不等式总结
一、不等式的主要性质：(举例子验证)
(1)对称性：a b b a <⇔> (2)传递性：c a c b b a >⇒>>,
(3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>（同加c ）； d b c a d c b a +>+⇒>>,（大+大>小+小） (4)乘法法则（变不变号）：bc ac c b a >⇒>>0,； bc ac c b a <⇒<>0,
bd ac d c b a >⇒>>>>0,0
(5)倒数法则：b
a a
b b a 1
10,<⇒
>> (6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且
二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法
0>∆
0=∆
0<∆ 二次函数
c bx ax y ++=2
（0>a ）的图象
)
)((212x x x x a c
bx ax y --=++=
)
)((212x x x x a c bx ax y --=++=
c bx ax y ++=2
一元二次方程
()的根
00
2>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b x x 221-== 无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
{}21x x x x x
><或 ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax
{}21x x x x
<<
∅
∅
注意：一般常用求根公式法求解一元二次不等式
顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于取两边，小于取中间 三、均值不等式
1.均值不等式：如果a,b 是正数，那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 2、使用均值不等式的条件：一正、二定、“三相等（非常重要）” 四、含有绝对值的不等式
1．绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离 ，例如 |4||2|-+-x x 的最小值为___________（答案：2） 2、分类讨论思想
则不等式：如果,0>a
a x a x a x -≤≥<=>≥或||（公式）
a x a a x <<-<=><||（公式）
如果0≤a ，则不等式：
<=>≥a x ||R <=><a
x ||Φ
3． 当0c >时， ||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +<⇔-<+<；
当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈，||ax b c x φ+<⇔∈． 当0=c 时，<=>>+c b ax || <=><+c b ax ||
4、解含有绝对值不等式的主要方法：公式法 步1：是否需对a 分类讨论
步2：套用公式 || (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-． 练习1：4332+<+x x 832≥+x 练习2：a x <+32 a x ≥-32
五、其他常见不等式形式总结：
①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()()0()
()
0()()0;0()0
()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨≠⎩ ②无理不等式：转化为有理不等式求解（利用x y =的单调性）
()0()0()()f x g x f x g x ⎧≥⎫
⇒⎪⎬>≥⎨⎭
⎪>⎩
定义域
⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]
([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或
⎪⎩⎪⎨⎧<≥≥⇔<2
)]
([)(0
)(0
)()()(x g x f x g x f x g x f ③指数不等式：转化为代数不等式（利用x a y =的单调性）
()()()()()
(1)()();(01)()()
(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a
b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>
④对数不等式：转化为代数不等式（利用x y a log =的单调性）
()0
()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪
⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩
⎩
六、零点分段法（两个绝对值的情况） 例题：求解不等式：|21||2|4x x ++->．
提示：先求出两个根，假设12x x >，分类讨论（三种情况） 解：①当2x x ≥时，。
②当21x x x <<时，。
③当1x x ≤时，。
综上，解集为。
练习试题
1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）
A ．x y y x +
B ．4
522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+
2.函数46y x x =-+-的最小值为（ ） A ．2 B ．2 C ．4 D ．6 3．不等式3529x ≤-<的解集为（ ）
A ．[2,1)
[4,7)- B ．(2,1](4,7]- C ．(2,1][4,7)-- D ．(2,1][4,7)-
4、设,,a b c R ∈,且a b >,则（ ）
A ．ac bc >
B ．
11a b
< C ．22
a b >
D ．33
a b >
5、下列选项中,使不等式x<错误!未找到引用源。
<2
x 成立的x 的取值范围是（ ）
A ．(错误!未找到引用源。
,-1)
B ．(-1,0)
C ．（0,1)
D ．(1,+错误!
未找到引用源。
)
6、不等式
021
x
x <-的解为_________. 7、若变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≥≥≤+012y x y x ,则y x z +=2的最大值和最小值分别为（ ）
A ．4和3
B ．4和2
C ．3和2
D ．2和0
8、设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩
，则23z x y =-的最小值是（ ）
（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3-
9、设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪
⎨⎪⎩
则目标函数2z y x =-的最小值为（ ）
A ．-7
B ．-4
C ．1
D ．2
10、在平面直角坐标系xOy 中,M 为不等式组2360
200x y x y y +-≤⎧⎪
+-≥⎨⎪≥⎩
所表示的区域上一动点,则直线OM 的最小
值为_______
11、若122=+y
x ,则y x +的取值范围是（ ）
A ．]2,0[
B ．]0,2[-
C ．),2[+∞-
D ．]2,(--∞
12、已知函数()4(0,0)a
f x x x a x
=+
>>在3x =时取得最小值,则a =_________。