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2019全国初中数学竞赛(河南赛区)预赛试题及参考解析

2019全国初中数学竞赛(河南赛区)预赛试题及参考解析注意事项:1. 答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B 铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

【一】选择题〔共6小题,每题6分,共36分.以下每道小题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的代号字母填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分〕1、在1,3,6,9四个数中,完全平方数、奇数、质数的个数分别是【】 〔A 〕2,3,1〔B 〕2,2,1〔C 〕1,2,1〔D 〕2,3,2 【答】A 、解:完全平方数有1,9;奇数有1,3,9;质数有3、2、一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过【一】【二】三象限,那么以下判断正确的选项是【】〔A 〕1m >-〔B 〕1m <-〔C 〕1m >〔D 〕1m < 【答】C 、解:一次函数(1)(1)y m x m =++-的图象经过【一】【二】三象限,说明其图象与Y 轴的交点位于Y 轴的正半轴,且Y 随X 的增大而增大,所以10,10.m m ->⎧⎨+>⎩解得1m >、3、如图,在⊙O 中,CD DA AB ==,给出以下三个 结论:〔1〕DC =AB ;〔2〕AO ⊥BD ;〔3〕当∠BDC =30° 时,∠DAB =80°、其中正确的个数是【】 〔A 〕0〔B 〕1 〔C 〕2〔D 〕3 【答】D 、解:因为CD AB =,所以DC =AB ;因为AD AB =,AO 是半径,所以AO ⊥BD ;设∠DAB =X 度,那么由△DAB 的内角和为180°得:2(30)180x x -︒+=︒,解得80x =︒、 4.有4张全新的扑克牌,其中黑桃、红桃各2张,它们的背面都一样,将它们洗匀后,背面朝上放到桌面上,从中任意摸出2张牌,摸出的花色不一样的概率是【】〔A 〕34〔B 〕23〔C 〕13〔D 〕21第3题图【答】B 、解:从4张牌中任意摸出2张牌有6种可能,摸出的2张牌花色不一样的有4种可能,所以摸出花色不一样的概率是3264=. 5、在平面直角坐标系中,点A 的坐标是(1,0),点B 的坐标是(3,3)--,点C 是Y 轴上一动点,要使△ABC 为等腰三角形,那么符合要求的点C 的位置共有【】〔A 〕2个〔B 〕3个〔C 〕4个〔D 〕5个 【答】D 、解:由题意可求出AB =5,如图,以点A 为圆心AB的长为半径画弧,交Y 轴于C1和C2,利用勾股定理可求出OC1=OC2=,可得62,0(),62,0(21-C C 以点B 为圆心BA 的长为半径画弧,交Y 轴于点C3和C4,可得34(0,1),(0,7)C C -,AB 的中垂线交Y 轴于点C5,利用三角形相似或一次函数的知识可求出)617,0(5-C 、6、二次函数221y x bx =++〔b 为常数〕,当b 取不同的值时,其图象构成一个“抛物线系”,图中的实线型抛物线分别是B 取三个不同的值时二次函数的图象,它们的顶点在一条抛物线上〔图中虚线型抛物线〕,这条抛物线的解析式是【】〔A 〕221y x =-+〔B 〕2112y x =-+ 〔C 〕241y x =-+〔D 〕2114y x =-+【答】A 、解:221y x bx =++的顶点坐标是⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--88,42b b ,设4b x -=,882b y -=,由4b x -=得x b 4-=,所以222218)4(888x x b y -=--=-=、【二】填空题〔共6小题,每题6分,共36分〕7、假设2=-n m ,那么124222-+-n mn m 的值为、【答】7、解:71221)(212422222=-⨯=--=-+-n m n mn m 、 yxO第6题图第5题图8、方程112(1)(2)(2)(3)3x x x x +=++++的解是、【答】120,4x x ==-、解:11(1)(2)(2)(3)x x x x +++++11111223x x x x =-+-++++ 11213(1)(3)x x x x =-=++++.∴22(1)(3)3x x =++,解得120,4x x ==-.9、如图,在平面直角坐标系中,点B 的坐标是〔1,0〕, 假设点A 的坐标为〔A ,B 〕,将线段BA 绕点B 顺时针旋转 90°得到线段BA ',那么点A '的坐标是、 【答】(1,1)b a +-+、解:分别过点A 、A '作X 轴的垂线,垂足分别 为C 、D 、显然RT △ABC ≌RT △B A 'D 、由于点A 的坐标是(,)a b ,所以OD OB BD =+1OB AC b =+=+,1A D BC a '==-,所以点的A '坐标是(1,1)b a +-+、10、如图,矩形ABCD 中,AD =2,AB =3,AM =1,DE 是以点A 为圆心2为半径的41圆弧,NB 是以点M 为圆心2为半径的41圆弧,那么图中两段弧之间的阴影部分的面积为、【答】2、解:连接MN ,显然将扇形AED 向右平移可与扇形MBN 重合,图中阴影部分的面积等于矩形AMND 的面积,等于221=⨯、11、α、β是方程2210x x +-=的两根,那么3510αβ++的值为、【答】2-、解:∵α是方程2210x x +-=的根,∴212αα=-、第10题图 第9题图∴322(12)22(12)52αααααααααα=⋅=-=-=--=-, 又∵2,αβ+=-∴3510(52)5105()8αβαβαβ++=-++=++=5(2)82⨯-+=-、12、现有145颗棒棒糖,分给假设干小朋友,不管怎样分,都至少有1个小朋友分到5颗或5颗以上,这些小朋友的人数最多有个、【答】36、 解:利用抽屉原理分析,设最多有X 个小朋友,这相当于X 个抽屉,问题变为把145颗糖放进X 个抽屉,至少有1个抽屉放了5颗或5颗以上,那么41x +≤145,解得x ≤36,所以小朋友的人数最多有36个、【三】解答题〔第13题15分,第14题15分,第15题18分,共48分〕13、王亮的爷爷今年〔2018年〕80周岁了,今年王亮的年龄恰好是他出生年份的各位数字之和,问王亮今年可能是多少周岁?