立体几何题型总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII立体几何——点线面的位置关系公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。
公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线。
1、公理的理解与应用例1已知,αβ为不同的平面，A 、B 、M 、N 为不同的点，a 为直线，下列推理错误的是 （ ）A. ,,,,A a A B a B a βββ∈∈∈∈⇒⊂B. ,,,,M M N N MN αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C. ,,A A A αβαβ∈∈⇒=D. ,,A B M A B M αβ∈∈、、、、且A 、B 、M 不共线αβ⇒、重合例2下列条件中，能得到平面α∥平面β的是（ ）A. 存在一条直线a a ααβ，∥，∥B. 存在一条直线a a a αβ⊂，，∥C. 存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥D. 存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥例3对于直线,m n 和平面α，下列命题中的真命题是（）A. 如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，那么//n αB. 如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，那么n 和α相交C. 如果,//,,m n m n αα⊂共面，那么//m nD. 如果//,//,,m n m n αα共面，那么//m n例4 已知正四棱锥S ABCD -的侧棱长与底面边长都相等，E 是SB 的中点，则AE SD ，所成的角的余弦值为（ ） A ．13B．3CD ．232、 共线、共面、共点问题例5如图所示，四边形ABCD 中，已知,,,,AB CD AB BC DC AD ∥(或延长线)分别与平面α交于E 、F 、G 、H 必在同一直线上。
3、 直线与直线之间的关系例6给出下列四个命题：① 垂直于同一直线的两条直线互相平行； ② 平行于同一直线的两条直线平行； ③ 若直线c b a ,,满足a ⊥∥b,b c,则⊥a c ；④ 若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线。
其中假命题的个数是 （ ） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4立体几何--空间中的平行问题公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行定理：空间中如果两个角的两边分别对于平行，那么这两个角相等或互补。
定理：平面外一条直线与此平面的一条直线平行，则该直线与此平面平行 定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。
定理：一个平面与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。
定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行。
证明平行的方法：线线平行：相似，全等；平行线判断定理（内错角相等，同旁内角互补等），（高中阶段一般不考，只作为转化的一个桥梁）线面平行：依定义采用反证法；根据定理证明（面线线线////⇒）；面面平行的性质定理（面线面面////⇒）面面平行的：依定义采用反证法；用判断定理或推论；用“垂直与同一条直线的两个平面平行”这一性质证明。
1、平行关系的概念 例1 若b a 、为异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是A ．相交B ．异面C ．平行D ． 异面或相交 例2垂直于同一平面的两条直线一定A ．平行B ．相交C ．异面D ．以上都有可能2、 线面平行例3在空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB 和BC 上的点，若AE ：EB=CF ：FB=1：3,则对角线AC 和平面DEF 的位置关系是 （ ） A 、平行 B 、相交 C 、在内 D 、不能确定例4如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱BC 、11C D 的中点。
求证：EF ∥平面11BDD B .1A例5 如图所示，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，E 、F 分别在PA 、BD 上，且PE ：EA=BF ：FD. 求证：EF ∥平面PBCA例 6 有下列几个命题① 平面α内有无数个点到平面β的距离相等，且αβ∥； ② ,a b αγαβ==，且a b ∥（,,αβγ为平面；a,b 为直线），则γβ∥；③ 平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三边，则αβ∥；④ 平面α内一个平行四边形的两边分别与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则αβ∥。
其中正确的有例7如图所示，B 为ACD ∆所在平面外一点，M,N,G 分别为ABC ∆，ABD ∆，BCD ∆的重心。
（1） 求证平面MNG ∥平面ACD ；（2） 求:MNG ADC S S ∆∆.A例8 ABCD 是平行四边形，点P 事平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 做AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP ∥GHAC立体几何第四讲--空间中的垂直问题定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
三垂线定理：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条直线垂直。
