第一章 解三角形 1.2 正余弦定理应用举例一、教学目标1.核心素养通过学习正余弦定理应用举例,初步形成基本的数学抽象、逻辑推理与运算能力. 2.学习目标应用正余弦定理解决三角形相应问题、解决实际问题. 3.学习重点综合运用正余弦定理解三角形问题和实际问题. 4.学习难点正余弦定理与三角函数知识的综合运用.二、教学设计（一）课前设计 1.预习任务 任务阅读教材P11－P16.思考:正余弦定理的内容是什么?利用正余弦定理求解实际问题的基本步骤是什么?题中为什么要给出这些已知条件,而不是其他条件? 2.预习自测1.在△ABC 中,若∠A ＝60°,∠B ＝45°,BC ＝32,则AC ＝( ) A.4 3 B.2 3 C. 3 D.32 答案:B.2.已知ABC ∆中,a 、b 、c 分别为A,B,C 的对边, 30,34,4=∠==A b a ,则B ∠等于（ ）A.30B.15030或C.60D.60或120答案:D.3.如图,设A、B两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在所在的河岸边选定一点测出AC的距离为50m,∠45CAB=︒后,就可以计算出A、B两点ACB=︒,∠105的距离为( )A.B.C.mD.2答案:A.（二）课堂设计1.知识回顾（1）正弦定理和余弦定理（2）在ABC ∆中,已知a 、b 和角A 时,角的情况如下:2.问题探究问题探究一 正弦定理与余弦定理 ●活动一 回顾正弦定理 任意三角形中,都有sin a A ＝sin b B ＝sin c C. ●活动二 回顾正弦定理能解决的问题类型一般地,我们把三角形的三个角A ,B ,C 和它们的对边a ,b ,c 叫做三角形的元素,已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题?（1）已知三角形的两个角（也就知道了第三个角）与一边,求解三角形; （2）已知三角形的任意两边和其中一边的对角,求解三角形. ●活动三 余弦定理及其所能求解的问题类型 利用余弦定理可以求解如下两类解三角形的问题: （1）已知三边,求三个角;（2）已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角. 问题探究二 掌握以下几个常用概念坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平方向的夹角. 仰角:视线方向向上时与水平线的夹角.(反之为俯角). 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角.问题探究三 利用正余弦定理解决实际问题 重点、难点知识★▲ ●活动一 初步运用正余弦定理测量建筑物高度例1:AB 是底部B 不可到达的一个建筑物,A 为建筑物的最高点,设计一种测量建筑物高度AB 的方法.解析: 【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】 详解:选择基线HG ,使H 、G 、B 三点共线,欲求AB ,先 求AE ,在ACE ∆中,可测得角α,只需求出AC 就可得到 AE ,在ACD ∆中,可测得角β,线段DC ,又有α,故可求得AC.●活动二 设计求解有一个不可到达或两点都不可到达的点之间的距离 例2:如图,设A 、B 两点在河的两岸,要测量两点之间的距离,测量者在A 的同侧,在所在的河岸边选定一点C ,测出AC 的距离是55m ,60,75BAC ACB ∠=∠=.求A 、B 两点的距离.解析:【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】 详解:在三角形ABC 中,45B ∠=,由正弦定理可知5555(31)sin 75sin 45AB +=⋅︒=︒. 例3:如图,A 、B 两点都在河的对岸（不可到达）,设计一种测量A 、B 两点间距离的方法.解析:【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】详解:这是例2的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题. 首先需要构造三角形,所以需要确定C 、D 两点.在所在的河岸边选定点C 、D ,测出,,,αβγδ四个角的大小和C 、D 间的距离,根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可求出另两边的方法,分别求出AC 和BC ,再利用余弦定理可以计算出AB 的距离. 3.课堂总结 【知识梳理】(1)正弦定理:在△ABC 中,2sin sin sin a b cR A B C===（R 为△ABC 的外接圆直径）. (2)余弦定理:对于任意的一个三角形,都有A bc c b a cos 2222-+=,B ac a c b cos 2222-+=,C ab b a c cos 2222-+=.公式还可以变形为:bc a c b A 2cos 222-+=,ca b a c B 2cos 222-+=,abc b a C 2cos 222-+=.（3）几个测量中常用概念坡度:坡度---沿坡向上的方向与水平方向的夹角. 仰角:视线方向向上时与水平线的夹角.