数学必修4知识归纳一、任意角（逆时针旋转→正角，顺时针旋转→负角） 1、与α终边相同的角的集合：{|2,}k k Z ββαπ=+∈ 2、弧度制（1）α=l r，l =rα⋅（2）180=oπ rad1=o ()180π rad1rad =180()πo57.3≈o （3）扇形面积S=21122lr r α= 二、任意角的三角函数 1、定义 2、三角函数的值在各象限的符号 三、同角三角函数的基本关系式： 1、22sincos 1αα+=； sin tan cos ααα=；tan cot 1αα⋅= 2、特殊角的三角函数值：四、诱导公式（口诀：纵变横不变，符号看象限）五、三角恒等变换 思想方法：①切化弦、平方降幂的思想； ②化为同角、同名的思想； ③拆角的思想：如()()βαβαααβ=+-=--，2()()ααβαβ=++-等1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=±αβ=−−−→令sin 22sin cos ααα= ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±=m αβ=−−−→令22cos 2cos sin ααα=- 2cos 22cos 1αα=- ⇒降幂公式：21+cos2cos 2αα=，2cos 212sin αα=- 21cos2sin 2αα-=()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±=m αβ=−−−→令22tan tan 21tan ααα=-　2、辅助角公式（合一思想）：关键是“提斜边”sin cos )a x b x x ϕ+=+ （ϕ是斜边）3、正余弦“三兄妹”：sin cos x x +、sin cos x x -、sin cos x x —— 知一求二内在联系：2(sin cos )12sin cos 1sin 2x x x x x ±=±=±六、三角函数的图象与性质正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质的比较（见书） 1、会用“五点法”画出函数sin()y A x B ωϕ=++的图象：步骤：设X x ωϕ=+，令X ＝30,,,,222ππππ→求相应的x 值及对应的y 值→描点作图 试一试：请用“五点法”画出函数2sin(2)y x π=-在一个周期内闭区间的图象列表：2、函数sin()y A x B ωϕ=++的图象变换（伸缩变换与平移变换）特别注意：sin y x ω=→()sin y x ωϕ=+，应向左或向右平移||ϕω个单位长度 试一试：函数13sin()226y x π=+-的图象可以由sin y x =的图象经过怎样的变换得到？3、函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：几个物理量：A ——振幅 2T πω=——周期1f T=——频率ϕ——初相 x ωϕ+ ——相位步骤：A 由最值确定 → ω由周期确定 → ϕ由图象上的特殊点确定，七、解三角形：1、内角和定理：A B C π++=,A B C π+=-，sin()sin A B C +=，cos()cos A B C +=-，sincos 22A B C+=2、正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为△ABC 外接圆的半径).注意：① 正弦定理的一些变式：sin sin sin a b c A B C ::=::；sin 2aA R=，sin 2b B R=，sin 2c C R=； 2sin a R A =，2sin b R B =，2sin c R C = ② 解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解3、余弦定理4、面积公式：111sin ()222a S ah ab C r a bc ===++（其中r 为三角形内切圆半径）. 八、平面向量 1、平面向量的概念（1）定义（2）零向量（3）单位向量（4）平行向量（共线向量） 2、平面向量的线性运算（1）向量的加法与减法 ① 三角形法则 ② 平行四边形法则 （2）向量的模性质：||||- a b ≤||±a b ≤||||+a b （3）向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线⇔有且只有一个实数λ，使得b a λ=3、平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义 (投影.) （注意：用几何法计算a 和b 的夹角时，必须先判断a 与b 是否共起点）（2）夹角θ与数量积⋅a b 之间的关系 （3）数量积的三个运算律： ① 交换律⋅=⋅a b b a ；② 对实数的结合律：()()()λλλ⋅=⋅=⋅a b a b a b③ 分配律()+⋅=⋅+⋅ab c a c b c 由此可得：222()2±=±⋅+a b a a b b ，22()()+⋅-=-a b a b a b注意：结合律是对实数的结合，对向量一般是不成立的，即()()⋅⋅≠⋅⋅a b c a b c4、平面向量的坐标运算（1）平面向量基本定理【定理2】：平面上四点、、、P A B C 满足=+u u u r u u u r u u u rPC xPA yPB ，1+=⇔、、x y A B C 三点共线（2）任意两点组成的向量AB =u u u r2121(,)x x y y --（3）向量的加法、减法、数乘运算：1212(,)a b x x y y ±=±±；12(,)a x y λλλ=向量的数量积运算：1212a b x x y y a b ⋅=+=⋅cos θ（4）平行向量：a ∥b ⇔12210x y x y -=⇔b a λ= （5）垂直向量：⊥ab ⇔12120x x y y +=⇔0a b ⋅=（6）向量的夹角：cos θ==a b a b⋅⋅（7）向量的模：=a=22=⋅=a a a a两点间距离：d AB AB ===u（8）AB 的中点坐标：1212(,)22x x y y ++；ABC ∆的重心坐标：123123(,)33x x x y y y ++++． （9）单位向量：与向量a 同向的单位向量0==a aa第三章 三角恒等变换24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；⑶()sinsin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；⑸()tan tan tan1tan tan αβαβαβ--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；⑹()tan tan tan1tan tan αβαβαβ++=- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．25、二倍角的正弦、余弦和正切公式 26、⇒（后两个不用判断符号，更加好用）27、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。

