2006
五、 （20 分）系统的动态结构如图所示，试以 u 为输入，y 为输出，x 为状态 变量列写系统的状态空间表达式：
x1 u1 y1 u , y , x x2 u 2 y2 x3
u1
1 s 1
x1
Ax bu x y cx
n 1 1．已知 cA b 0, (i 0, 1, 2, , n 2) ，但 cA b 0 ，试证明该系 统是既能控又能观的；
i
2．证明该系统的传递函数是：
G (s)
Y ( s ) det( sI A) det( sI A bc ) U ( s) det( sI A)
六、 （15 分）已知系统的动态方程为
x 1 2 x1 x 2 3u x 2 x1 x 2 2u y x 3x 1 2
当系统的状态不可直接量测时，问能否通过构造状态观测器来获 取状态变量？若可能， 试设计一个极点均位于-2 处的全维状态观 测器；若不可能，请说明你的理由。 七、证明题（每小题 10 分，共 20 分）对线性定常的单输入－单输出 系统
1 et (3)系统的零状态单位阶跃响应为 x (t ) t 1 e 1.试确定 A 和 b；
2.以 T = ln2 为采样周期，求系统离散化的状态方程。 六、 （20 分）已知线性定常的离散时间系统的状态方程为：
x 1(k 1) x 2 (k ) u (k ) x 2 (k 1) a x 1(k ) x 2 (k ) b u (k )
2009
七、计算与设计（25 分） ：已知系统的状态空间方程为
& x 1 x1 3 x2 3u & x 2 2 x1 4 x2 2u y x 2x u 1 2
1. 设初态为 x1 (0) 1, x2 (0) 1 ，求单位阶跃信号作用下，状态
Ax bu , x
y cx
1.若 A 非奇异，证明：系统在零初态条件下的单位阶跃响应是
y (t ) cA1 (e At I )b
2.从能控性判据出发，证明：若系统能控，则对任意的实数λ， 增广矩阵
[ I A b ]
一定满秩。
2008 五、 （20 分）已知系统的动态方程为 x 1 16 x1 10 x2 4u x 2 21x1 13 x2 5u y 7 x 5x 1 2 求初态为 x1 (0) 2, x2 (0) 3 时，系统在单位阶跃输入作用下 1．系统的状态响应表达式； 2．求系统输出范数最小的时刻 t； 3．写出系统的传递函数。 六、 （24 分）已知系统的动态方程为
1. 将它们负反馈联接，即： u 2 y1 ， u1 v y 2 ，试以 v 为输入，
y y1 为输出， x 为状态，求反馈系统的状态空间方程； x

2. 当 A1 1, b1 1, c1 1, d1 1 ， A2 2, b2 1, c2 1, d 2 0 ，
六、 （20 分）已知系统的动态方程为
x 1 x1 2 x2 u x 2 x1 ax2 y x 2x 1 2
1．分析参数 a 对系统的能控性、能观性、渐近稳定性和 BIBO 稳定性的影响； 2．当 a 1 ，且系统的状态不可直接量测时，若可能，设计极点 均位于-5 处的最小维状态观测器。 七、 （20 分）1．对线性定常系统，证明：线性变换不改变系统的渐 近稳定性。 2．对单输入-单输出线性定常系统{ A , b , c }，证明：若{ A , b } 能控，则一定存在行向量 c，使{ A , c }能观。
七、 （16 分）对单输入-单输出能控的线性定常系统 1．证明：状态反馈不改变传递函数的零点； 2．问：如果系统不能控上述结论还正确吗？
2007 五、 （25 分）已知单输入－单输出系统的传递函数为
G (s)
s s 3 3s 2 ＋2s
1.给出该传递函数的一个能控标准型实现；
2.研究系统的能控性、能观性、李雅普诺夫意义下的稳定性、渐 近稳定性和 BIBO 稳定性； 3.当系统 BIBO 稳定时，对上述能控标准型实现进行能观性分解。
2005
五、 （20 分）已知系统的动态结构图如下：
11 s s11
x1
x2
y
u
x3
1 s 3
2 s
