佛山一中2017——2018学年上学期第二次段考高二级数学（文）科试题命题人：徐锦城 陈诗茵 审题人：董国强一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.点)1,1,1(P 关于xOy 平面的对称点为1P ，则点1P 关于z 轴的对称点2P 的坐标是( )A.（1,1，-1）B.（-1，-1，-1）C.（-1，-1，1）D.（1，-1,1） 2.已知命题p :圆222410x y x y +-+-=的面积是6π；命题q :若平面⊥α平面β,直线a α⊂,则a β⊥；则（ ）A. p q ∧为真命题B. ()p q ⌝∨为真命题C. ()p q ∧⌝为真命题D. ()()p q ⌝∧⌝为假命题3.直线 与直线 ，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件4.某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为 的正方形，则此四面体的外接球的表面积为（ ）A.B.C.D.5.设入射光线沿直线射向直线 ，则被反射后，反射光线所在的直线方程是 （ ） A.B.C.D.6. 命题“，”的否定是 （ ）A. ，B.， C.， D. ，7.已知中心在原点的双曲线的一条渐近线为02=-y x ，且双曲线过点)3,25(P ，则双曲线的方程为（ ）A.1422=-y x B. 1422=-x y C. 15320322=-y x D. 15320322=-x y8. 设圆()()22253r y x =++-上有且仅有两点到直线234=-y x 的距离等于1，则圆的半径r 的取值范围是（ ） A ．()6,4 B ．[)6,4 C ．(]6,4 D ．[]6,49.如图，长方体长AB=5㎝，宽BC=4㎝，高C C '=3㎝，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A 沿表面爬行到顶点C '处觅食，则最短路径为（ ）A. 103B. 54C. 74D. 2510.已知1F 、2F 分别是椭圆22221x y a b +=的左、右焦点,在直线x a =-上有一点P ,使112PF F F =且o 21120=∠F PF ,则椭圆的离心率为（ ）A. 31 B. 21 C. 32 D. 211.已知三棱锥的底面是以 为斜边的等腰直角三角形，，，则三棱锥的外接球的球心到平面的距离是A.B. C.D.12.设椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，其焦距为C 2，点)2,(a c Q 在椭圆的内部，点P 是椭圆C 上的动点，且2115F F PQ PF <+恒成立，则椭圆离心率的取值范围是A.B.C.D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知条件2|1:|>+x p ,条件a x q >|:|,且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件,则实数a 的取值范围是___________.14.直线l 与直线07,1=--=y x y 分别交于Q P ,两点，线段PQ 的中点坐标为()1,1-，那么直线l 的斜率为_________．15.已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆012222=+--+y x y x 的切线，B A ,为切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值为__________．16.如图，椭圆)2(14:222>=+a y a x C ，圆4:222+=+a y x O ，椭圆的左、右焦点分别为 ，，过椭圆上一点 和原点 作直线 交圆 于， 两点，若621=⋅PF PF ，则PNPM ⋅的值为三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(10分)已知直线023-:=-+m my x l ，O 为坐标原点. （1）求l 经过定点P 的坐标；（2）设l 与两坐标轴的正半轴分别交于N M ,两点，求OMN ∆面积的最小值，并求此时m 的值.18.(12分)如图所示，正三棱柱中， 、 分别是 、的中点．（1）证明：平面 平面 ； （2）若该三棱柱所有的棱长均为2，求三棱锥的体积．19.(12分)已知命题p :方程01)45(22=-+-+x a a x 的一个根大于1，一个根小于1；命题q :函数)(log )(2222+-=--x y a a 在()+∞-,2上是减函数，若qp ∨为真，q p ∧为假，求a 的取值范围.20.(12分)已知圆C 22243x y x y ++-+=0（1）已知不过原点的直线l 与圆C 相切，且在x 轴，y 轴上的截距相等，求直线l 的方程；（2）求经过原点且被圆C 截得的线段长为2的直线方程.21.(12分)已知)0,2(),0,2(21F F -是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>两个焦点,且椭圆经过点)35,2(.（1）求此椭圆的方程； （2）设点P 在椭圆上，且321π=∠PF F , 求21PF F ∆的面积；（3）若四边形ABCD 是椭圆的内接矩形，求矩形ABCD 面积的最大值.22. (12分)已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）是否存在与椭圆交于，两点的直线：，使得成立?若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由．