()sin cos αααϕA +B =+，其中tan ϕB=A． 28、常用的数学思想方法技巧如下：（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4α的二倍； ②2304560304515oooooo=-=-=；ααααααα半角公式cos 1cos 12tan 2cos 1sin ;2cos 12cos :+-±=-±=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2sin :222αααααα万能公式+-=+=③ββαα-+=)(；④)4(24αππαπ--=+；⑤)4()4()()(2απαπβαβαα--+=-++=；等等（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。

如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：o o 45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα（4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。

常用降幂公式有： ； 。

降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如：_______________tan 1tan 1=-+αα；______________tan 1tan 1=+-αα；____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα；____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；=+ααcos sin b a = ；（其中=ϕtan ；） =+αcos 1 ；=-αcos 1 ；（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：=+)10tan 31(50sin o o；=-ααcot tan 。

高中数学必修四三角函数检测题1．下列不等式中，正确的是（ ）A ．tan 513tan413ππ< B ．sin )7cos(5ππ-> C ．sin(π－1)<sin1o D ．cos )52cos(57ππ-< 2. 函数)62sin(π+-=x y 的单调递减区间是（ ）A ．)](23,26[Z k k k ∈++-ππππ B ．)](265,26[Z k k k ∈++ππππC ．)](3,6[Z k k k ∈++-ππππD ．)](65,6[Z k k k ∈++ππππ3.函数|tan |x y =的周期和对称轴分别为（ ）A. )(2,Z k k x ∈=ππ B. )(,2Z k k x ∈=ππC.)(,Z k k x ∈=ππ D.)(2,2Z k k x ∈=ππ4.要得到函数x y 2sin =的图象，可由函数)42cos(π-=x y （ ）A. 向左平移8π个长度单位 B. 向右平移8π个长度单位 C. 向左平移4π个长度单位 D. 向右平移4π个长度单位5．三角形ABC 中角C 为钝角，则有 （ ）A .sin A >cosB B. sin A <cos B C. sin A =cos B D. sin A 与cos B 大小不确定6．设()f x 是定义域为R ，最小正周期为32π的函数，若cos (0)()2sin (0)x x f x x x ππ⎧-≤<⎪=⎨⎪≤≤⎩，则15()4f π-的值等于（ ） A.1 BC.0D. -7.函数)(x f y =的图象如图所示，则)(x f y =的解析式为（ ） A.22sin -=x y B.13cos 2-=x yC.1)52sin(--=πx y D. )52sin(1π--=x y8．已知函数x b x a x f cos sin )(-=（a 、b 为常数，0≠a ，R x ∈）在4π=x 处取得最小值，则函数)43(x f y -=π是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点)0,(π对称B ．偶函数且它的图象关于点)0,23(π对称 C ．奇函数且它的图象关于点)0,23(π对称 D ．奇函数且它的图象关于点)0,(π对称9．函数]0,[,cos 3sin )(π-∈-=x x x x f 的单调递增区间是（ ）A ．]65,[ππ--B ．]6,65[ππ--C ．]0,3[π-D ．]0,6[π-10. 已知函数sin cos 1212y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（ ） A ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ B ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,012π⎛⎫⎪⎝⎭ C ．此函数的最小周期为2π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭D ．此函数的最小周期为π，其图像的一个对称中心是,06π⎛⎫⎪⎝⎭11. 若22)4sin(2cos -=-παα，则ααsin cos +的值为（）Ａ．27-Ｂ．21-Ｃ．21 Ｄ．2717.已知函数3)62sin(3)(++=πx x f（1）用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；（2）指出)(x f 的周期、振幅、初相、对称轴；（3）说明此函数图象可由][0,2sin π在x y =上的图象经怎样的变换得到.18．已知函数)2sin()42cos(21)(ππ+-+=x x x f .（1）求)(x f 的定义域；（2）若角α在第一象限且53cos =α，求)(αf 的值.19．设函数a x x x x f ++=ωωωcos sin cos 3)(2 (其中ω＞0,R a ∈),且)(x f 的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为6π.（1）求ω的值； （2）如果)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-65,3ππ上的最小值为3，求a 的值.20．（本小题14分）已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωωϕω<>>+=A x A x f 在一个周期内的图象 下图所示。