数列通项与求和一、数列的通项方法总结：对于数列的通项的变形，除了常见的求通项的方法，还有一些是需要找规律的，算周期或者根 据图形进行推理。

其余形式我们一般遵循以下几个原则：① 对于同时出现知，〃，s”的式子，首先要对等式进行化简。

常用的化简方法是因式分解，或者 同除一个式子，同加，同减，取倒数等，如果出现分式，将分式化简成整式；② 利用S”_i 关系消掉S”（或者““），得到关于知和□的等式，然后用传统的求通 项方法求出通项；③ 根据问题在等式中构造相应的形式，使其变为我们熟悉的等差数列或等比数列；④ 对于出现"，或（或更高次时）应考虑因式分解，最常见的为二次函数十字相乘法，提 取公因式法：遇到时还会两边同除心•"”+].1. 规律性形式求通项•数列｛an ｝浦足3n+1=<A 4B -7 c7 D -7 「2•分形几何学是美籍法国数学家伯努瓦・B •曼徳尔布罗特（Beno 让B ・Mandelbrot ）在20世纪70 年代创立的一门新学科，它的创立，为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.下图按照 的分形规律生长成一个树形图，则第12行的实心圆点的个数是（「3•如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形"，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个 数且两端的数均为丄522）,毎个数是它下一行左右相邻两数的和，如+冷O-# 第1行第2行第3行第4行第5行第6行A. 55B. 89 C ・ 144 D ・ 23314^ ，…，则第10行第4个数(从左往右数)为(1)11 WKS M BHBB ■■■■ HHaM 4 12 12 4「4•正项数列仙｝的前项和仙｝满足:s ； 一⑺上+料_ 1)片一⑺2 +叭=o⑴求数列®｝的通项公式a.;⑵令化=厂"禅"数列｛bn ｝的前"项和为7； •证明:对于任意的neN\都有7；r< —. G + 2)S 6425 i 21・5•设数列｛色｝的前n 项和为S n •已知q=l ，二21 = 4屮一；一 "一 £川e N"・(1) 求冬的值；(2) 求数列｛〜｝的通项公式.A 1 B. 1 C. 1 D.11260 840 504 360丄丄丄 T 20 302•出现a n , n , S n 的式子I1 I 3 6 32016已知首项都是1的两个数列仏｝, ｛仇｝(仇工°，W”)满足a n b n^-a n^b n+2b n^b n =0.⑴令^=—>求数列｛-｝的通项公式；(2)若»=3心,求数列仏｝的前〃项和S“.牛刀小试：1. 已知数列｛%｝的前n 项和为Sn, 5=1,且2n5n+1 -2(n + l)S n =n(w + l)(n e N*),数列｛化｝满足也一叽+S=°(nwNf %=5,其前9项和为63・(1)求数列数列｛陽｝和｛化｝的通项公式:2. 已知数列｛a n｝的前n项和为S”，且q =丄2(1)求｛匕｝的通项公式;(2)设2=〃(2—SJ MV N；若集=｛n\b n>Ajie^｝恰有4个元素，求实数兄的取值范風3•需构造的(证明题)1 -7.已知数列｛©｝的前”项和为S”，且满足心+ 2S” •=0(n>2),«1 =|.(1)求证: 是等差数列;(2)求你表达式;设数列｛亦｝的前n项和为Sm且首项aiH3, a n+i=S n+3n <nGN )・(1)求证:｛Sn・3"｝是等比数列:(2)若｛%｝为递增数列•求ai的取值范1期・牛刀小试1. C知数列｛心｝中，⑷==，%】=e N0 .3 心+1(2)求数列?上4的前n项和为(1)证明：数列1 22•数列｛©｝中，⑷=仁〜+i=l—一, b n =- ------------% 2a n -1（1）求证:数列｛化｝是等差数列；二、数列求和与放缩数列求和的考察无外乎错位相减、裂项相消或者是分组求和等，但有一些通项公式需要化简才可以应用传统的方法进行求和。

对于通项公式是分式形式的一般我们尝试把“大”分式分解成次数（分母的次数）相等的“小”分式，然后应用裂项相消的方法进项求和。

放缩，怎么去放缩是重点，一般我们不可求和的放缩为可求和的，分式形式，分母是主要化简对象。

数列｛% ｝满足4 = 2,6+1 = —寸一(n WN、”訥2(1) 求数列血｝的通项公式.⑵设G 二爲九「数列匕｝的前n项和为九不等式扣一存＞S“对一切“AT成立,求m的范I札22设数列｛色｝满足® =0且一! ---------- =1.1_心十1 1 一心（1）求w的通项公式:，记S”=£Q,证明:S”vl.设Sn 2-3一Jl・2十J2・3十…十小（力十1）.求证‘心小v（J1）2 ' 22.4求证d + g扭+ »（】+召1. （2014-湖北七市楼拟）数列｛&｝是公比为g的等比数列，且1一©是6与l+a?的等比中顶，前”顶和为SJ数列仮｝是等差数列，勿=8,其前n项和7；满足匚=也治©为常数，且沪1）.⑴求数列仏｝的通项公式及2的值；（2）岀畤+詐+,,+尹扛的大小.牛刀小试:1 •已知等差数列｛4j的公差为2,前门项和为S” KSv S“ S4成等比数列.（1）求数列｛&｝的通项公式：An⑵令bn=（-1）n,求数列｛b n｝的前门项和几・7UnUn 1三、数列与不等式问题在这类题目中一般是要证明壬G” < /何或者一个常数，一般思路有两种：1.若｛&｝可求和S”，则可直接求出英和，再转化为s”v/（n）,而后一般转化为函数，或单调性来比较大小；2.若｛心｝不可求和，则利用放缩法转化为可求和数列，再重复1的过程。

