过程动态数学模型的用途大体可分为两个方面：
一是用于各类自动控制系统的分析和设计； 二是用于工艺设计以及操作条件的分析和确定。
被控过程数学模型的应用与要求
被控过程数学模型的类型
非参量形式 用曲线或数据表格表示，如阶跃响
应曲线、脉冲响应曲线和频率特性曲线 参量形式
用数学方程来表示，如：微分方程、 传递函数、差分方程、状态空间表达式 等。
G1,C,θ1i
G2,C2,θ2i
G2,C2,θ2o
G1,C1,θ1o
图 2-1 无相变的换热器
2.1.1机理建模（续）
原始的基本方程式是热量平衡式（热损失忽略不计）和传热速率式，
分别是：
Q=G1C1(θ1o-θ1i) =G2C2(θ2i-θ2o) （2-1）
Q=KF(θ2i+θ2o-θ1i -θ1o)/2
解析法建模的一般步骤：
1.明确过程的输出变量、输入变量和 其他中间变量。
2.依据过程的内在机理和有关定理、 定律以及公式列写静态方程或动态方 程。
3.消去中间变量，求取输入、输出变 量的关系方程。
4.将其简化成控制要求的某种形式。
2.2.1 动态数学模型的作用和要求
过程的动态数学模型，是表示输出向量（或变 量）与输入向量（或变量）间动态关系的数学 描述。从控制系统的角度来看，操纵变量和扰 动变量都属于输入变量，被控变量属于输出变 量。
2）如不经过输入/输出数据的验证，则近乎之纸上谈兵， 难以判断其正确性。
经验模型的优点和弱点与机理模型正好相反，特别是现 场测试，实施中有一定难处。
2.2工业过程动态数学模型概论
过程的动态数学模型，对控制系统的设计和分 析有着极为重要的意义。
求取过程动态数学模型有两类途径：
一是依据过程内在机理来推导，这就是过程动态学 的方法；
多级过程------控制过程有多个控制步， （相当与离散系统）
例：单输入—单输出的过程模型数学模型
线性时间连续模型(可用微分方程或传递函数表 示)
串接液位贮槽的数学模型
线性时间离散模型(可用差分方程或脉冲传递 函数表示)
2.3 工业过程动态机理模型
2.3.1 动态数学模型的一般列写方法

y a11u1 a12u1u2 a22u22
可改写成
机理建模也有两个弱点：
1）对于复杂的过程，人们对基本方程的某些参数不完全 掌握，例如，换热器的K值，由传热学书籍提供的公式可 能有±（10%-30%）的误差。又如，精馏塔这样已经研 究得比较透彻的设备，对塔板效率、塔板流体中的汽液 比值等参数，很难预先精确估计。
例如，各种加热炉、锅炉、贮罐、化学反应器等。
2.数学模型: 指过程在各输入量的作用下，其相应输出量变化
的函数关系数学表达式。(或者说是反映被控过程 的输出量与输入量之间关系的数学描述。
3.过程通道: 输入量与输出量间的信号联系。
4.扰动通道: 扰动作用与被控量间的信号联系。
5.控制通道：控制作用与被控量间的信号联系
二是依据外部输入输出数据来求取，这就是过程辨 识和参数估计的方法。
当然，也可以把两者结合起来。
静态物料(或能量)平衡关系-----单位时间内进入被控过程的物料(或能 量)等于单位时间内从被控过程流出的物料(或能量)。 动态物料(或能量)平衡关系-----单位时间内进入被控过程的物料(或能 量)减去单位时间内从被控过程流出的物料(或能量)等于被控过程内物 料(或能量)贮存量的变化率。
对线性系统来说，设

y=a0+a1u1+a2u2+…+amum
由于已有很多组 y 与 (u1，u2，…，um）的数据，要设
法求取各系数 a0，a1， …，am 。不难看出，要求解这些ai
值，至少需要（m+1)组数据。因为每组测量值都含有若
干误差，所以为了提高模型的精确度，数据的组数应该多
在建立过程动态数学模型时，输出变量y与输入变量u可 用三种不同形式，即可绝对值Y和U表示，用增量⊿Y和 ⊿U表示，用无因次形式的y和u表示。
在控制理论中，增量形式得到广泛的应用。它 不仅便于把原来非线性的系统线性化，而且通 过坐标的移动，把工作点作为原点，使输出输 入关系更加清晰，且便于运算；另外，在控制 理论中普遍应用的传递函数，就是在初始条件 为零的条件下定义的，采用增量形式可以方便 地求得传递函数。
得多。线性回归通常采用最小二乘法，其目标是使目标函
数
J=∑（y-a0-a1u1-…）2为最小。 有时候，是否所有这些自变量都对y起作用，难以肯定，
此时可以用数学方法检验各个自变量对y影响的显著性，也 可以把某个或某些系数ai置0，从结果进行比较。
回归的结果能否另人满意，可以衡量数据的拟合误差，也可以 用一些数理统计方法，如F检验和复相关系数分析等。
《过程控制系统》