(反之为俯角). 方位角:从指北方向顺时针转到目标方向线的水平转角. 【重难点突破】(1)运用正余弦定理时,要厘清定理能解决的问题类型,要理清题目条件,合理选择定理求解问题.(2)常见实际问题中的一组已知条件,常隐含着对于这类测量问题在某一种特定情境和条件限制下的一个测量方案,在这种情境与条件限制下,别的方案中的量可能无法测量出来,因而不能实施别的测量方案. 4.随堂检测1.在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若1sin cos sin cos ,2a B C c B A b +=且a b >,则B ∠=（ ）A.6πB.3πC.23πD.56π【知识点:正弦定理、解的个数的判断;数学思想:数形结合】 解:A2.在锐角ABC ∆中,角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin 3,a B b A =则角等于（ ）A.12πB.6πC.4πD.3π 【知识点:正弦定理】 解:D3.在△ABC 中, ,2,3,4AB BC ABC π∠===则sin BAC ∠=（ ）A.1010B.105C.31010D.55【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:C4.如图在ABC ∆中,已知点D 在BC 边上,ADAC,22sin 3BAC ∠=, 32AB =,3AD =,则BD 的长为________.【知识点:正余弦定理;数学思想:数形结合】 解35.设△ABC 中角A , B , C 所对的边分别为,b ,, 若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（ ） A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定【知识点:正弦定理、余弦定理】 解:B6.在ABC ∆中,若()()3a b c a b c ab +++-=,且sin 2sin cos C A B =,则ABC ∆是( )A.等边三角形B.等腰三角形,但不是等边三角形C.等腰直角三角形D.直角三角形,但不是等腰三角形 【知识点:余弦定理】 解:A（三）课后作业 基础型 自主突破1.如图,某人为了测量某建筑物两侧A.B 间的距离(在A,B 处相互看不到对方),选定了一个可看到A 、B 两点的C 点进行测量,你认为测量时应测量的数据是________.【知识点:实际问题,解三角形】 解:a,b,γ .2.如图,一根长为2米的木棒AB 斜靠在墙AC 上,060=∠ABC ,若AB 滑动至DE 位置, 且)23(-=AD 米,问木棒AB 中点O 所经过的路程为 米.【知识点:正余弦定理】解:12π. 3.在O 点测量到远处有一物体在做匀速直线运动,开始时该物体位于P 点,一分钟后,其位置在Q 点,且90POQ ∠=,再过两分钟后,该物体位于R 点,且30QOR ∠=,则tan OPQ ∠的值为 _________. 【知识点:正余弦定理】 解:233. 4.在ABC ∆中,三边长为连续的自然数,且最大角是最小角的2倍,求此三角形的三边长.【知识点:正余弦定理,解三角形】 解:三边长为4,5,6.5.甲船在岛A 的正南B 处,以每小时4千米的速度向正北航行,AB ＝10千米,同时乙船自岛A 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去,当甲、乙两船相距最近时,它们所航行的时间为 .【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】 解:1507 分钟.6. 如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内,若飞机的高度为海拔18 km,速度为1 000 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km) .【知识点:正余弦定理,解三角形;数学思想:数形结合】 解:6.6.能力型 师生共研7.在ABC ∆中,证明下列各式:（1）0tan )(tan )(222222=+-+--B c b a A c b a . (2)2222112cos 2cos ba b B a A -=-. 【知识点:正弦定理,解三角形】 证明:(1)左边＝)(222c b a --BBc b a A A cos sin )(cos sin 222+-+右边==+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-++-+-+-=-+⋅⋅+-+-+⋅⋅--=0)11()(2222)(22)(222222222222222222222222Rabcb c a b c a a c b a c b R abc b c a ac R b c b a a c b bc R a c b a故原命题得证右边左边=-=+--=+--=---=22222222222222222211)2(2)2(211sin )2(sin 2sin )2(sin 2)11(sin 21sin 21)2(b a R R b a BR BA R A b a bB a A故原命题得证.8.