2020年高考数学（3月份）模拟试卷一、填空题.1．已知A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝．2．若复数z满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i是虚数单位），则|z|＝．3．执行如图所示的算法流程图，输出的S的值是．4．若数据2，x，2，2的方差为0，则x．5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．6．先把一个半径为5，弧长为6π的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为．7．若双曲线的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为．8．在△ABC所在的平面上有一点P，满足，则＝．9．已知直线y＝kx﹣2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为．10．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），直线y＝b与椭圆C交于A，B两点，若OA⊥OB，则椭圆离心率的值等于．11．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a12＝2，且当n≥2时，为S n和S n﹣1的等差中项，则S32的值为12．设α，θ为锐角，tanθ＝a tanα（a＞1），若θ﹣α的最大值为，则实数a的值为．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，则实数a的取值范围为．14．已知函数f（x）＝e x，若函数g（x）＝（x﹣2）2f（x）﹣+2a|x﹣2|有6个零点，则实数a的取值范围为．二、解答题：共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（A﹣B）+sin C＝1．（1）求sin A cos B的值；（2）若a＝2b，求sin A的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F （1，0），并且点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为k（k为常数）的直线l与椭圆交于A，B两点，交x轴于点P（m，0），Q为直线x＝2上的任意一点，记QA，QB，QP的斜率分别为k1，k2，k0．若k1+k2＝2k0，求m的值．18．（16分）如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为L．（1）①设∠ACO＝θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB＝2x米，求出L 关于x的函数关系式L（x）．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．19．（16分）设f（x）＝ae x﹣a，g（x）＝ax﹣x2（a为与自变量x无关的正实数）．（1）证明：函数f（x）与g（x）的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；（2）是否存在实数k，使得对任意的恒成立，若存在，求出k的取值范围，否则说明理由．20．（16分）定义：对于一个项数为m（m≥2，m∈N*）的数列{a n}，若存在k∈N*且k＜m，使得数列{a n}的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”．例如：因为3＝2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”．请解答以下问题：（1）判断数列2，﹣4，6，﹣8是否是“等和数列”，请说明理由；（2）已知等差数列{a n}共有r项（r≥3，且r为奇数），a1＝1，{a n}的前n项和S n满足nS n+1＝（n+1）S n+n（n+1）（n≤r﹣1）．判断{a n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．（3）{b n}是公比为q项数为m（m∈N*，m≥3）的等比数列{b n}，其中q≥2．判断{b n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．三、【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换] 21．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2＝0，求矩阵A．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数）．求直线l与曲线C交点P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数，且，求证：x+4y+9z≥10．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点．（1）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．