三垂线逆定理：如果：如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和这条直线在这个平面内的射影垂直。
最小角定理：斜线和它在平面的射影所成角（即线面角），是斜线和这个平面的最小角，并满足设A 为面上一点，过A 的直线AO 在面上的射影为AB ，AC 为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB 三角的余弦关系为：OAB BAC OAB BAC OAC ∠∠∠⨯∠=∠cos (cos cos cos cos 和只能是锐角，通俗点说就是，cos 平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos 斜线射影与平面直线夹角(BAC)xcos 平面斜线与斜线射影夹角(OAB)．又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角．证明垂直的方法：线线垂直：三垂线定理；线面垂直判断定理；勾股定理等 线面垂直：判断定理；面面垂直的性质 面面垂直：判断定理题型一：对空间中垂直的概念的理解例1：对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 和l （ ） A 平行 B 相交 C 垂直 D 互为异面直线 例2、用a 、b 、c 表示三条不同的直线，y 表示平面，给出下列命题： ①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；③若a ∥y ，b ∥y ，则a ∥b ；④若a ⊥y ，b ⊥y ，则a ∥b . A. ①② B. ②③ C. ①④D.③④题型二：线线垂直例3：如图，四面体ABCD 中，BD AC CD AB ⊥⊥,，求证：BC AD ⊥（三垂线逆定理）BD题型三：线面垂直例4：如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -中，G F E 、、分别是1CC CD CB 、、 的中点。
（1）求证：平面//11D AB 平面EFG ； （2）求证：⊥EF 平面C AA 1。
例5：如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A ，11ACC A 均为正方形，∠=90BAC ,点D 是棱11B C 的中点.（Ⅰ）求证：1A D ⊥平面11BB C C ； （Ⅱ）求证：1//AB 平面1A DC ；A 1BC 1B 1A 1D题型四：面面垂直例6：如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=BC，点D是AB的中点。
（1）求证：BC1//平面CA1D；（2）求证：平面CA1D⊥平面AA1B1B。
例7：正方形ABCD的边长为1，分别取边BC、CD的中点E、F，连接AE、EF、AF.以AE、EF、FA为折痕，折叠这个正方形，使点B、C、D重合于一点P，得到一个四面体，如图(2)所示．(1)求证：AP⊥EF；(2)求证：平面APE⊥平面APF.知识梳理空间平面与平面的位置关系1、空间两平面的位置关系：平行、相交位置关系定义图示符号语言交点个数两个平面相交斜交有一条公共直线(不垂直)a=⋂βα无数个垂直相交如果两个相交平面所成二面角为直二面角，那么两个平面互相垂直βα⊥a=⋂βα无数个两个平面平行如果两个平面没有公共点，则这两个平面平行βα//没有2、空间两平面平行名称文字语言符号语言图形面面平行的定义没有公共点βα//面面平行的判定定理如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行ββαα//,//,baObaba=⋂⊂⊂⎪⎭⎪⎬⎫⇒βα//垂直于同一直线的两平面平行⇒⊥⊥llβα,βα//补充平行于同一平面的两平面平行βα//,γα//⇒βγ//两个平面平行的性质定理：（1）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任何一条直线直线都平行于另一个平面；（2）如果两个平行平面都与第三个平面相交，那么交线平行。
3、空间两平面垂直名称文字语言符号语言图形面面垂直的定义如果两个相交平面所成的二面角为直二面角面面垂直的判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直βααβ⊥⇒⊂⊥aa,两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么过其中一个平面内的一点作它的交线的垂线与另一个平面垂直。
4、空间角的概念二面角作法图形示例及步骤：方法定义法垂面法三垂线定理及逆定理步骤在棱上取一特殊点，分别两个面内找棱的垂线。
（通常两面是等腰三角行，或对称的全等三角形）找一个垂直于二面角的棱的垂面，那么它于二面角的面的交线所成的角是二面角的平面角1、从二面角的一个面内的一点作另一个面的垂线PF，2、从垂足作棱的垂线FE，3、连接PE，由三垂线定理得∠PEF是二面角的平面角图形综合练习1、过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD，若PA = AB，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是（）（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°2、四面体A —BCD 中，2=BD ，其余棱长均为1，则二面角A —BC —D 的大小是___________3、正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1C BD A --的大小是______________4、Rt △ABC 的斜边在平面α内，直角顶点C 是α外一点，AC 、BC 与α所成角分别为30°和45°，则平面ABC 与α所成角为5、 如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形．已知60,22,2,2,3=∠====PAB PD PA AD AB ．（1）证明⊥AD 平面PAB ；（1）求异面直线PC 与AD 所成的角的大小； （3）求二面角A BD P --的大小．6、 如图，四棱锥S-ABCD 的底面是正方形，SD ⊥平面ABCD,SD ＝AD ＝a ,点E 是线段SD 上任意一点。