1．列写系统的状态空间表达式； 2. 当初态 x1 (0) 1, x2 (0) 1, x3 (0) 0 ，输入 u 是单位阶跃信号 时，求状态 x(t ) 的表达式及输出 y ( 2) 的值。
y1
u2
1 s2
x2
1 s
x3
y2
六、 （24 分）已知某系统的传递函数如下，试分别给出满足以下条件的实现并分 析实现的稳定性
g (s)
2( s 1)( s 4) ，分析该实现的渐近稳定性； 2．求一个维数尽可能低的能控但不能观、李雅普诺夫意义下稳定但非渐近 稳定的实现，分析该实现的 BIBO 稳定性； 3．求一个维数尽可能低的既不能控又不能观、且李雅普诺夫意义下不稳定 的实现，分析该实现的 BIBO 稳定性和渐近稳定性。
2004 五、(20 分) 已知两单输入单输出系统的状态空间方程分别是：
A1 x1 b1u1 x S1 : 1 , y c x d u 1 1 1 1 1
x1
2
A2 x 2 b2 u 2 x S2 : 2 y2 c2 x 2 d 2u 2
x1 (0) 1, x 2 (0) 1, 且输入 v 是幅值为 2 的阶跃信号时，求状 态 x(t ) 的表达式及输出 y (3) 的值。
六、 （24 分）已知系统的动态方程为
x 1 2 x1 x2 u x 2 x1 3 x2 2u yx x 1 2
x 1 2 x1 3 x2 3u x 2 2 x1 5 x2 5u y 5x x 1 2
1．判断系统的稳定性（渐近稳定、BIBO 稳定） ； 2． 若有可能， 设计状态反馈， 使系统的两个闭环极点均位于－2； 3．若有可能，设计极点位于-8 处的最小维状态观测器； 4． （选做）用第 3 小题得到的观测状态来实现第 2 小题的状态反 馈，写出复合系统的（增广的）状态空间方程。 七、 （16 分）对线性定常系统，试证明： 1．状态反馈不改变系统的能控性； 2．同一传递函数的两个最小实现一定是相互等价的（即它们可 通过一个线性变换相互转化） 。
1．确定使系统渐近稳定的 a 值范围； 2．给出系统完全能控的充分必要条件。 七、 （20 分）已知单输入－单输出系统的传递函数为：
s 2 3s 2 G( s) 3 s 2s 2 3s＋4
1． 给出该传递函数的一个能控标准型实现 （输入 u、 输出 y、 状态 x） ； 2．上述能控标准型系统引入状态反馈 u v kx 后，问： （1）闭环系统（输入 v、输出 y、状态 x）是否一定能控；若是，请 给出证明；若否，给出一个尽可能简单的反例； （2）闭环系统（输入 v、输出 y、状态 x）是否一定能观；若是，请 给出证明；若否，给出一个尽可能简单的反例。 注:上述“尽可能简单”是指闭环系统的传递函数阶数最低，且静态增益 为 1。要求求出 k 及相应的闭环传递函数 Go ( s )
x (t ) 的表达式及输出 y (1) 的值；
2. 若有可能， 设计状态反馈， 使系统的闭环极点位于-2 j2； 3. 若有可能，设计一个全维状态观测器，使观测器的两个极 点分别位于-3,-4 处。
八、证明题（20 分） ：对线性定常系统，试证明： 1. 状态变换不改变系统的稳定性（提示：稳定性包括 BIBO 稳定性、渐近稳定性、李雅普诺夫意义下的稳定性） ； 2. 对 n 维（ n 2 ）单输入-单输出系统，若 Abc bcA ，则 状态空间方程 { A, b, c } 一定不是其传递函数的最小实 现。
1．判断系统的渐近稳定性和 BIBO 稳定性； 2．若可能，设计状态反馈使闭环系统的极点位于 2 j 2 ； 3．当系统的状态不可直接量测时，若可能，设计极点均位于-6 处的 最小维状态观测器； 4．用你得到的观测状态实现你设计的状态反馈，给出实现你所设计 的复合系统结构图。 七、 （16 分）对 n 维线性定常单输入－单输出系统：
2003 五、(20 分)某单输入线性定常系统(也叫线性非时变系统)的状态方程是 Ax bu ，已知： x (1)当 x (0)
1 时，系统的零输入响应为 x (t ) e t x (0) ； 1
1 (2)当 x (0) 时，系统的零输入响应为 x (t ) e 2t x (0) ； 2