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相似三角形经典模型总结
经典模型
平移旋转 180°
∽
平行型
平行型
翻折 180°
翻折 180°
一般
特殊
翻折 180°
斜交型
斜交型
特殊一边平移
一般
平移
特殊
双垂直
斜交型
双垂直
一般
【精选例题】
“平行型”
【例 1】如图，EE1∥FF1∥MM1，若AE EF FM MB ，
则S AEE : S四边形EE FF : S四边形FF
M M : S四边形 MM C B _________
1 1 1 1 1 1
A
E E1
F
F 1
M
M1
B C
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【例 2】如图，AD∥EF∥MN∥BC，若AD 9，BC 18 ， AE:EM :MB 2:3:4,则EF _____ ， MN _____
A D
E F
M
N
B C
【例 3】已知，P为平行四边形ABCD 对角线， AC 上一点，过点P 的直线与 AD ， BC ， CD 的延长线， AB 的延长线分别相交于点 E ， F ， G ， H
求证： PE PH
PF PG
G D C
E P
F
A B H
【例 4】已知：在ABC 中， D 为 AB 中点， E 为 AC 上一点，且
AE
2, BE、 CD相交于点 F ，
求BF
的
值
EC
EF A
D
F E
B C
【例 5】已知：在ABC 中， AD 1
AB，延长 BC到F ,使CF
1
BC,连接 FD交 AC于点 E 2 3
求证：① DE EF ② AE 2CE
A
D
E
B
专业知识分享
【例 6】已知：D，E为三角形ABC 中 AB 、BC 边上的点，连接 DE 并延长交 AC 的延长线于点 F ，BD: DE AB: AC
求证：CEF 为等腰三角形
A
C
D
E
B F
【例7】如图，已知 AB / / EF / /CD ，若 AB a ， CD b ， EF c ，求证：1
1 1 .
c a b
A
C
E
B F D
【例 8】如图，找出S ABD、 S BED、 S BCD之间的关系，并证明你的结论.
C
A
E
B F D
【例 9】如图，四边形ABCD
中，
B D90M
是
AC
上一点，
ME AD
于点
EMF BC
，，
于点 F 求证：MF
ME 1
AB CD
D
E
M
A C
F
B
【例 10】如图，在ABC 中， D 是 AC 边的中点，过 D 作直线 EF 交 AB 于 E ,交 BC 的延长线于 F 求证： AE BF BE CF
A
E
D
B
C F 【例 11】如图，在线段AB 上，取一点 C ，以 AC ， CB 为底在 AB 同侧作两个顶角相等的等腰三角形ADC 和CEB， AE交 CD于点 P， BD交 CE于点Q,
求证： CP CQ
D
E
P Q
A C B
【例 12】阅读并解答问题 .
在给定的锐角三角形ABC 中，求作一个正方形DEFG，使 D， E落在 BC边上， F ， G分别落在AC , AB 边上，作法如下：
ABC 两边上的正方形D'E'F 'G'如图，
第一步：画一个有三个顶点落在
第二步：连接 BF ' 并延长交 AC 于点 F
第三步：过 F 点作 FE BC ,垂足为点 E
第四步：过 F 点作 FG∥BC 交 AB 于点 G
第五步：过 G 点作 GD BC ，垂足为点 D
四边形 DEFG 即为所求作的正方形
问题：⑴证明上述所作的四边形DEFG 为正方形
⑵在 ABC 中，如果BC 6 3，ABC 45 , BAC 75 ,求上述正方形DEFG 的边长
A
G F
G'F'
E C
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“平行旋转型”
图形梳理：
E'
F'
A
A
A
F'
E'
A
E
F'
E
F
F
F
E
E'
F
E
F'
B
C
B
C
B
B
C
AEF 旋转到 AE ‘ F ’
C
AEF 旋转到 AE ‘ F ’
AEF 旋转到 AE ‘ F ’
AEF 旋转到
AE ‘F ’
特殊情况： B 、 E'、 F '共线
A
A
E
F' E
F'
E'
F
E'
F
B
C B C
AEF 旋转到 AE ‘ F ’ AEF 旋转到 AE ‘ F ’
C ， E'， F '共线
E'
A
E'
A
E
F
E
F'
F
F'
B
C
B
C
AEF 旋转到 AE ‘ F ’
AEF 旋转到 AE ‘ F ’
【例 13】已知梯形 ABCD ， AD ∥BC ，对角线
AC 、 BD 互相垂直，则
①证明： AD 2 BC 2
AB 2 CD 2
A
D
O
B C
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【例 14】当AOD ，以点 O 为旋转中心，逆时针旋转度（090 ），问上面的结论是否成立，请说明理由
D
A
O
B C
【例 15】（全国初中数学联赛武汉选拔赛试题）如图，四边形ABCD 和 BEFG 均为正方形，求AG : DF : CE_________.
A D
G
F
B C
E
“斜交型”
【例 16】如图，ABC 中， D 在 AB 上，且 DE∥BC 交 AC 于 E ， F 在 AD 上，且 AD2AF AB ，求证：AEF :ACD
A
F
D E
B C
【例 17】如图，等边三角形ABC中，D，E分别在BC，AB上，且CE BE ，AD ，CE 相交于 M ，求证 : EAM : ECA
A
E
M
B D
C A
G
F B
E
【例 18】如图，四边形ABCD 的对角线相交于点O ，BAC CDB ,求证：DAC CBD
A
D
O
B C
【例 19】如图，设AB
BC
CA
，则 1 2 吗？
AD DE EA
A
1 D
E
2
B C
【例 20】在锐角三角形ABC 中， AD ， CE 分别为 BC ， AB 边上的高，ABC 和BDE 的面积分别等于 18和 2 ， DE 2，求 AC 边上的高
A
E
B D C
【例 21】如图，在等边ABC 的边 BC 上取点 D ，使BD 1
，作CH AD，H为垂足，连结BH。

CD 2
求证：DBH DAB
【例 22】已知：在正三角形 ABC 中，点 D 、 E 分别是 AB 、BC 延长线上的点， 且 BD
CE ,直线CD
与 AE 相交于点 F
求证：① DC AE , ② AD 2
DC DF
A
F B
C
E
D
“斜交特殊型”（隐含三垂直）
【例 23】已知，如图，
ABC 中， AD BC 于点 D ， DE AC 于点 E ， DF AB 于点 F ，求证：
AEF B
A
F
E
B
D
C
【例 24】已知：如图，
CE 是直角三角形斜边 AB 上的高，在 EC 的延长线上任取一点
P ，连结 AP ， BG
⊥ AP ，垂足为 G ，交 CE 于 D ，求证： CE 2
PE DE 。

P
G
C
D
A E B
【例 25】如图，E、G、F 、 H 分别是矩形 ABCD 四条边上的点，EF GH,若AB 2，BC 3，则 EF :GH 等于（）
A. 2:3
B. 3: 2
C. 4:9
D. 无法确定
A H D
F
E
B G C
【例 26】如图，已知：正方形ABCD 中，点 M 、 N 分别在 AB 、 BC 上，且 BM BN ， BP MC 于点 P
求证： DP NP
A D
P
M
B N C
【例 27】如图，Rt ABC中，BAC 90 ， AB AC 2 ,点 D 在 BC 上运动（不经过 B , C ），过点D作ADE 45 , DE交AC于E
①图中有无与ABD 一定相似的三角形，若有，请指出来并加以证明
②设 BD x ，AE y ，求y与 x 的函数关系，并写出其定义域；
③若ADE 恰为等腰三角形，求AE 的长
A
E
B C
D。