1. 应用放缩法证明，将不规则的数列变成规则的数列，将其放大或是缩小。

但如果岀界了怎么办（放的太大或缩的太小），一般情况下，我们从第二项开始再放缩，如果还大则在尝试从第三项开始放缩。

2. 应用数列单调性求数列中的最大或最小项。

我们一般将数列中的"看做自变量，““看做因变用函数部分求最值方法来求数列的最值；或者可以利用做商比较大小（一般出现幕时采取这个方法）：也可相减做差求单调性。

3-1.设各项均为正数的数列｛“”｝的前n项和为S“，且S”满足5;-（/72+〃—3）S” 一3（M2+W）=0,n e N，.（1）求⑷的值；（2）求数列｛q,｝的通项公式：（3）证明：对一切正整数川，有一 + —+•••+—<-.5（4+1）勺（山+1）。

”（山+1）33-2.记公差不为0的等差数列心｝的前〃项和为S「宀=9, 5 与心成等比数列・(1)求数列｛“”｝的通项公式""及S”；⑵ 若C/I=2^(—-A)9 n=1, 2, 3,・・・•问是否存在实数兄，使得数列｛q｝为单调递减数列？若存在，谙求出兄的取值范用：若不存在，请说明理由.牛刀小试：1.数列｛©｝的前"项和为S”，已知 5=!，S…=n2a n-n(n-l)(ne^).(1)求a2.a3t⑵求数列｛©｝的通项：⑶设b n = —1—，数列色,｝的前n项和为7；,证明：7；弓(心2 ).S JJ S M29 c 1 92•设数列｛色｝的前"项和为S n•已知q=l,—= “讪一亍/『一n -亍〃e N°・(1)求偽的值;(2)求数列仏｝的通项公式；1 1 1 7⑶证明:对一切正整数〃，有一+ — + ・・・ + — <_.4 "25 4袋列｛6｝的前n 彌为Sc , S n =na n -n (n-1) ( n=l r 2 , 3 ,.数列作业1.设数列｛“”｝的前n 项和为S“，且S” =/12-4/2 + 4,(1) 求数列｛"”｝的通项；(2) 设〃“台，数列｛"｝的前〃项和为7；,求证：丄5人<1.22. 已知｛心)是各项均为正数的等比数列，且q •勺=2,©・4 = 32. (I) 求数列｛"”｝的通项公式：(II) 设数列｛仇｝满足久+丝+冬+…+-^ = %_lgN )求数列｛»｝的前“项和。

1 2 3 2/7-13・•痫窗口为「鵲碍」礬少？.［列f 并写出囱关于n 的表达式；113. 已知数列｛“”｝的各项均为正数，其前"项和为S”，且满足4=1,©+|=2妊+1,"丘2.(1) 求4的值：(2) 求数列｛①｝的通项公式：(3〉是否存在正整数k,使你，S 2,_,,伽成等比数列？若存在，求R 的值：若不存在，请说明理 由・4 •已知 S” 为数列｛①｝的前 n 项和，S n =na n -3n(n-\) (neN^) 9 且 a 2=\\.(1) 求5的值；(2) 求数列｛©｝的前川项和S 八5 •设数列匕｝的前打项和为S 「且a n +S n =\.(1)求数列｛©｝的通项公式:(2)设数列｛乞｝满足：化=丄+ 1,又_=——!—,且数列&｝的前〃项和为7>求证:丁 2T < 一・n 36•已知数列｛b»满足 3(n+1)bn=nb n *n 且 hi = 3.(1)求数列｛b“｝的通项公式：⑵已知蒼芥告求证：詁+知••• +扫・7. 已知数列｛&｝的前门项和为S”，且Sn = 2fln-1：数列伽｝满足6n-1-bn = bnbn-1(O>2, nWN‘)，Z )1 =1.(1) 求数列｛&｝, ｛bn ｝的通项公式；(2) 求数列〈瓷诃勺前n 项和Tn.2 / ---------- ,求证：忡严…*七府忌. (3)设数列｛"｝满足化=8. 设等差数列｛%｝的前n项和为S.,且比=4S2,吆=2© +1.⑴求数列匕｝的通项公式；(2)设数列他,｝前n项和为人，且人+罟=几“为常数).令c n=b2n (ne/V).求数列｛c”｝的前n项和心・。