25．在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）＝n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．参考答案一、填空题：共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．1．已知A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3，4}．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．解：∵A＝{1，3，4}，B＝{3，4，5}，∴A∩B＝{3，4}．故答案为：{3，4}2．若复数z满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i是虚数单位），则|z|＝．【分析】先利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，化简复数z到最简形式，再利用复数的模的定义求出|z|．解：因为复数z满足（1+2i）z＝﹣3+4i（i是虚数单位），∴z＝＝＝1+2i；∴|z|＝＝；故答案为：．3．执行如图所示的算法流程图，输出的S的值是7．【分析】这是一个递推问题，因为只需算到n＝3，所以可以逐项列举计算．解：n＝1时，S＝2×0+1＝1n＝2时，S＝2×1+1＝3n＝1时，S＝2×3+1＝7因为n≤3时停止循环．故S＝7．故答案为：74．若数据2，x，2，2的方差为0，则x＝2．【分析】由已知利用方差公式得到关于x的方程解之．解：因为数据2，x，2，2的方差为0，由其平均数为，得到＝0，解得x＝2；故答案为：2．5．在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件共有3种结果，根据古典概型概率公式得到结果．解：由题意知，本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从中随机取出2个小球，共有C52＝10种结果，满足条件的事件是取出的小球标注的数字之和为3或6，可以列举出所有的事件：1，2；1，5；2，4，共有3种结果，根据古典概型概率公式得到P＝，故答案为：6．先把一个半径为5，弧长为6π的扇形卷成一个体积为最大的空心圆锥，再把一个实心的铁球融化为铁水倒入此圆锥内（假设圆锥的侧面不渗漏，且不计损耗），正好把此空心的圆锥浇铸成了一个体积最大的实心圆锥，则此球的半径为．【分析】由已知先求出圆锥的底面半径及高，求出圆锥的体积即为球的体积，然后根据球体积公式即可求解．解：由题意可知，圆锥的底面周长6π＝2π•OA，OA＝5，所以OA＝3，PO＝＝4，所以圆锥的体积V＝＝12π，设球的半径r，则＝12π，所以r＝．故答案为：7．若双曲线的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为6．【分析】由双曲线方程求得左焦点坐标，代入抛物线的准线方程求解p．解：由双曲线，得a2＝5，b2＝4，则，则双曲线的左焦点为（﹣3，0），抛物线y2＝2px的准线方程为x＝﹣，则，p＝6．故答案为：6．8．在△ABC所在的平面上有一点P，满足，则＝．【分析】由可得，则．即可求解＝﹣．解：由可得，则．＝||||cos∠APB，＝||||cos（π﹣∠APB）＝﹣2||||cos∠APB 则＝﹣．故答案为：﹣．9．已知直线y＝kx﹣2与曲线y＝xlnx相切，则实数k的值为1+ln2．【分析】设切点为（x0，x0lnx0），对y＝xlnx求导数得y′＝lnx+1，从而得到切线的斜率k＝lnx0+1，结合直线方程的点斜式化简得切线方程为y＝（lnx0+1）x﹣x0，对照已知直线列出关于x0、k的方程组，解之即可得到实数k的值．解：设切点为（x0，x0lnx0），对y＝xlnx求导数，得y′＝lnx+1，∴切线的斜率k＝lnx0+1，故切线方程为y﹣x0lnx0＝（lnx0+1）（x﹣x0），整理得y＝（lnx0+1）x﹣x0，与直线y＝kx﹣2比较，得：，故k＝1+ln2，故答案为：1+ln2．10．已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0），直线y＝b与椭圆C交于A，B两点，若OA⊥OB，则椭圆离心率的值等于．【分析】直线与椭圆的方程联立求出A，B的坐标，由OA⊥OB可得＝0，求出a，b的关系，再由a，b，c之间的关系求出离心率．解：联立方程组可得＝，所以x＝a，所以A（﹣a，），B（，），因为OA⊥OB，所以＝0，所以﹣a a+（）2＝0，可得a2＝2b2，所以离心率e＝＝＝故答案为：11．已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a12＝2，且当n≥2时，为S n和S n﹣1的等差中项，则S32的值为8【分析】运用等差数列的中项性质和等差数列的定义、通项公式可得S n2，进而得到S n，即可得到所求值．解：正项数列{a n}的前n项和为S n，a12＝2，且当n≥2时，为S n和S n﹣1的等差中项，可得S n+S n﹣1＝＝，即为S n2﹣S n﹣12＝2，可得{S n2}是首项、公差均为2的等差数列，即有S n2＝2n，由题意可得S n＝，n∈N*，则S32＝＝8，故答案为：8．