1122,,0,.i j i j in jn A i j a A a A a A i j ⎧=⎪++=⎨≠⎪⎩ ==()mn A O A A OA B O B O B B O A AA B B O B O*==**=-1(1)211212112111()n n nnn n n n n n n a Oa a a a a a a Oa O---*==- 1范德蒙德行列式：()1222212111112ni j nj i nn n n nx x x x x x x x x x x ≤<≤---=-∏111代数余子式和余子式的关系：(1)(1)i j i j ij ij ij ijM A A M ++=-=-分块对角阵相乘：,11112222,A B A B A B ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⇒11112222A BAB A B ⎛⎫= ⎪⎝⎭1122nn n A A A ⎛⎫= ⎪⎝⎭分块矩阵的转置矩阵：TTT TT A B A C C D BD ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为中各个元素的代数余子式.()1121112222*12n Tn ijn n nn A A A A A A A A A A A ⎛⎫⎪⎪== ⎪⎪⎝⎭ij A A ,, .**AA A A A E ==1*n A A -=11A A --=分块对角阵的伴随矩阵： ***A BA B AB ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111A B BA---⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1231111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3211111213a a a a a a -⎛⎫⎛⎫⎪⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭矩阵的秩的性质：① ≥; ;≤≤ ()A O r A ≠⇔1()0A O r A =⇔=0()m n r A ⨯min(,)m n ④ ()(),,()0m n n s r A r B n A B r AB B Ax ⨯⨯+≤⎧=⇒⎨=⎩若若0的列向量全部是的解⑤ ≤()r AB {}min (),()r A r B ⑥ 若、可逆，则； 即：可逆矩阵不影响矩阵的秩.P Q ()()()()r A r PA r AQ r PAQ ===⑦ 若；()()()m n Ax r AB r B r A n AB O B O A AB AC B C ο⨯⇔=⎧⎪=⎧⎪=⎨⎪⇒=⇒=⎧⎨⎪⎨⎪⎪=⇒=⎩⎩⎩ 只有零解在矩阵乘法中有左消去律 若()()()n s r AB r B r B n B ⨯=⎧=⇒⎨⎩在矩阵乘法中有右消去律.⑧ 等价标准型.()r r E O E O r A r A A O O OO ⎛⎫⎛⎫=⇒ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭若与唯一的等价，称为矩阵的⑨ ≤, ≤≤()r A B ±()()r A r B +{}max (),()r A r B (,)r A B ()()r A r B +矩阵转置的性质：()T T A A =()T T T AB B A =T A A=11()()T T A A --=()()T TA A **=矩阵可逆的性质：11()A A --=111()AB B A ---=11A A--=11()()k k kA A A ---==伴随矩阵的性质：2()n A AA -**=()AB B A ***=1n A A-*=11()()A AA A -**-==()()k kA A **= () () 1 ()10 () 1 n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪==-⎨⎪<-⎩若若若AB A B =kk A A=（无条件恒成立）AA A A A E **==⑩ , ()()A O O A r r A r B O B B O ⎛⎫⎛⎫==+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()A C r r A rB O B ⎛⎫≠+ ⎪⎝⎭① 标准正交基 个维线性无关的向量,两两正交,每个向量长度为1.n n ③ . 记为：αβ与正交(,)0αβ=αβ⊥④ 向量的长度()12,,,Tn a a a α= 21ni i a α====∑⑤ 是单位向量. 即长度为的向量.α1α==1内积的性质：① 正定性② 对称性③ 线性性，称为矩阵的迹.12n A λλλ= 1ni A λ=∑t r A t r A 特征值与特征向量的求法(1) 写出矩阵A 的特征方程，求出特征值.0A E λ-=i λ (2) 根据得到 A 对应于特征值的特征向量.()0i A E x λ-=i λ 设的基础解系为 其中.