引言
在过程控制系统的分析和设计中，过程的数学模型是极其 重要的基础资料。
一个过程控制系统的优劣，主要取决于对生产工艺过程的 了解和建立过程的数学模型。
一. 研究并建立数学模型的目的
1.设计过程控制系统和整定调节器参数。 前馈控制 最优控制 参数整定
2.进行仿真试验研究。 计算机计算 分析 节省成本 加快进度
6.扰动:内扰动--调节器的输出量q(t)；对质量指标起决定作用
外扰动--其余非控制的输入量；
也有很大影响
重要概念
第2章工业过程数学模型
过程特性的数学描述称为过程的数学模型。
在控制系统的分析和设计中，过程的数学模型 是极为重要的基础资料。
过程的特性可从稳态和动态两方面来考察，前 者指的是过程在输入和输出变量达到平稳状态 下的行为，后者指的是输出变量和状态变量在 输入影响下的变化过程的情况。可以认为，动 态特性是在稳态特性基础上的发展，稳态特性 是动态特性达到平稳状态的特例。
这一过程的输出变量是 和 ，而输入变量有3个， 即输入变量 ，贮槽Ⅰ的流出阀开度和贮槽Ⅱ的流 出阀开度。
在上式中， 是输出变量 和 及贮槽Ⅰ流出阀开度 的函数。作为最初步近似，可以认为
与（（ ）成正比，与流出阀阻力 (它取决于流 出阀的开度）成反比。如 取合适单位，可以认为
类似的， 是输出变量 数（其阻力为 ）。
模型的建立途径可分机理建模与实验测试两大 类，也可将两者结合起来。
机理建模也有两个弱点：
1）对于复杂的过程，人们对基本方程的某些参数不完全 掌握，例如，换热器的K值，由传热学书籍提供的公式可 能有±（10%-30%）的误差。又如，精馏塔这样已经研 究得比较透彻的设备，对塔板效率、塔板流体中的汽液 比值等参数，很难预先精确估计。
间变量，如有的话，也须消去。
2.1.2经验模型
进行测试。理论上有很多实验设计方法，如正交设计等。在实施 上可能会遇到选取变化区域困难。有一种解决办法是吸收调优操 作的经验，即逐步向更好的操作点移动，这样有可能一举两得， 既扩大了测试的区间，又改进了工艺操作。测试中要确定稳态是 否真正建立 。
把数据进行回归分析或神经网络建模。
自衡过程
Q0
泵 Q1 无自衡过程
单容对象建模
介质经过阀门1不断流入储槽储，槽内的介质通过 阀门2不断流出,储槽的截面积为A。工艺上要 求储槽内的液位h保持一定数值。如果阀门2 的开度不变，阀门1的开度变化就会引起液位
的波动。这时对象的输入变量是Qi，输出变量 是液位h。
以下研究所示对象
的动特性，设各量
从机理出发，用理论的方法得到过程动态数学模 型，其主要依据是物料平衡和能量平衡关系式 ：
单位时间内进入系统的物料量（或能量）-单位时间内 由系统流出的物料量（或能量）=系统内物料（或能量） 蓄藏量的变化率
为了找到输出变量y与输入变量u之间的关系，必须设法 消除原始微分方程中的中间变量，常常要用到相平衡关 系式，用到传热、传质及化学反应速率关系式等。
（2-2）
（为了简化，采用算术平均值）
式中Q为单位时间传热量，K为传热系数，F为传热面积，G1和G2是 流体1和2的质量流量，C1和C2为相应的热容，θ 为温度，下标1、 2表示流体1和2，i和o表示流入和流出。
这里有四个输入变量，即G1、G2、θ 1i和θ 2i，两个输出变量，即 θ 1o和θ 2o。如果θ 1o是被控温度，是需要研究的输出变量，则为 了考察各个输入变量对它的影响，须把式（2-1）和（2-2）联立 求解，为此，须把另一个输出变量θ 2o消去。在本例中没有什么中
这里又分两类:
一是求输入变量作小范围变化的影响，通常采 用增量化处理方法；
二是求输入变量作大范围变化时的影响，这通 常需要逐步求解，如采用数值方法或试差方法， 则与仿真求解无甚区别了。
2.1.1机理建模（续）
现以两侧流体都不起相变化的换热器（见图2-1）作 为例子，讨论输入变量作小范围变化的情况。
自衡过程：在扰动作用下，平衡状态被 破坏后，无需人员操作或者仪表的干预，
o
(a)
y(t)
t
依靠自身能力能够达到新的平衡的过程。
（a）(b)
无自衡过程：被控过程在扰动的作用下，
o
(b)
t
其平衡状态被破坏后，若无人员操作或
y(t)
者仪表干预，依靠自身的能力不能重新
恢复平衡的过程。（c）
o
(c)
t
Q0
Q1
定义如下： Qi 输入水流量 Qi0 输入稳态水流量 △ Qi输入水流量对 它的稳态值的微小增量； Qo 输出水流量 Qo0 输出稳态水流量 △ Qo输出水流量对 它的稳态值的微小增量； h为稳态水位: △ h 水位对它稳态值的微小增量 A水槽横断面积
2.3.2 串接液位贮槽的数学模型