正弦定理和余弦定理复习题
班级:____________ 姓名:__________________
1.在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知()()sin sin 2sin c C a b B a b A -+=-,则C =( ) A .3π B .3π或23π C .6π D .6π或56
π 2.在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,若2A B =,4a =,3b =,则c 的值是( ) A .73c = B .73c =或3c = C .3c = D .以上都不对
3.ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a ,b ,c ,若ABC △的面积为2224
a b c +-,则C = A .π2
B .π3
C .π4
D .π6 4.在ABC ∆中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =( ) A .6π B .3π C .23π D .
56π 5.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若2
22b a c ac =++,且sin sin 1A C +=,则ABC ∆的形状为( )
A .等边三角形
B .等腰直角三角形
C .最大角为锐角的等腰三角形
D .最大角为钝角的等腰三角形 6.在ABC ∆中,若
cos 1cos 2cos 1cos 2b C C c B B +=+,则ABC ∆的形状是( ) A .等腰三角形 B .直角三角形 C .等腰直角三角形 D .等腰三角形或直角三角形 7.在直角梯形ABCD 中,//AB CD ,90ABC ∠=,22AB BC CD ==,则cos DAC ∠=( )
A B C D .10
8
.已知ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,满足cos cos 2cos ,b A a B c B +=b =则ABC 外接圆的面积为________.
9.在ABC ∆中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .ABC ∆的面积()2214
S a c =+,若
2sin sin B A C =,则角B 的值为______.
10.已知ABC ∆的面积为1cos 7
C =
,2b a -=,则c =_______.
11.ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.
(1)求角C ;(2)若7c =33ABC S ∆=ABC ∆的周长.
12.如图,在四边形ABCD 中,2AB =,5BC =
,AC AD ⊥,2AC AD =. (1)若3BAC π
∠=,求AC ;
(2)求四边形ABCD 面积的最大值
1.A
解:()()2si in n sin s c C a b B a b A -+=-
2222c ab b a ab ∴--=-.即222
a b c ab +-=,则2221cos =22a b c C ab +-=, ()0,C π∈3C π∴=
.故选:C
2.A ∵2A B =,∴sin sin22sin cos A B B B ==,所以2cos a b B =,42cos 2233
a B
b ===⨯, 2222cos b a
c ac B =+-,2291683
c c =+-⨯,解得3c =或73c =, 当3c =时,3,4c b a ===,C B =,2180A B +=︒,但不可能有2A B =,舍去. ∴73
c =. 故选:A.
3.C 详解:由题可知222124
ABC a b c S absinC +-== 所以2222absinC a b c +-=由余弦定理2222a b c abcosC +-=
所以sinC cosC
=()C 0,π∈C 4π∴= 故选C.
4.B
因为cos cos 2cos ,sin 0a B b A c C C +=≠,所以sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=, sin()2sin cos A B C C +=,sin 2sin cos C C C =,1cos 2
C =, 0C π<<,3C π∴=
.
故选:B.
5.D 因为222
b a
c ac =++,所以2221cos 22c a b B ac +-==-,120B =︒,
所以sin sin sin sin(60)A C A A +=+︒-31sin cos sin sin 1223A A A A π⎛⎫=+-=+= ⎪⎝⎭. 又03A π<<
,所以6A C π==,则ABC ∆的形状为最大角为钝角的等腰三角形. 故选D 6.D 由已知22221cos 22cos cos cos 1cos 22cos cos cos C C C b C B B B c B
+===+,cos cos C b B c ∴=或cos 0cos C B =,即90C =或cos cos C b B c =,由正弦定理,得cos cos ,cos cos b B C sinB c C B sinC
=∴=,即sin cos sin cos C C B B =,即22sin C sin B =,,B C 均为ABC ∆的内角,22C B ∴=或22180,C B B C ==∴=或90B C +=,ABC ∆∴为等腰三角形或直角三角形,故选D.
7.C
如下图所示,不妨设1BC CD ==,则2AB =,过点D 作DE AB ⊥,垂足为点D ,
易知四边形BCDE 是正方形,则1BE CD ==,1AE AB BE ∴=-=,
在Rt ADE ∆中,222AD AE DE =+=,同理可得225AC AB BC =+=,
在ACD ∆中,由余弦定理得2222521310cos 210252
AC AD CD DAC AC AD +-+-∠===⋅⨯⨯, 故选C .
8.4π.
解:因为cos cos 2cos ,b A a B c B +=
由正弦定理sin sin sin a b c A B C
==可得:sin cos sin cos 2sin cos ,B A A B C B += 即sin()2sin cos ,A B C B +=即 sin 2sin cos ,C C B =又sin 0C >,
即1cos 2B =,又()0,B π∈,所以3sin B =,设ABC 外接圆的半径为R ,
则24sin 2
b R B === ,即2R =,则ABC 外接圆的面积为2224R πππ=⨯=, 故答案为:4π.
9.512
π 因为1sin 2S ac B =,又()2214S a c =+,所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=,由余弦定理得2222cos a c b ac B +=+
所以22sin 2cos ac B b ac B =+
由2sin sin B A C =
结合正弦定理,得2b =
所以2sin 2cos ac B ac B =+
)sin cos 1B B -=,所以1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭, 因为()0,B π∈,所以得46B ππ-
=,或546B ππ-=(舍去),所以512B π∠=. 故答案为:
512π 10.8 解:1cos 7C =
,sin C ∴=
1sin 2S ab C == 可得35ab =①,2b a -=②由①②解得:7b =,5a = 余弦定理:222
1cos 72a b c C ab
+-== 解得:8c =
故答案为:8.
11.(1)3C π
=(2
)5
试题解析:(1)由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=
12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=
⇒= (2
)11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=
⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=
2213a b ∴+=,2()255a b a b ∴+=⇒+=
ABC ∆∴的周长为57+
12.21;(2)9
104.
(1)当3BAC π
∠=时,在ABC ∆中,由余弦定理得
2222cos AB AC AB AC BAC BC +-⋅⋅∠=, 设AC x =(0x >),则221
22252x x +-⨯⋅⋅=,
即2210x x --=,解得21x =, 所以21AC =;
(2)ABC ∆的面积为5sin ABC S B ∆=, 在ABC ∆中,由余弦定理得2945AC B =-, 所以,ACD ∆的面积为219
544ACD S AC B ∆==,
所以,四边形ABCD 的面积为 9
9
5510444S B B B π⎛⎫
=-=+- ⎪⎝⎭,
因为()0,B π∈,所以当34B π
=时,四边形ABCD 的面积最大, 最大值为9
104。