()0i A E x λ-=12,,,i n r ξξξ- ()i i r r A E λ=- 则A 对应于特征值的全部特征向量为 i λ1122,i i n r n r k k k ξξξ--+++ 其中为任意不全为零的数.12,,,i n r k k k - 3. ① 与相似 （为可逆矩阵）A B 1P AP B -=P ② 与正交相似 （为正交矩阵）A B 1P AP B -=P ③ 可以相似对角化 与对角阵相似.（称是的相似标准形）A A ΛΛA 7. 矩阵对角化的判定方法① n 阶矩阵A 可对角化 (即相似于对角阵) 的充分必要条件是A 有n 个线性无关的特征向量. 这时,为的特征向量拼成的矩阵，为对角阵,主对角线上的元素为的特征值.P A 1P AP -A 设为对应于的线性无关的特征向量,则有：i αi λ.121n P AP λλλ-⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ② 可相似对角化，其中为的重数恰有个线性无关的特征向量.A ⇔()i i n r E A k λ--=i k i λ⇔A n ：当为的重的特征值时，可相似对角化的重数基础解系的个数.○注iλ=0A A ⇔i λ()n r A =-=Ax ο= ③ 若阶矩阵有个互异的特征值可相似对角化.n A n ⇒A 正交矩阵 TAA E=③ 正交阵的行列式等于1或-1；⑤ 两个正交阵之积仍是正交阵；⑥ 的行（列）向量都是单位正交向量组.A 施密特正交规范化 线性无关,123,,ααα112122111313233121122(,)(,)(,)(,)(,)(,)βααββαβββαβαββαββββββ=⎧⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=--⎪⎩正交化 单位化： 111βηβ=222βηβ=333βηβ=1. ① 二次型11121121222212121112(,,,)(,,,)n n n n T n ij i j n i j n n nn n a a a x a a a x f x x x a x x x x x x Ax a a a x ==⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 其中为对称矩阵，A 12(,,,)Tn x x x x = ② 与合同 . （）A B TC AC B =,,A B C 为实对称矩阵为可逆矩阵求C (A I)→(B C^T) 这个变换先进行行变换 再进行一致的列变换 最后 求得C 和C^T③ 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数 负惯性指数二次型的规范形中负项项数p r p - ④ 两个矩阵合同它们有相同的正负惯性指数他们的秩与正惯性指数分别相等.⇔⇔ ⑤ 两个矩阵合同的充分条件是：与B 等价A ⑥ 两个矩阵合同的必要条件是：()()r A r B =2. 经过 化为标准形.12(,,,)Tn f x x x x Ax = 正交变换合同变换可逆线性变换x Cy =21ni i f d y =∑ ① 正交变换法配方法（1）若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，i x i x 直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换，就得到标准形;（2） 若二次型中不含有平方项，但是 (), 则先作可逆线性变换0ij a ≠i j ≠ ,()1,2,,,i i j j i jkk x y y x y y k n k i j x y=-⎧⎪=+=≠⎨⎪=⎩ 且3.正定二次型 不全为零，.12,,,n x x x 12(,,,)n f x x x > 0正定矩阵 正定二次型对应的矩阵.4. 为正定二次型（之一成立）：()Tf x x Ax =⇔ （1） ，；x ο∀≠Tx Ax >0 （2）的特征值全大于； A 0 （3）的正惯性指数为；f n （4）的所有顺序主子式全大于；A 0 （5）与合同，即存在可逆矩阵使得；A E C TC AC E = （6）存在可逆矩阵，使得；P TA P P = (),nT A r A n A A Ax x Ax A Ax A A A E οοοββ==⇔∀≠≠≠⇔∀∈=≅可逆的列（行）向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 ，0总有唯一解 是正定矩阵 R 12,s iA p p p p nB AB E AB E ⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪=⋅⋅⋅⎪==⎪⎩ 是初等阵存在阶矩阵使得或()A r A n A A A Ax A ολ<=⇔==不可逆 0的列（行）向量线性相关0是的特征值 有非零解,其基础解系即为关于0的⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩特征向量。