2012年兰州一中实验班招生试题数 学满分150分，时间120分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．相交两圆的公共弦长为6,两圆的半径分别为32和5,则这两圆的圆心距等于( ) A.2 B.7 C.2或6 D.1或72．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C =90o ，AC =6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA =51，则AD 的长为( ) A . 2 B .3 C .2 D .13．已知n m ,是方程0122=--x x 的两根，且8)763)(147(22=--+-n n a m m ，则a的值等于（ ）A ．－5B .5C . －9D .94．如图，已知正方形ABCD 的边长为4 ，E 是BC 边上的一个动点，AE ⊥EF ， EF 交DC 于F , 设BE=x ，FC=y ，则当点E 从点B 运动到点C 时,y 关于x 的函数图象是( )．5．若实数x ,y 满足224250,x y x y +--+=则32x y y x+- 的值是（ ）A ．1B ．322+ C ．3－22 D ．3 +226．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数ac bx y -=与反比例函数x cb a y +-=在同一坐标系内的图象大致为（ ）7．小明从家骑车上学，先上坡到达A 地后再下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示．如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是（ ） A.8.6分钟 B.9分钟 C.12分钟 D.16分钟8．方程x 2+2x －1=0的根可看成函数y =x +2与函数1y x=的图象交点的横坐标，用此方法可推断方程x 3+x －1=0的实根x 所在范围为（ ）A ． 102x -<< B ．112x << C ．102x << D ．312x << 二、填空题（把答案填在题中的横线上.6小题,每小题6分,共36分）9．某书店把一本新书按标价的九折出售，仍可获利20%．若该书的进价为21元，则标价为 元．10．已知Rt ΔABC 中，斜边BC 上的高AD=4，cosB=54，则AC= _______ ． 11．某厂第一季度共生产钢190吨,二、三月份共生产钢150吨,则平均每月的增长率是________.12．如图，AB 与CD 相交于E ，DA ∥EF ∥BC,且AE:EB=1:2，△ADE 的面积为1，则△AEF 的面积是_________.13．如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是_____________.y xO B.y xO A.y xO C.y xO D.1- 1O xy第6题图120°121214.将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是___________cm.答案一、选择题1.D2.A3.C4.A5.D6.B7.C8.B 二、填空题9. 28 10. 5 11. 50% 12.23 13. 1314. 1 三、解答题（解答时,必须写出必要的解题步骤.6小题,共74分）15. （本题满分12分）已知关于x 的方程014)3(222=--+--k k x k x ．（1）若这个方程有实数根，求k 的取值范围；（2）若这个方程有一个根为1，求k 的值；（3）若以方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数xmy =的图象上，求满足条件的m 的最小值． 解: （1）由题意得△＝()[]()1443222--⨯---k k k ≥0化简得 102+-k ≥0，解得k ≤5．…………….4分（2）将1代入方程，整理得2660k k -+=，解这个方程得 13k =，23k =…………….8分（3）设方程014)3(222=--+--k k x k x 的两个根为1x ，2x ，根据题意得12m x x =．又由一元二次方程根与系数的关系得21241x x k k =--，那么()521422--=--=k k k m ，所以，当k ＝2时m 取得最小值－5……….12分16.（本题满分12分）保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动．某化工厂2011年1 月的利润为200万元．设2011年1 月为第1个月，第x 个月的利润为y 万元．由于排污超标，该厂决定从2011年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y 与x 成反比例．到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）．⑴分别求该化工厂治污期间及治污改造工程完工后y 与x 之间对应的函数关系式． ⑵治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2011年1月的水平？ ⑶当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？解：⑴①当1≤x ≤5时，设ky x=，把（1，200）代入，得200k =，即200y x=；…………….2分 ②当5x =时，40y =，所以当x ＞5时，4020(5)2060y x x =+-=-；…………….4分⑵当y =200时，20x -60=200，x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元；…………….8分 ⑶对于200y x=，当y =100时，x =2；对于y =20x -60，当y =100时，x =8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月．…………….12分17．（本题满分12分）数学家高斯在读小学二年级时老师出了这样一道计算题:1+2+3+4+5+…+99+100=?高斯很快得出了答案,他的计算方法是:1+2+3+4+5+…+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(49+52)+(50+51)=50 × 101=5050(1) 请你利用上述方法或用其它的方法求s=1+3+5+7+…+[2(n–1)–1]+(2n –1)的计算公式;(2)如图,第二个图形是由第一个图形中的三角形连结三边中点而得到的,第三个图形是由第二个图形中的中间三角形连结三边中点而得到的,依次类推……分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形的三角形的个数,由此推测出第n 个图形中三角形的个数,并求出第一个图形到第n 个图形的三角形个数之和.