高一数学二次函数的综合问题人教版【本讲教育信息】一. 教学内容：二次函数的综合问题二. 教学重难点：含有参数的或在给定区间上的二次函数问题，讨论可化为二次函数的问题及二次函数与方程，不等式的综合问题。

【典型例题】[例1] 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

解：函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12-<a，12>a即22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为（1）2-<a ；（2）a ≤-22≤；（3） 2>a 时的草图。

由图易知：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2,)1(a f a af a f y 最大；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2,122,42,)1(2a a a a a a y 最大[例2] 已知函数)()1()(2R m m x m x x f ∈++-=（1）设A 、B 是ABC ∆的两个锐角，且A tan 、B tan 是方程04)(=+x f 的两个实根，求证：5≥m ；（2）当3≥m 时，函数)(sin αf 的最大值是8，求m 的值。

证明：（1）方程04)(=+x f 即为04)1(2=+++-m x m x依题意，得⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m ⎪⎩⎪⎨⎧->->≥-≤⇒4153m m m m 或5≥⇒m（2）∵ 4)1()21(sin sin )1(sin )(sin 222+-++-=++-=m m m m m f αααα ∵ 3≥m 而221≥+m ∴ 当1sin -=α时，)(sin αf 取得最大值22+m 由题意知822=+m ∴ 3=m[例3] 已知函数c bx x x f ++=2)(（b 、R c ∈，2-≥c ），c x f x F -=)()(，当]2,2[-∈x 时，恒有0)(≤x f ，且对于任意实数1x 、2x ，总有)()(2121x x F x x F -++)]()([221x F x F +=，求函数)(x f 的解析式。

解：由bx x x F +=2)(，得F （0）=0在)]()([2)()(212121x F x F x x F x x F +=-++中，令01=x ，x x -=2 得)]()0([2)()(x F F x F x F -+=+- ∴ )()(x F x F -= ∴ )(x F 是偶函数因此0=b ∴ c x x f +=2)( 又)(x f 在]2,2[-上恒有0)(≤x f所以0)2()2(≤=-f f ，即02≤+c ，亦即2-≤c 又 2-≥c ∴ 2-=c ，故)(x f 22-=x[例4] 已知二次函数)(x f 满足条件1)0(=f 及x x f x f 2)()1(=-+（1）求)(x f ；（2）求)(x f 在区间]1,1[-上的最大值和最小值 解：（1）设c bx ax x f ++=2)(，由1)0(=f ，可知1=c∵ b a ax c bx ax c x b x a x f x f ++=++-++++=-+2)(])1()1([)()1(22 故由x x f x f 2)()2(=-+得22=a ，0=+b a 因而1=a ，1-=b 所以1)(2+-=x x x f （2）43)21(1)(22+-=+-=x x x x f ∵]1,1[21-∈，所以当21=x 时，)(x f 的最小值为43 当1-=x 时，)(x f 的最大值为3)1(=-f[例5]（1（2（3解：（1）根据函数图象得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<+-≤≤+-=2520,6512016,741p p p p q（2）设月利润为W （万元），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<--+-≤≤--+-=--=2520,8.6)16)(651(2016,8.6)16)(741(8.6)16(p p p p p p q p W当2016≤≤p 时，2.2)22(412+--=p W 故20=p 时，2.1max =W当2520≤<p 时，3)23(512+--=p W ，故23=p 时，3max =W ∴ 当售价定为23元/件时，月利润最多为3万元。

（3）设最早n 个月后还清转让费，则583≥n ，20≥n ∴ 企业乙最早可望20个月后还清转让费。

[例6] 是否存在常数R k ∈，使函数)2()2()(24k x k x x f -+-+=在]1,(--∞上是减函数且在)0,1[-上是增函数？解法1：设2x t =，则原函数转化为)2()2()()(2k t k t t h x f -+-+==那么问题就等价于是否存在常数R k ∈，使函数)2()2()(2k t k t t h -+-+=在]1,0(上是减函数且在),1[∞+上是增函数，根据二次函数的性质知，只需122=--k，故4=k 解法2：任取121-≤<x x ，则)()(12x f x f - ))(2(21224142x x k x x --+-= )2)((21222122k x x x x -++-= )2)()((21221221k x x x x x x -++-+=由)(x f 在]1,(--∞上是减函数可知，对任意的121-≤<x x （*）0<恒成立 所以有022122>-++k x x 恒成立，即22122++<x x k 恒成立 ∵ 121-≤<x x ∴ 421122122=++>++x x 因此，当4≤k 时，（*）0<恒成立即当4≤k 时，函数)(x f 在]1,(--∞上是减函数 仿上可得当4≥k 时，函数)(x f 在)0,1[-上是增函数故存在常数4=k ，使函数)2()2()(24k x k x x f -+-+=在]1,(--∞上是减函数，且在)0,1[-上是增函数。