解:设王亮出生年份的十位数字为x ,个位数字为y 〔X 、Y 均为0~9的整数〕、∵王亮的爷爷今年80周岁了,∴王亮出生年份可能在2000年后,也可能是2000年前、故应分两种情况:…………………2分〔1〕假设王亮出生年份为2000年后,那么王亮的出生年份为200010x y ++,依题意,得2012(200010)20x y x y -++=+++,整理,得1011,2xy -=X 、Y 均为0~9的整数,∴0.x =此时 5.y =∴王亮的出生年份是2005年,今年7周岁、…………………8分〔2〕假设王亮出生年份在2000年前,那么王亮的出生年份为190010x y ++,依题意,得2012(190010)19x y x y -++=+++,整理,得111022x y =-,故X 为偶数,又1021110211,09,22x xy --=≤≤∴779,11x ≤≤∴8.x =此时7.y = ∴王亮的出生年份是1987年,今年25周岁、…………………14分 综上,王亮今年可能是7周岁,也可能是25周岁、……………15分14、如图,在平面直角坐标系中,直角梯形OABC 的顶点A 、B 的坐标分别是(5,0)、(3,2),点D在线段OA上,BD=BA,点Q是线段BD上一个动点,点P的坐标是(0,3),设直线PQ的解析式为y kx b =+、〔1〕求K的取值范围;〔2〕当K为取值范围内的最大整数时,假设抛物线25y ax ax=-的顶点在直线PQ、OA、AB、BC围成的四边形内部,求A的取值范围、解:〔1〕直线y kx b=+经过P(0,3),∴3b=、∵B (3,2),A(5,0),BD=BA,∴点D的坐标是(1,0),∴BD的解析式是1y x=-,1 3.x≤≤依题意,得1,3.y xy kx=-⎧⎨=+⎩,∴4,1xk=-∴41 3.1k-≤≤解得13.3k--≤≤……………………………………………7分〔2〕13,3k--≤≤且K为最大整数,∴1k=-.那么直线PQ的解析式为3y x=-+.……………………………………………9分又因为抛物线25y ax ax=-的顶点坐标是525,24a⎛⎫-⎪⎝⎭,对称轴为52x=、解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=.25,3xxy得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25yx即直线PQ与对称轴为52x=的交点坐标为51(,)22,∴125224a<-<、解得822525a-<<-、……………………………………15分15.如图,扇形OMN的半径为1,圆心角是90°、点B是MN上一动点,BA⊥OM于点A,BC⊥ON于点C,点D、E、F、G分别是线段OA、AB、BC、CO的中点,GF与CE相交于点P,DE与AG相交于点Q、〔1〕求证:四边形EPGQ是平行四边形;〔2〕探索当OA的长为何值时,四边形EPGQ是矩形;〔3〕连结PQ,试说明223PQ OA+是定值、解:〔1〕证明:如图①,∵∠AOC =90°,BA ⊥OM ,BC ⊥ON , ∴四边形OABC 是矩形、 ∴OC AB OC AB =,//、 ∵E 、G 分别是AB 、CO 的中点, ∴.,//GC AE GC AE = ∴四边形AECG 为平行四边形.∴.//AG CE ……………………………4分连接OB ,∵点D 、E 、F 、G 分别是线段OA 、AB 、BC 、CO 的中点, ∴GF ∥OB ,DE ∥OB ,∴PG ∥EQ ,∴四边形EPGQ 是平行四边形、………………………………………………6分 〔2〕如图②,当∠CED =90°时,□EPGQ 是矩形、 此时∠AED +∠CEB =90°、又∵∠DAE =∠EBC =90°,∴∠AED =∠BCE 、∴△AED ∽△BCE 、………………………………8分 ∴AD AEBE BC =、设OA =X ,AB =Y ,那么2x ∶2y =2y∶x ,得222y x =、 (10)分 又222OA AB OB +=,即2221x y +=、∴2221x x +=,解得3x =、∴当OA的长为3时,四边形EPGQ 是矩形、………………………………12分〔3〕如图③,连结GE 交PQ 于O ',那么.,E O G O Q O P O '=''='、过点P 作OC 的平行线分别交BC 、GE 于点B '、A '、由△PCF ∽△PEG 得,2,1PG PE GE PF PC FC === ∴PA '=23A B ''=13AB ,GA '=13GE =13OA ,∴1126A O GE GA OA'''=-=、AB CO D EF GP QMN 图②AB COD E F G PQ MN图①B'N M A'QP O'GF E DC BAO图③在RT △PA O ''中,222PO PA A O ''''=+,即2224936PQ AB OA =+,又221AB OA +=, ∴22133PQ AB =+,∴2222143()33OA PQ OA AB +=++=、……………………………………18分。

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