第八章习题参考答案
8-3 设系统如图8-30所示，其中继电器非线性特性的a ＝1。

试用描述函数法分析系统是否会出现自持振荡？如存在，试求出系统自持振荡的振幅和频率的近似值。

解：死区继电特性的描述函数为： 2
)(
14=
)(A
a A
πM A N － （A ≥a ）
将M =1，a =1代入上式得：
2
2
)1(
14=
)(
14=
)(A
A
πA a A
πM A N －－
当A <a 时，N (A )=0，即－1/N (A )→－∞；当A →∞时，N (A )→0，即－1/N (A )→－∞。

可见－1/N (A )存在极限值。

令F (A )=－1/N (A )，则
232
2
)
1()2(4=)(－－－
A A A πdA
A dF
由
0=dA
)A (dF ，得2=
A 。

＜０－－－－
πA A A πdA
)A (F d A A =)
1(1)2+(4
=2
=
3
2
2
2
2
=
2
2
因此，当2=A 时，负倒描述函数有最大值：
7.51=2
=1
4
=)
(1=
)
(12
=
2
22
=
－－
－－
－－πA A
πA N A N A A max
负倒描述函数曲线如下图所示。

系统线性部分传递函数为：)
2+)(1+(10=
)(s s s s G
图8-30 题8-3图
r c
+
-e
m
0a
1
10(1)(2)
s s s ++
其频率特性为：)
2+)(1+(10
=
)(j ωj ωωj ωj G
幅频特性和相频特性分别为：
)
4+)(1+(10
=
|)(2
2
ωωωωj G |， ω.a r c t a n ωa r c t a n ωφ5090=)(－－－
令 180=)(－ωφ，即 180=5090=)(－－－－ω.arctan ωarctan ωφ
90
=50+ω.arctan ωarctan →
90
=.501.512
ω
ωarctan
－
解得2=ω，此时7
.61≈35=18
210
=
)
4+)(1+(10
=
|)2(2
2ωωωj G |
因此，当2=ω时，线性部分奈氏曲线ΓG 与负实轴的交点坐标为（－1.67，j 0）。

ΓG 曲线如下图所示。

由图可见，ΓG 曲线和－1/N (A )曲线存在两个交点。

由1
4
=)(1)2+)(1+(10=
)(2
2－－
＝－A A
πＡＮj ωj ωωj ωj G
解得两组解：2
=1ω，2.21=1A 和2
=
2ω，37.1=2A
根据周期运动稳定性判据，A 1和ω1对应不稳定的周期运动；A 2和ω2对应稳定的周期运动。

当初始条件或外扰动使A <A 1，则系统运动不存在自振荡，稳态误差a e <； 当初始条件或外扰动使A >A 1，则系统运动存在自振荡：
t sin
.)t (e 2731=
()
jY ω()
X ωω=∞
ω=7.61－7.1５－
)
(1
A N －。