[例7] 已知函数xa x x x f ++=2)(2，),1[∞+∈x（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值； （2）若对任意),1[∞+∈x ，0)(>x f 恒成立，试求实数a 的取值范围 解：（1）当21=a 时，221)(++=xx x f ，先证)(x f 在区间),1[∞+上为增函数（略） ∴ )(x f 在区间),1[∞+上的最小值为27)1(=f（2）解法1：在区间),1[∞+上，02)(2>++=xax x x f 恒成立 022>++⇔a x x 恒成立，1)1(222-++=++=a x a x x y 在),1[∞+上递增∴ 当1=x 时，a y +=3min于是当且仅当03min >+=a y 时，函数0)(>x f 恒成立，故3->a 解法2：2)(++=xax x f ，),1[∞+∈x ，当0≥a 时，函数)(x f 的值恒为正 当0<a 时，函数)(x f 递增，故当1=x 时，a x f +=3)(min 于是当且仅当03)(min >+=a x f 时，函数0)(>x f 恒成立 故30->>a ，综上，a 的取值范围是3->a[例8] 已知函数c bx ax x f ++=2)(（c b a >>）的图象上有两点A （1m ，)(1m f ）、B （2m ，)(2m f ），且满足0)1(=f ，0)()())()((21212=⋅+⋅++m f m f a m f m f a 。

（1）求证：0≥b（2）求证：)(x f 的图象被x 轴所截得的线段长的取值范围是)3,2[ 证明：（1）0)()()]()([21212=+++m f m f a m f m f a即0)]()][([21=++m f a m f a ∴ a m f -=)(1或a m f -=)(2∴ 1m 或2m 是a x f -=)( 即02=+++a c bx ax 的实根于是0≥∆即)(42c a a b +≥ ∵ 0)1(=f ∴ 0=++c b a 将b c a -=+代入上述不等关系，得042≥+ab b ，即0)4(≥+a b b ，又c b a >>∴ 必有0>a ，0<c （否则与0=++c b a 矛盾） ∴ 034>-=+c a a b ∴ 0≥b（2）设0)(2=++=c bx ax x f 两根为1x 、2x ，则一个根为1（∵ 0)1(=f ），另一根为a c ，∵ cb a >>且由上知0≥--=c a b ，∴ 0≥-->c a a ，∴ 12-≤<-ac，3||221<-≤x x【模拟试题】（答题时间：70分钟）一. 选择题：1. 设二次函数c bx ax x f ++=2)(（0≠a ），如果)()(21x f x f =（其中21x x ≠），则)2(21x x f +等于（ ） A. a b 2- B. ab- C. c D. a b ac 442-2. 二次函数ab c x b a x y 2)(222+++-=的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，则ABC ∆为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形3. 已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[∞+-上是增函数，则)1(f 的范围是（ ） A. 25)1(≥f B. 25)1(=f C. 25)1(≤f D. 25)1(>f4.5.6. 若32)1()(2++-=mx x m x f 为偶函数，则)(x f 在区间（5-，2-）上（ ） A. 是增函数 B. 是减函数 C. 增减性随m 的变化而改变 D. 无单调性二. 填空：1. 已知函数)(|2|)(2R x b ax x x f ∈+-=，给出下列命题： ① )(x f 必为偶函数② 当)0(f )2(f =时，)(x f 的图象必关于直线1=x 对称 ③ 若02≤-b a ，则)(x f 在区间),[∞+a 上是增函数 ④ )(x f 有最大值b a -2 其中正确命题的序号是 。

2. 若3)2(2+++=x a x y ，],[b a x ∈的图象关于直线1=x 对称，则=b 。

3. 函数342++=x x y （]2,(--∞∈x ）的反函数的定义域是 。