解:(1)s=n 2. …………….6分(2)第二个图形中三角形的个数5; …………….7分 第三个图形中三角形的个数9; …………….8分 第四个图形中三角形的个数13; …………….9分 第n 个图形中三角形的个数4n –3; ……………10分第一个图形到与第n 个图形的三角形个数之和为2n 2–n. …………….12分① ② ③ ……第17题图18．（本题满分12分）（1）如图,A 、B 两个化工厂位于一段直线形河堤的同侧，A 工厂到河堤的距离AC 为1km ，B 工厂到河堤的距离BD 为2km ，经测量河堤上C 、D 两地间的距离为6km ．现准备在河堤边修建一个污水处理厂，为使A 、B 两厂到污水处理厂的排污管道最短，污水处理厂应建在距C 地多远的地方？（2）通过以上解答，充分展开联想，运用数形结合思想构造图形，尝试解决下面问题：若221(9)4y x x =++-+ ，当x 为何值时，y 的值最小，并求出这个最小值．解：（1）延长AC 到E ，使CE=AC ，连接EB 交CD 于点P ，则点P 就是污水处理厂所在的地方（画出图形）．设CP=x ，则DP=6-x ，由点A 与点E 的对称性可知∠APC=∠EPC ， 又由对顶角相等可知∠BPD=∠EPC ， ∴∠APC=∠BPD ，又∵∠ACP=∠BDP=90°， ∴△ACP ∽△BDP ，∴AC CPBD DP =∴126x x=-， 解得x=2，所以，污水厂应建在距离C 地2km 处；…………6分 （2）仿照（1）中建立图形，使AC=1，CD=9，BD=2，设CP=x ， 则221(9)4y x x =+-+中的21x +即是图中的AP 2(9)4x -+即是图中的BP ．所以221(9)4y x x =+-+AP+BP 的最小值，仿照（1）中找到点A 关于直线CD 的对称点E ，连接EB ，与CD 的交点就是所求的点P ． 由△ACP ∽△BDP ，得AC CPBD DP=∴129xx=-， 解得x=3， 所以当x=3时，221(9)4y x x =+-+最小值是2231(93)4310y =+-+= ．…………….12分19．（本题满分13分）如图，⊙O 的半径为1，点P 是⊙O 上一点，弦AB 垂直平分线段OP ，点D 是¼APB 上任一点（与端点A 、B 不重合），DE ⊥AB 于点E ，以点D 为圆心、DE 长为半径作⊙D ，分别过点A 、B 作⊙D 的切线，两条切线相交于点C ．（1）求弦AB 的长；（2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由；（3）记△ABC 的面积为S ，若2SDE＝43，求△ABC 的周长.解：（1）连接OA ，取OP 与AB 的交点为F ，则有OA ＝1．∵弦AB 垂直平分线段OP ，∴OF ＝12OP ＝12，AF ＝BF ． 在Rt △OAF 中，∵AF ＝22OA OF -＝2211()2-＝3，∴AB ＝2AF ＝3．…………….4分（2）∠ACB 是定值.理由：由（1）易知，∠AOB ＝120°，因为点D 为△ABC 的内心，所以，连结AD 、BD ，则∠CAB ＝2∠DAE ，∠CBA ＝2∠DBA ，因为∠DAE ＋∠DBA ＝12∠AOB ＝60°，所以∠CAB ＋∠CBA ＝120°，所以∠ACB ＝60°；…………….8分（3）记△ABC 的周长为l ，取AC ，BC 与⊙D 的切点分别为G ，H ，连接DG ，DC ，DH ，则有DG ＝DH ＝DE ，DG ⊥AC ，DH ⊥BC .∴ABD ACD BCD S S S S ∆∆∆=++＝12AB •DE ＋12BC •DH ＋12AC •DG ＝12(AB ＋BC ＋AC ) •DE ＝12l •DE ． ∵2S DE ＝43，∴212l DEDE g ＝43，∴l ＝83DE.∵CG ，CH 是⊙D 的切线，∴∠GCD ＝12∠ACB ＝30°， F C PD OBAEH G∴在Rt △CGD 中，CG ＝tan30DG o，∴CH ＝CG．又由切线长定理可知AG ＝AE ，BH ＝BE ， ∴l ＝AB ＋BC ＋AC ＝＝，解得DE ＝13，∴△ABC．…………….13分20．（本题满分13分）如图,设抛物线C 1:()512-+=x a y , C 2:()512+--=x a y ,C 1与C 2的交点为A , B ,点A 的坐标是)4,2(,点B 的横坐标是－2.（1）求a 的值及点B 的坐标；（2）点D 在线段AB 上,过D 作x 轴的垂线,垂足为点H ,在DH 的右侧作正三角形DHG . 记过C 2顶点Ｍ的直线为l ,且l 与x 轴交于点N .① 若l 过△DHG 的顶点G ,点D 的坐标为(1, 2)，求点N 的横坐标；② 若l 与△DHG 的边DG 相交,求点N 的横坐标的取值范围.解：（1）∵ 点A )4,2(在抛物线C 1上，∴ 把点A 坐标代入()512-+=x a y 得 a =1. …………….2分∴ 抛物线C 1的解析式为422-+=x x y ,设B (－2,b )， ∴ b ＝－4, ∴ B (－2,－4) . …………….4分（2）①如图1，∵ M (1, 5)，D (1, 2), 且DH ⊥x 轴，∴ 点M 在DH 上，MH =5. 过点G 作GE ⊥DH ,垂足为E, 由△DHG 是正三角形,可得EG=3, EH =1， ∴ ME ＝4. 设N ( x , 0 ), 则 NH ＝x －1,由△MEG ∽△MHN ,得HNEG MH ME =, ∴ 1354-=x , ∴ =x 1345+, ∴ 点N 的横坐标为1345+． …………….8分② 当点Ｄ移到与点A 重合时,如图2，直线l 与DG 交于点G ,此时点Ｎ的横坐标最大．过点Ｇ,Ｍ作x 轴的垂线,垂足分别为点Ｑ,F ,设Ｎ（x ，0），∵ A (2, 4), ∴ G (322+, 2),∴ NQ =322--x ，ＮF =1-x , GQ =2, MF =5.∵ △NGQ ∽△NMF ，∴ MFGQ NF NQ =, 图1 图2∴ 521322=---x x , ∴ 38310+=x . …………….10分 当点D 移到与点B 重合时,如图3，直线l 与DG 交于点D ,即点B ,此时点N 的横坐标最小.∵ B (－2, －4), ∴ H (－2, 0), D (－2, －4),设N （x ，0），∵ △BHN ∽△MFN ， ∴MFBH FN NH =， ∴ 5412=-+x x , ∴ 32-=x . ……12分 ∴ 点N 横坐标的范围为 32-≤x ≤38310+. …13分图3 图4。