R.Riemann（1826~1866）才进一步发展了Gauss的内在几 何学，1854年他在哥丁根大学就职演讲中深刻地揭示了空间 与几何两者之间的差别。Riemann将曲面本身看成一个独立 的几何实体，而不是仅仅把它看作欧氏空间中的一个几何实 体，从而他认识到二次微分形式（现称为黎曼测度）是加到 流形上去的一个结构，因此在同一流形上可以有众多的黎曼 测度。Riemann意识到这件事是非凡的重要，把诱导测度与 外加的黎曼测度两者区分开来，从而开创了黎曼几何，作出 了杰出的贡献。其后，Levi-Civita等人进一步丰富了经典的
天衣岂无缝，匠心剪接成。 浑然归一体，广邃妙绝伦。 造化爱几何，四力纤维能。 千古寸心事，欧高黎嘉陈。

微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线或 曲面在它一点邻域的性质，换句话说，微分几 何是研究一般的曲线和曲面在“小范围”上的 性质的数学分支学科。 。


Euler（瑞士,1707-1783）：1736年首先引进 了平面曲线的内在坐标这一概念，即以曲线弧 长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始 了曲线的内在几何的研究。将曲率描述为某一 特殊角的变化率也是Euler的工作。他在曲面 论方面也有重要贡献，特别值得一提的是他在 测地线方面的一些工作，最早把测地线描述为 某些微分方程组的解。

G. Monge（法国,1746-1818）：在筑城垒这 个实际问题的推动下，他1771年开始写了关 于空间曲线论的论文，发表于1785年，他用 的是几何方法，并反映了他对偏微分方程的 兴 趣。Monge写了第一本微分几何课本《分析 在 几何学上的应用》 ，这是微分几何最早 的 一 本著作。1807年出版，这课本共印了五 版，一直发行到Monge逝世后三十年，足见 该
由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的 建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中 得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特 色、应用广泛的独立学科。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广 泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机 械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微 分几何学的理论。

F.Frenet(1816~1868)与J.Serret(1819~1885) 分别于1847年和1851年独立地得出现在通称 的Frenet-Serret方程（或Frenet方程）后，空 间曲线论才最后统一起来。

高斯（德国，1777-1855，）：1827年，发表了 《关于曲面的一般研究》的著作，这在微分几何 的历史上有重大的意义，它的理论奠定了现代形 式曲面论的基础。 微分几何发展经历了150年之后，高斯抓住了微 分几何中最重要的概念和带根本性的内容，建立 了曲面的内在几何学。其主要思想是强调了曲面 上只依赖于第一基本形式的一些性质，例如曲面 上曲面的长度、两条曲线的夹角、曲面上的一区 域的面积、测地线、测地线曲率和总曲率等等。 他的理论奠定了近代形式曲面论的基础。


从局部微分几何到黎曼几何、微分流形与纤维 从理论的发展过程可以看到，除了微分几何本 身研究中所产生的研究问题外，其他数学学科 及物理学、力学等也推动了微分几何的发展。


微分几何学以光滑曲线(曲面)作为研究对象，所以整个微分 几何学是由曲线的弧线长、曲线上一点的切线等概念展开 的。既然微分几何是研究一般曲线和一般曲面的有关性质， 则平面曲线在一点的曲率和空间的曲线在一点的曲率等， 就是微分几何中重要的讨论内容，而要计算曲线或曲面上 每一点的曲率就要用到微分的方法。 在曲面上有两条重要概念，就是曲面上的距离和角。比如， 在曲面上由一点到另一点的路径是无数的，但这两点间最 短的路径只有一条，叫做从一点到另一点的测地线。在微 分几何里，要讨论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的 一条测地线，还要讨论测地线的性质等。另外，讨论曲面 在每一点的曲率也是微分几何的重要内容。
在微分几何中，为了讨论任意曲线上每一点邻域 的性质，常常用所谓“活动标形的方法”。对任意 曲线的“小范围”性质的研究，还可以用拓扑变换 把这条曲线“转化”成初等曲线进行研究。 在微分几何中，由于运用数学分析的理论，就可 以在无限小的范围内略去高阶无穷小，一些复杂 的依赖关系可以变成线性的，不均匀的过程也可 以变成均匀的，这些都是微分几何特有的研究方 法。

在线性理论中，一个突出的成果是Atiyah和 Singer的指标定理：紧致微分流形上的一个线性 椭圆算子的零空间的维数与象空间的维数都是有 限数，其差称为指标，这个定理指出，这种指标 可以表示为和流形（或纤维丛）及椭圆算子有关 的拓扑不变量，而过去的黎曼-罗赫定理，希策布 鲁赫的指标定理等都是它的特殊情形。 这个定理对于确定杨-米尔斯方程的解的存在性和 其自由度，起了重要作用。此外，流形上的拉普 拉斯算子的特征值的研究也是一个重要方面。


近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲 面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、 拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系， 这些数学分支和微分几何互相渗透，已成为现 代数学的中心问题之一。
微分方程：达布的《曲面论》一书就包含了丰 富的古典微分方程的内容。é.嘉当和凯勒所发 展的外微分方程理论，对于解析函数领域的一 大类局部微分几何问题，给出了一般的有效的 方法。 整体微分几何的发展，需要运用更深入的，现 代化的分析工具，特别是偏微分方程理论以及 与之有关的非线性分析。
黎曼几何。

克莱因（德国）：1872年在德国埃尔朗根大 学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》， 用变换群对已有的几何学进行了分类。 在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内，它 成了几何学的指导原理，推动了几何学的发展， 导致了射影微分几何、仿射微分几何、共形微 分几何的建立。




射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906 年起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起 又经以富比尼为首的意大利学派所发展。 二十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了外微分形式与 活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联系，从而为微 分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极 为深远。陈省身将Cartan的方法发扬光大，他关于纤维丛 和示性类的理论，建立了微分几何与拓扑的联系，是一个光 辉的里程碑。 20世纪30年代起中国苏步青及其学生们以及苏联С.∏.菲尼 科夫等进一步发展了射影微分几何。