解：显然，若 ，则 如图 1，作线段 AB=4， 令 OA=x，则
.因而，当 取最小值时，必然有 . ，且 AC=1，BD=2.对于 AB 上的任一点 O，
.
那么，问题转化为在 AB 上求一点 O，使 OC+OD 最小.
图1
设点 C 关于 AB 的对称点为 E，则 DE 与 AB 的交点即为点 O，此时，
解：原式 小值 .
由此可知，当
时，有最
二. 设参数法
例 2. （《中等数学》奥林匹克训练题）
已知实数 满足
.则 的最大值为________.
解：设
，易知 ,由
，得
从而，
.由此可知， 是关于 t 的方程
的
两个实根.于是，有
,解得 .故 的最大值为 2.
例 3. （2004 年全国初中联赛武汉选拔赛）
若 A. 3
六. 由某字母所取的最值确定代数式的最值
例 7. （2006 年全国初中数学竞赛）
已知
为整数，且
.
若 ，则
的最大值为_________.
解：由
得
，代入
得
.
而由
和 可知
的整数.
所以，当
时，
取得最大值，为
.
七. 借助几何图形法 例 8. （2004 年四川省初中数学联赛）
函数
的最小值是________.
最值问题，也就是最大值和最小值问题.它是初中数学竞赛中的常见问题. 这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具 有一定的难度.本文以例介绍一些常见的求解方法，供读者参考.
一. 配方法
例 1. （2005 年全国初中数学联赛武汉 CASIO 杯选拔赛）
可取得的最小值为_________.
已知矩形 A 的边长为 a 和 b，如果总有另一矩形 B 使得矩形 B 与矩形 A 的周长之 比与面积之比都等于 k，试求 k 的最小值.
解：设矩形 B 的边长为 x 和 y，由题设可得
从而 x 和 y 可以看作是关于 t 的一元二次方程
根，则
,因为 ，所以
解得
,所以 k 的最小值是
.
. 的两个实数 ，
解：设甲、乙、丙单独承包各需
天完成，则
解得
又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付
元，则
解得
于是，由甲队单独承包，费用是
（元）；由乙队单独承包，
费用是
（元）；而丙队不能在一周内完成，经过比较得知，
乙队承包费用最少.
.作 EF//AB 与 DB 的延长线交于 F.
在
中，易知
，所以，
.
因此，函数
的最小值为 5.
八. 比较法 例 9. （2002 年全国初中数学竞赛）
某项工程，如果有甲、乙两队承包 天完成，需付 180000 元；由乙、丙两队承
包 天完成，需付 150000 元；由甲、丙两队承包 天完成，需付 160000 元. 现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？
，则
B.
C.
可取得的最小值为（ ） D. 6
解：设
，则
从而可知，当
时，
取得最小值 .故选（B）.
三. 选主元法
例 4. （2004 年全国初中数学竞赛）
实数
满足
.则 z 的最大值是________.
解：由 代入
即 解得
得
.
消去 y 并整理成以 为主元的二次方程
，由 x 为实数，则判别式 .
，整理得
.所以，z 的最大值是 .
四. 夹逼法
例 5. （2003 年北京市初二数学竞赛复赛）
是非负实数，并且满足
.设
，
记 为 m 的最小值，y 为 m 的最大值.则 __________.
解：由
得
解得
由
是非负实数，得
又
，故
, 解得
.
，于是
，因此
.
五. 构造方程法
例 6. （2000 年山东省初中数学竞赛）