已知圆O 的半径为R ,它的内接ABC ∆中,222(sin sin ))sin R A C b B -=-成立,求三角形面积的最大值. 【知识点:正弦定理,三角形面积】 解:2212R +. 9.在ABC ∆中,30A ︒=,sin C2sin B B C =. (1) 求证:ABC ∆为等腰三角形;(2) 设D 为ABC ∆外接圆的直径BE 与AC 的交点,且2AB =,求:AD DC 的值. 【知识点:正余弦定理;数学思想:数形结合】 解:（1）略 ;（2）3:1.10.ABC ∆中,若已知三边为连续正整数,最大角为钝角. （1）求最大角;（2）求以此最大角为内角,夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积. 【知识点:正余弦定理,三角形面积;数学思想:数形结合】解:（1） 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a .（2）设夹C 角的两边为y x ,,4=+y x ,)4(415415)4(sin 2x x x x C xy S +-⋅=⋅-==,当2=x 时15max =S . 探究型 多维突破11.求22sin 10cos 40sin10cos 40︒+︒+︒︒的值. 【知识点:正余弦定理,三角函数】 解:43. 12. 如图,已知O 的半径为1,点C 在直径AB 的延长线上,1BC =,点P 是O 上半圆上的一个动点,以PC 为边作正三角形PCD ,且点D 与圆心分别在PC 两侧. （1）若POB θ∠=,试将四边形OPDC 的面积y 表示成θ的函数; （2）求四边形OPDC 面积的最大值.【知识点:正余弦定理,函数】解:当150POC ∠=︒时,四边形OPDC 的面积最大. 自助餐1.从A 处望B 处的仰角为α,从B 处望A 处的俯角为β,则α,β之间的关系是( ) A.α>β B.α＝β C .α＋β＝90° D.α＋β＝180° 【知识点:正弦定理、余弦定理】 解:B.2.已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC ＝120°,则A 、C 两地的距离为( )A.10 kmB. 3 kmC.10 5 kmD.107 km 【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】 解:D AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos120°＝102＋202＋2×10×20×12＝107(km).3.某人在山外一点测得山顶的仰角为42°,沿水平面退后30米,又测得山顶的仰角为39°,则山高为(sin42°≈0.669 1,sin39°≈0.629 3,sin3°≈0.052 3)( )A.180米B.214米C.242米D.266米【知识点:正弦定理;数学思想:数形结合】解: C ∵∠BCA ＝42°,∠BDA ＝39°,∴∠DBC ＝3°.在△BDC 中,DC ＝30, DC sin3°＝BC sin39°,∴BC ＝30·sin39°sin3°.在Rt △ABC 中,AB ＝BC·sin42°＝30·sin39°·sin42°sin3°＝242.4.在200 m 高的山顶上,测得山下塔顶和塔底的俯角分别为30°,60°,则塔高为( )A.4003 mB.40033 mC.20033 mD.2003 m【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:A 在Rt △BAC 中,∠ABC ＝30°,AB ＝200,∴BC ＝AB cos30°＝4003 3.∵∠EBD ＝30°,∠EBC ＝60°,∴∠DBC ＝30°,∠BDC ＝120°. 在△BDC 中,DC sin30°＝BC sin120°.∴DC ＝BC·sin30°sin120°＝40033×1232＝4003(m). 5.某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来,他看见第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆车与第三辆车的俯角差,则第一辆车与第二辆车的距离d 1与第二辆车与第三辆车的距离d 2之间的关系为( )A.d 1>d 2B.d 1＝d 2C.d 1<d 2D.不能确定大小【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.6.有一长为1千米的斜坡,它的倾斜角为20°,现要将倾斜角改为10°,则斜坡长为( )A.1 千米B.2sin10° 千米C.2cos10° 千米D.cos20° 千米【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:C.7.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A船到灯塔C的距离为2 km,B船在灯塔C北偏西40°处,A、B两船间的距离为3 km,则B船到灯塔C的距离为________km.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:6－1.8.