山东大学网络教育线性代数模拟题(A)一．单选题 .1.下列（ A ）是 4 级偶排列． （A ） 4321； (B) 4123； (C) 1324； (D) 2341．2. 如果a11a 12a 134a 112a113a12a13D a aa1，21 22 23D4a2a3aa ，121 21 2223a31a32a334a312a 313a 32a33那么 D（D ）．1（A ） 8；(B) 12 ； (C) 24； (D) 24 ．3. 设 A 与 B 均为 n n矩阵，满足 AB O ，则必有（ C ）．（A ） A O 或 B O ；（B ） A B O ；（C ） A 0 或 B 0；（D ） AB 0 ．4. 设 A 为n阶方阵 (n3) ，而*A 是 A 的伴随矩阵， 又 k 为常数，且k 0, 1，则必有kA*等于（ B ）． （A ）*kA ；（B ） k n 1 A *；（C ） k n* A 1A；（D ） k * ． 5.向量组1, 2 ,...., s 线性相关的充要条件是（ C ）（A ） 1, 2,...., 中有一零向量s(B) 1, 2 ,...., s 中任意两个向量的分量成比例 (C) 1, 2 ,...., s 中有一个向量是其余向量的线性组合 (D) 1, 2 ,...., s 中任意一个向量都是其余向量的线性组合6. 已知1,2 是非齐次方程组Ax b 的两个不同解，1, 2 是 Ax 0的基础解系， k 1 ,k 2为任意常数，则 Ax b 的通解为（ B ）(A)12k 1k (); (B)121 22k 1k 12()1 21 22 (C) 12k 1k (); (D)121 22k 1k (1212)1227. λ＝2 是 A 的特征值，则（ A 2/3）2/3）－1 的一个特征值是（ B ）(a)4/3(b)3/4(c)1/2(d)1/48. 若四阶矩阵 A 与 B 相似，矩阵 A 的特征值为 1/2,1/3,1/4,1/5，则行列式 |B-1 -I|=(B)(a)0 ( b)24 (c)60 (d)1209. 若A 是（A ），则A必有A A ．（A）对角矩阵；(B) 三角矩阵；(C) 可逆矩阵；(D) 正交矩阵．10. 若A 为可逆矩阵，下列（A）恒正确．（A ）2A2A；(B) 1 212A A ；(C) ( A A ；(D)1) 1 ( )11) 1 ( )11 ( 1 ) 1 ( A ) A ．二．计算题或证明题1. 设矩阵3 2 2A k 1 k4 2 3(1) 当k 为何值时，存在可逆矩阵P，使得P－1AP为对角矩阵？(2) 求出P 及相应的对角矩阵。

参考答案：2. 设n 阶可逆矩阵 A 的一个特征值为λ，A *的一个特征值。

A *是A 的伴随矩阵，设|A|=d，证明：d/λ是3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．ax1 x x 12 3x 1 ax2x3ax 1x2ax3a 2参考答案：. 当a 1, 2 时有唯一解：2a 1 1 (a1)x , x , x1 2 3a 2 a 2 a 2x 1 k k1 1 2当a 1时，有无穷多解：x k2 1x k3 2当a 2时，无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．1 0 32 11 12 , 231, 37, 415, 5124 2 14 6 0参考答案：5. 若A 是对称矩阵， B 是反对称矩阵，试证：AB BA 是对称矩阵．参考答案：山东大学网络教育线性代数模拟题（B）一．单选题.1. 若( 1)N ( 1k4l 5)a11 a k a a l a 是五阶行列式a ij 的一项，则k 、l 的值及该项符号为2 434 55（A ）．（A）k 2 ，l 3，符号为负；(B) k 2 ，l 3符号为正；(C) k 3，l 2 ，符号为负；(D) k 1，l 2，符号为正．2. 下列行列式（A）的值必为零．2 个；(A ) n阶行列式中，零元素个数多于n n2(B) n阶行列式中，零元素个数小于n n 个；(C) n阶行列式中，零元素个数多于n个；(D) n阶行列式中，零元素的个数小于n个．3. 设A ，B 均为n阶方阵，若 2 B 2A B A B A ，则必有（ D ）．（A）A I ；(B) B O ；(C) A B ；(D) AB BA ．4. 设A 与B 均为n n矩阵，则必有（C）．（A）A B A B ；（B）AB BA ；（C）AB BA ；（D） 1 A 1 B 1A B ．5. 如果向量可由向量组1, 2,...., s 线性表出，则（D/A ）(A) 存在一组不全为零的数k1,k2 ,....,k s ，使等式k1 1 k2 2 .... k s s 成立(B) 存在一组全为零的数k1 ,k2 ,....,k s ，使等式k1 1 k2 2 .... k s s 成立(C) 对的线性表示式不唯一(D) 向量组, 1, 2 ,...., s 线性相关6. 齐次线性方程组Ax 0 有非零解的充要条件是（C）(A) 系数矩阵 A 的任意两个列向量线性相关(B) 系数矩阵 A 的任意两个列向量线性无关(C )必有一列向量是其余向量的线性组合(D)任一列向量都是其余向量的线性组合－ 12＋I 必有特征值（B）7.设n 阶矩阵 A 的一个特征值为λ，则(λA )(a)λ2+1 ( b) λ2-1 (c)2 (d)-23 2 18.已知 A 与对角矩阵相似，则a＝（A）0 0 a0 0 0(a) 0 ; (b) －1 ; (c) 1 ; (d) 29. 设A ，B ，C 均为n阶方阵，下面（D）不是运算律．（A）A B C (C B) A；（B）(A B)C AC BC ；（C）(AB )C A(BC )；（D）(AB )C (AC)B ．10. 下列矩阵（B）不是初等矩阵．0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 00 1 0 0 0 0 0 2 0 0 1 2；（B）；（C）；（D）(A)．1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1二．计算题或证明题10。

