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大学文科数学_张国楚_集合、实数、极限


例 5 求: lim
x →
解:原式 = lim (2 x + 1) = 2
x→ 1 2
1 2
4 x 2 − 1 2 x − 1
例 6 .求: lim
n→ ∞
2n3 + n + 1 . 3 3n − 1
1 1 2+ 2 + 3 lim n n 2 解:原式 = n→∞ = 1 3 3 − 3 lim n n →∞
o o x → x0
数,则在点x0的某一去心邻域内,函数值f ( x )也
f ( x ) > 0(< 0).
证明:由于f (x ) → A > 0, ( x → x0 ), 所以由“ε − δ ” 定义可知,若限定任意正数ε = A, 则存在相应的δ, 即0 = A − A < f (x ) < A + A成立,不等式的左半部分 正是所要证明的。 < f 使得当0 < x − x0 < δ 时, ( x ) − A A(= ε )恒成立,
2.无穷小量的性质 有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量。 有界变量与无穷小量的乘积是无穷小量。 无穷小量与无穷小量的乘积仍是无穷小量。 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。 无穷小量(0除外)的倒数是无穷大量。 无穷大量的倒数是无穷小量。
3.无穷小量阶的比较 如果在某个极限过程中两个无穷小量α与 β之比的极限是非零常数,表明这两个无 穷小量趋近于0的速度处于同一个级别, 则称α与β是同阶无穷小;特别地,当这 个常数等于1时,则称α与β是等价无穷小; 1 α β 如果这个常数是0,则α是较β高阶的无穷 小;如果比值趋于无穷,则α是较β低阶 的无穷小。
1.数列极限的定性描述
无穷小量:以零为极限的变量称为无穷 1 小量。 n 就是n → ∞时的无穷小量。 2 绝对值无限变大的变量称为无穷大量。 常数列的极限仍是该常数。
定义2:如果对于任意正数 ε (无论它有 多小),总存在相应的正整数N,使得满 足n>N的一切n,能使不等式 an − a < ε 恒成立,则称数列 {an } 以a为极限,记作:

2.左极限和右极限(不作为讲解内容)
3.自变量的绝对值无限增大时的情形
对于函数y = f ( x)而言, 当 x 无限增大时, 1 函数f ( x) = 的绝对值无限变小,可见 x 当x → ∞, 即x → +∞或x → −∞时,该函数 1 以常数A = 0为极限,记作: lim = 0.当x > x →∞ x 0或x < 0时,函数f ( x)的极限分别记作
( x + 5 − 3) → 0,
不能直接使用商的极限运算法则. 不能直接使用商的极限运算法则 但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子. 但可采用分母有理化消去分母中趋向于零的因子
x − 4 = lim ( x − 4)( x + 5 + 3) lim x →4 x + 5 − 3 x→4 ( x + 5 − 3)( x + 5 + 3) ( x − 4)( x + 5 + 3) = lim = lim( x + 5 + 3) x →4 x →4 x−4 = lim x + 5 + 3 = 6. 完 x →4
布置作业
必作题:无 选作题:无 思考题:实数系的演变过程是怎样的? 思考题:实数系的演变过程是怎样的?
§3 变量无限变化的数学模型——极 限
3.1数列极限(概念) 以正整数为自变量的函数 y = f (n),当n依次 , 2, 取 1,2,3,L所得到的一列函数值 ai = f(i)i = 1, 3L , 称为无穷数列 ,简称数列。数列中的各个数 称为数列的项, 称为数列的通项。数 an 列常简记为 。= f (n)
lim an = a, 或an → a (n → ∞).
n →∞
2.数列极限的定量描述