如图所示,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为________米.【知识点:余弦定理;数学思想:数形结合】解:507 连接OC,在△OCD中,OD＝100,CD＝150,∠CDO＝60°,由余弦定理,得OC2＝1002＋1502－2·100·150·cos60°＝17 500.9.某校运动会开幕式上举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为10 6 米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上.若国歌长度约为50秒,升旗手应以________(米/秒)的速度匀速升旗.【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:0.6 在△BCD 中,∠BDC ＝45°,∠CBD ＝30°,CD ＝106,由正弦定理,得BC ＝CDsin45°sin30°＝20 3.在Rt △ABC 中,AB ＝BCsin60°＝203×32＝30(米).所以升旗速度v ＝AB t ＝3050＝0.6(米/秒).10.甲船在A 处观察乙船在它的北偏东60°的B 处,此时两船相距a 海里,乙船正向北行驶,若甲船的速度是乙船的3倍,则甲船以什么方向前进才能追赶上乙船?此时乙船行驶了多少海里【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船,此时乙船已行驶a 海里如图所示,AC 为甲船的航行路线,BC 为乙船的航行路线,设甲船取北偏东θ的方向去追赶乙船,在C 点处追上,若乙船行驶的速度是v,则甲船行驶的速度是3v,由于甲、乙两船到达C 点的时间相等,都为t,则BC ＝vt,AC ＝3vt.∠ABC ＝120°. 由余弦定理可知AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB·BC·cos120°,即3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋avt.所以2v 2t 2－avt －a 2＝0.解得t 1＝a v ,t 2＝－a 2v (舍去).所以BC ＝a,∠CAB ＝30°,θ＝30°. 即甲船应取北偏东30°的方向去追赶乙船,此时乙船已行驶a 海里.11.在海岸A 处,发现北偏东45°方向,距A 处(3－1)n mile 的B 处有一艘走私船,在A 处北偏西75°的方向,距离A 处2n mile 的C 处的缉私船奉命以103n mile/h 的速度追截走私船.此时,走私船正以10n mile/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船,设缉私船用t h 在D 处追上走私船,则有CD ＝103t,BD ＝10t,在△ABC 中,∵AB ＝3－1,AC ＝2,∠BAC ＝120°,∴由余弦定理,得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB·ACcos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2·(3－1)·2·cos120°＝6.∴BC ＝ 6.且sin ∠ABC ＝AC BC ·sin ∠BAC ＝26·32＝22.∴∠ABC ＝45°.∴BC 与正北方向垂直.∵∠CBD ＝90°＋30°＝120°,在△BCD 中,由正弦定理,得sin ∠BCD ＝BD·sin ∠CBD CD ＝10tsin120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°.即缉私船沿东偏北30°方向能最快追上走私船.12.某广场有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC,△ABD,经测量AD ＝BD ＝7米,BC ＝5米,AC ＝8米,∠C ＝∠D.(1)求AB 的长度;(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)?较低造价为多少?(3＝1.732,2＝1.414)【知识点:正弦定理、余弦定理;数学思想:数形结合】解:(1)在△ABC 中,由余弦定理,得cosC ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC·BC ＝82＋52－AB 22×8×5.①在△ABD 中,由余弦定理,得cosD ＝72＋72－AB 22×7×7.②由∠C ＝∠D,得cosC ＝cosD.∴AB ＝7,∴AB 长为7米.(2)小李的设计建造费用较低,理由如下:S △ABD ＝12AB·BD·sinD,S △ABC ＝12AC·BC·sinC.∵AD·BD>AC·BC,∴S △ABD >S △ABC .故选择△ABC 建造环境标志费用较低.∵AD ＝BD ＝AB ＝7,∴△ABD 是等边三角形,∠D ＝60°.∴S △ABC ＝103＝10×1.732＝17.32.∴总造价为5 000×17.32＝86600(元).。