其中1.已知矩阵A，求 A A112参考答案：2. 设A 为可逆矩阵，λ是它的一个特征值，证明：λ≠0 且λ参考答案：-1 -1是A 的一个特征值。

3. 当a取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．ax1 x2x3a 3x 1 ax2x32x 1` x2ax32参考答案：a 1 3 3当a 1, 2时有唯一解：x1 , x2 ,x3a 2 a 2 a 2x 2 k k1 1 2当a 1时，有无穷多解：x k2 1x k3 2当a 2时，无解。

4. 求向量组的秩及一个极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示．11 1 11 2 3 , 2 1 1 , 3 1 2 , 4 0 041 1 2参考答案：极大无关组为：a 2 ,a 3,a 4 ，且 a 1 a 2 a 3 a 41是对称矩阵． 5. 若 A 是对称矩阵， T 是正交矩阵，证明 T AT 参考答案：山东大学网络教育线性代数模拟题（C）一．单选题.1. 设五阶行列式a ij m，依下列次序对a ij 进行变换后，其结果是（C）．交换第一行与第五行，再转置，用 2 乘所有的元素，再用-3 乘以第二列加于第三列，最后用 4 除第二行各元素．1（A ）8m ；(B) 3m；(C) 8m ；(D) m4．3x ky z 04y z 0有非零解，则（D）．2.如果方程组kx 5y z 0（A ）k 0或k 1；（B）k 1或k 2 ；（C）k 1或k 1；（D）k 1或k 3．3. 设A ，B ，C ，I 为同阶矩阵，若ABC I ，则下列各式中总是成立的有（A）．（A）BCA I ；(B) ACB I ；(C) BAC I ；(D) CBA I ．4. 设A ，B ，C 为同阶矩阵，且 A 可逆，下式（A）必成立．（A）若AB AC ，则B C ；(B) 若AB CB ，则 A C ；(C) 若AC BC ，则A B ；(D) 若BC O ，则B O ．5. 若向量组1, 2 ,...., s 的秩为r ，则（D）（A ）必定r<s(B) 向量组中任意小于r 个向量的部分组线性无关(C )向量组中任意r 个向量线性无关(D )向量组中任意个r 1向量必定线性相关6. 设向量组1, 2 , 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（C）(A) 1 2 , 2 3 , 3 1 ; (B) 1 , 1 2, 3 2 1 ;(C) 1 2 , 2 3, 3 1 ;(D) 1 2 ,2 2 3 ,3 3 1 .7. 设A、B为n 阶矩阵，且A与B 相似，I 为n 阶单位矩阵，则（D）(a) λI-A ＝λI-B (b)A 与B有相同的特征值和特征向量(c)A 与B 都相似于一个对角矩阵( d)kI-A 与kI-B 相似（k 是常数）8. 当（C）时，A 为正交矩阵，其中A abc(a)a=1,b=2,c=3; (b) a=b=c=1; ( c) a=1,b=0,c=-1; (d)a=b=1,c=0 .9. 已知向量组1, 2 , 3 , 4 线性无关，则向量组（ A ）(A) 1 2 , 2 3, 3 4 , 4 1 线性无关;(B) 1 2, 2 3 , 3 4, 4 1 线性无关;(C) 1 2 , 2 3 , 3 4 , 4 1 线性无关;(D) 1 2 , 2 3, 3 4 , 4 1 线性无关.10. 当A （B）时，有a1 a a a 3c a 3c a 3c2 3 1 1 2 2 3 3A b1 b2b3b1b2b3．c 1 c2c3c1c2c31 0 0 1 0 3 0 0 3 1 0 0（A）0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0；（B）；（C）；（D）．3 0 1 0 0 1 1 0 1 0 3 1二．计算题或证明题1. 设A ～B,试证明(1)A m～B m(m 为正整数)（2）如A可逆，则 B 也可逆，且 A －1 －1～B参考答案：2=A，证明：A的特征值只能为0 或-1 。

2. 如n 阶矩阵 A 满足 A参考答案：3. 当a、b 取何值时，下列线性方程组无解、有唯一解、有无穷多解？有解时，求其解．x 1 2x22x32x41 x2x3x41x 1 x2x33x4ax 1x2x35x4b 参考答案：x1 k 12当 a=0, b = －2 时有解x 1 kk212x k 31xk4 24. 判断向量能否被1, 2 , 3 线性表出，若能写出它的一种表示法．82353 7 ， 1 7 1 , 2 5 0 , 3 63103 2 1参考答案 ： 不能被1, 2 , 3线性表示。