()()124921221491221491221)23)(32(21=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=--=--=∆m m m m m m m m S OMN )3(2-=-y m x )2(13-=-x my 佛山一中2017——2018学年上学期第二次段考高二级数学（文）科答案一、选择题（每小题5分，共60分）BCAB ACBA CBAB二、填空题（每小题5分，共20分） 13. (]1--，∞ 14. 32- 15. 22 16. 6三、解答题（共6小题，共70分）17. （本题10分）解：（1）法一：直线方程可化为 ....................2分故直线恒过定点)3,2(P (3)分 法二：当0≠m 时，直线方程可化为当0=m 时，直线方程为2=m 故直线恒过定点)3,2(P（2）解法一：依题意得，直线斜率存在且m<0，则有....................8分 当且仅当m m 94-=-，即32-=m 时取等号，此时OMN S ∆面积有最小值为12. (10)分解法二：设直线l 的方程为)0,0(1>>=+b a bya x则abb a 62132≥=+，由此可得，24≥ab ，当且仅当2132==b a ，即6,4==b a 时取等号，所以1221≥=∆ab S OMN，此时32-=m18. （本题12分） 解：（1） 因为三棱柱 是正三棱柱，所以面， ................1分 又 ，所以 ， ................2分又 是正三角形的边的中点，所以 ， ................3分又因为 ， ................4分因此平面 ，而 平面， 所以平面 平面． ................................6分 （2） ，，，................10分由第（1）问，可知 平面，所以． ................................12分19. （本题12分）解：设=)(x f 14522-+-+x a a x )(，方程01)45(22=-+-+x a a x 的一个根大于1，一个根小于1，01<∴)(f ， （2分 ） 即014512<-+-+a a ， 0452<+-a a ， 41<<a ……………………4分 又 函数)(log )(2222+-=--x y a a 在()+∞-,2上是减函数， ∴1222>--a a …………（6分） 解得1-<a 或3>a ，…………（8分）又因为q p ∨为真，q p ∧为假，所以p,q 必有一真一假， …………（10分） （1） 当p 真，q 假时，a 的取值范围为31≤<a ； …………（11分）（2） 当p 假，q 真时，a 的取值范围为1-<a 或4≥a . …………（12分）20. （本题12分）（1）∵切线在两坐标轴上截距相等且不为零，设直线方程为x y a +=.............1分∴圆心C （-1,2）到切线的距离等于圆半径2，..............3分 即122a -+-=2 ...................4分∴1a =-或3a =..................5分所求切线方程为：10x y ++=或30x y +-= ………………6分（2）当直线斜率不存在时，直线即为y 轴，此时，交点坐标为(0,1),(0,3),线段长为2，符合故直线0x =.................8分当直线斜率存在时，设直线方程为y kx =，即0kx y -= 由已知得，圆心到直线的距离为1，.................9分 则223141k k k --=⇒=-+，.................11分直线方程为34y x=-综上，直线方程为0x =，34y x=-. ................12分21. （本题12分） 解：（1）由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+=22222192542cb a b ac ，解得⎪⎩⎪⎨⎧===459222c b a ................2分所以椭圆方程为15922=+y x ................3分 （2）设42,,2121====c F F n PF m PF ，由椭圆定义知m+n=6 ..............4分在21F PF ∆中由余弦定理的163cos222=-+πmn n m ②，由①②得320=mn ........6分 3353sin 2121==∴∆πmn S PF F ................7分 （3）如图，由对称性知，OMCNABCD S S 矩形矩形4=，设),(y x C 令θθsin 5,cos 3==y x，则θθsin 5cos 3⋅=xy 2532sin 253≤=θ ................10分 562534=⋅≤∴ABCD S 矩形，当o 45=θ时，即)210,223(C 时取得最大值为56..............12分22. （本题12分）解：（1） 设椭圆的方程为，半焦距为 ．依题意 ，由右焦点到右顶点的距离为 ，得．解得所以．所以椭圆的标准方程是． ................................3分（2） 存在直线，使得 成立．.............................4分理由如下： 由得 (5)分化简得 ．设 ，，则 (7)分若成立，即，等价于．所以即 (9)分亦即化简得............................10分将代入中，得解得...............................11分又由，，从而，或．所以实数的取值范围是................................12分。