力大于mg ，那么M 对地面的压力就要大于(M ＋m )g ，系统在水平方向上不受力，则地面对M 没有摩擦，C 项错误；小球在D 点和B 点的受力的类似，M 对小球的弹力向左，则小球对M 的弹力向右，则M 受到地面的摩擦力方向向左，在竖直方向上，根据平衡条件知，F N ＝Mg ，D 项错误．]9．ABD [当A 、B 所受静摩擦力均达到最大值时，A 、B 相对 转盘将会滑动，Kmg ＋Kmg ＝mω2L ＋mω2·2L ，解得：ω＝2Kg 3L ，A 项正确；当B 所受静摩擦力达到最大值后，绳子开始有弹力，即：Kmg ＝mω2·2L ，解得：ω＝ Kg 2L ，B 项正确；当 Kg 2L <ω< 2Kg 3L时，随角速度的增大，绳子拉力不断增大，B 所受静摩擦力一直保持最大静摩擦力不变，C 项错；0<ω≤ Kg 2L时，A 所受摩擦力提供向心力，即F f ＝mω2L ，静摩擦力随角速度增大而增大，当 Kg 2L <ω< 2Kg 3L时，以A 、B 整体为研究对象，F f A ＋Kmg ＝mω2L ＋mω2·2L ，可知A 受静摩擦力随角速度的增大而增大，D 项正确．]10．AD [小球离开C 点做平抛运动，落到A 点时水平位移为R ，竖直下落高度为R ，根据运动学公式可得：竖直方向有R ＝12gt 2，水平方向有R ＝v C 1t ，解得v C 1＝ gR 2；小球落到D 点时水平位移为2R ，则有2R ＝v C 2t ，解得v C 2＝2gR ，故速度大小满足 gR2≤v C ≤2gR ，A 项正确，B 项错误；由于球的直径略小于圆管直径，所以过C 点时，管壁对小球的作用力可能向下，也可能向上，当v C 1＝gR2，向心力F 1＝mv 2C 1R ＝mg 2＜mg ，所以管壁对小球的作用力向上，根据牛顿第二定律得mg －F N ＝mv 2C 1R ，解得F N ＝12mg ；当v C 2＝2gR ，向心力F 2＝mv 2C 2R ＝2mg ＞mg ，所以管壁对小球的作用力向下，根据牛顿第二定律得mg ＋F N ′＝mv 2C 2R，解得F N ′＝mg ；假设在C 点管壁对小球的作用力为0时的速度大小为v C 3，则由向心力公式可得mg ＝mv 2C 3R，解得v C 3＝gR ，v C 3在 gR2≤v C ≤2gR 范围内，所以满足条件．所以球经过C 点时对管的作用力大小满足0≤F C ≤mg ，C 项错误，D 项正确．]11．B [两球做圆周运动，在任意位置角速度相等，则线速度和向心加速度大小相等，选项A 正确，B 错误；A 、B 两球组成的系统机械能守恒，当系统重力势能最小(即A 在最低点)时，线速度最大，则mg ·2R ＝12×3mv 2，最大速度v ＝ 4gR 3，选项C 正确；A 在最低点时，分别对A 、B 受力分析，F N A －2mg ＝2m v 2R ，F N B ＋mg ＝m v 2R ，则F N A －F N B ＝13mg 3，选项D 正确．] 12．(1)gl sin θ (2)6mg sin θ (3)L ＝32l 解析 (1)小球恰好在斜面上做完整的圆周运动，有：mg sin θ＝m v 2A l，v A ＝gl sin θ (2)在A 点：F T A ＋mg sin θ＝m v 2A l在B 点：F T B －mg sin θ＝m v 2B l由机械能守恒12mv 2B ＝12mv 2A ＋mg ·2l ·sin θ. 所以F T B －F T A ＝6mg sin θ(3)由(2)可求v B ＝5gl sin θA 点断裂：L ＋l ＝12at 2A ，s A ＝v A t AB 点断裂：L －l ＝12at 2B ，s B ＝v B t B由s A ＝s B 联立可求得L ＝32l .。