证明:设为任意小的正数ε (不妨设 ε < 1)求N:
n
1 lim 证明:→∞ 2 n = 0. n
1 1 ,由 n − 0 = n < ε 2 2
lg ε . 2 > , 即n > − ε lg 2 1
lg ε , 由前面的推导过程可知,则当 取 N ≥− lg 2
x→2
解 lim( x 2 − 3 x + 5) = lim x 2 − lim 3 x + lim 5
x→2 x→2 x→2 x→2
= (lim x )2 − 3 lim x + lim 5 x→2 x→2 x→2
= 22 − 3 ⋅ 2 + 5 = 3
注:设 f ( x ) = a0 x n + a1 x n−1 + L + an , 则有
定理2(复合函数的极限运算法则 定理 复合函数的极限运算法则) 复合函数的极限运算法则 设函数 y = f [ g ( x )] 是由函数 y = f (u) 与函数
且在 x0 的某去心邻域内有 g ( x ) ≠ u0 , 则
0 0
u = g ( x )复合而成, 若 复合而成, lim g ( x ) = u0 , u→u f ( u) = A, lim x→ xn>N 时,就有
1 − 0 < ε恒成立 , 得证。 n 2
3.数列极限中蕴含的辨证思想
极限的取得是变化过程与变化结果的对 立统一。 极限是有限与无限的对立统一。 极限的取得体现了近似与精确的对立统 一。
1.自变量 无限趋进于有限数 0 的情形 定义1:设函数 y = f (x) 在点 0 的近旁有定 义(在点 0 处可以无定义)。如果对 于任意正数 ε (不管它有多小),总存 在相应的正数δ ,使得满足 0 < x − x0 < δ 的一切 能使 f ( x) − A < ε 恒成立,则 称函数 f (x) 当 x → x0 时以A极限,记作: lim f ( x) = A或f ( x) → A( x → x0 ) ,该定 x→ x 义又称为“ − δ ” 定义。 ε
lim f ( x ) = a0 ( lim x )n + a1 ( lim x )n−1 + L + an x→ x → x→ x x→ x
0
0 0
= a0 x + a1 x
n 0
n −1 0
+ L + an

= f ( x0 ).
2 x2 − 9 . 例 2 求 lim 2 x→3 5 x − 7 x − 2 2 2 x 2 − 9 = lim( 2 x − 9) x→3 解 lim 2 x→3 5 x − 7 x − 2 lim(5 x 2 − 7 x − 2) x→3
x
3.2函数极限
x
x
x
x
0
例:证明:lim x = x0。
x→x0
证明:对任意给定的 成立,只需取 δ
f ( x ) − A = x − x0 < ε 恒成立,所以原式成立。

,显然当 0 < x − x0 < δ (δ = ε ) 时,
ε > 0 ,要使 f (x ) − A = x − x
0
例题:用邻域符号和区间符号分别表示不 ε x 等式 2 x + 1 < (ε > 0) 所确定的 的范围。 2 ε 1 ε 解: 1 ε 由 2 x + 1 < 得 x + < ,即 x − − 〈 。 2 2 4 2 4
1 ε 所以它表示以 − 为中心、以 为半径 2 4 的邻域。用区间符号表示为: 1 ε 1 ε − − − , + 2 4 2 4
2 ⋅ 32 − 9 = = 9. 5 ⋅ 32 − 7 ⋅ 3 − 2 22
P( x) 注:设 f ( x ) = , 且 Q( x0 ) ≠ 0, 则有 Q( x ) lim P ( x ) P ( x ) 0 lim f ( x ) = x → x0 = f ( x0 ). = x→ x0 → lim Q ( x ) Q( x0 )



布置作业
必作题:无 选作题:无 思考题:推动微积分不断向前发展的因 推动微积分不断向前发展的因 素有哪些? 素有哪些?哪些数学家对微积分的完善 与发展做出了重大贡献, 与发展做出了重大贡献,各自的成就有 哪些? 哪些?
§2 实数系的建立及邻域的概 念
§2.1实数系的演变及性质
有 自 整 理 然 数 数 数 集 集 1 2 集 3 集 数 实
第一章 微积分的基础问题
——集合、实数、极限
教学目标:本章的目标是介绍集合、实数和极限。要 求了解集合、实数与极限在微积分中的作用。了解我 国数学家祖冲之在我国古代数学中所作出的杰出贡献。 教学重点:集合、实数与极限在微积分中的作用、邻 域的概念。 教学难点:极限概念及其在微积分中的作用、邻域的 概念。 教学时数:6学时。
1 2 3 数 数 数

的 实数

实数
§2.2刻画极限的邻域概念 与点x0 的距离小于 (δ > 0) 的全体实数的 δ ) U 集合称为点 x0 的邻域。记作:(x0 , δx0 ,称 为邻域的中心, 称为邻域的半径。这一 δ 邻域可用集合符号表示为 {x x − x0 < δ } 。 如果点 x0 的δ 邻域 U (x0 , δ ) 不包括点 x0 , 则称为点 x0 的去心邻域。
x → +∞
lim f ( x)或 lim f ( x).
x → −∞
例如: arctan x = lim
x → +∞
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