12．设α，θ为锐角，tanθ＝a tanα（a＞1），若θ﹣α的最大值为，则实数a的值为．【分析】由题意利用两角和差的的三角公式解：tan（θ﹣α）＝＝＝＝，因为α，为锐角，所以（当且仅当时，取等号），因为a＞1，所以≤，所以tan（θ﹣α）最大值为，又因为θ﹣α的最大值为，所以tan＝，即2＝a﹣1，解得a＝3+2，故答案为：3+2．13．在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4上两个动点，且AB＝2．若直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，则实数a的取值范围为．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4的圆心C（a，2），半径r＝2，求出圆心C到AB的距离为1，设P（x，﹣x），由向量等式可得AB的中点M的坐标，再由|CM|＝1列关于x的方程，由直线l上存在点P，使得+＝，利用判别式大于等于0求得实数a的取值范围．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），AB的中点M（，），圆C：（x﹣a）2+（y﹣2）2＝4的圆心C（a，2），半径r＝2，圆心C（a，2）到AB的距离|CM|＝，直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，设P（x，﹣x），则（x1﹣x，y1+x）+（x2﹣x，y2+x）＝（a，2），∴，得，即M（x+，﹣x+1），∴|CM|＝，整理，得2x2+（2﹣a）x+，∵直线l：y＝﹣x上存在点P，使得+＝，∴△＝≥0，解得．故答案为：．14．已知函数f（x）＝e x，若函数g（x）＝（x﹣2）2f（x）﹣+2a|x﹣2|有6个零点，则实数a的取值范围为．【分析】可以先对e x|x﹣2|整体换元，转化为一元二次方程首先有两个正根t1，t2，然后令，转化为y＝ti与y＝e x|x﹣2|各有三个交点的问题．解：对于g（x）＝0，令t＝|x﹣2|e x，∴t2+2at﹣a＝0①有两个正根t1，t2．做出t＝|x﹣2|e x的图象如右图：（∵，∴，∴x≥2时，t′＞0；1＜x＜2时，t′＜0；x＜1时，t′＞0．∴该函数在（﹣∞，1）递增，在（1，2）上递减，在（2，+∞）递增，且t＞0恒成立．且当y＝t i与t＝|x﹣2|e x各有三个交点时，满足题意，据图可知方程①在（0，e）上有两个不等实根时即可，令h（t）＝t2+2at﹣a，∴，解得．故答案为：．二、解答题：共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin（A﹣B）+sin C＝1．（1）求sin A cos B的值；（2）若a＝2b，求sin A的值．【分析】（1）利用三角形内角和定理与两角和与差的正弦公式，即可求出sin A cos B的值；（2）利用正弦定理把a＝2b化为sin A＝2sin B，再利用（1）的结论求出B的值，从而求出sin A的值．解：（1）△ABC中，A+B+C＝π，∴sin（A﹣B）+sin C＝sin（A﹣B）+sin（A+B）＝（sin A cos B﹣cos A sin B）+（sin A cos B+cos A sin B）＝2sin A cos B＝1，∴sin A cos B＝；（2）△ABC中，a＝2b，∴sin A＝2sin B，∴sin A cos B＝2sin B cos B＝sin2B＝，∴2B＝或2B＝，∴B＝或B＝；∴sin B＝或sin B＝，∴sin A＝2sin B＝或sin A＝2sin B＝（不合题意，舍去）．综上，sin A＝．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分别是AC，B1C1的中点．求证：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．【分析】（1）取AB的中点P，连结PM、PB1推导出四边形PMNB1是平行四边形，从而MN∥PB1，由此能证明MN∥平面ABB1A1．（2）推导出BB1⊥面A1B1C1，从而面ABB1A1⊥面A1B1C1推导出B1C1⊥B1A1，从而B1C1⊥面ABB1A1，进而B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，推导出AB1⊥A1B，从而A1B ⊥面AB1N，由此能证明A1B⊥AN．【解答】证明：（1）取AB的中点P，连结PM、PB1，因为M、P分别是AB，AC的中点，所以PM∥BC且PM＝BC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BC∥B1C1，BC＝B1C1，又因为N是B1C1的中点，所以PM∥B1N，且PM＝B1N．…所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MN∥PB1，…而MN⊄平面ABB1A1，PB1⊂平面ABB1A1，所以MN∥平面ABB1A1．…（2）因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，所以BB1⊥面A1B1C1，又因为BB1⊂面ABB1A1，所以面ABB1A1⊥面A1B1C1，…又因为∠ABC＝90°，所以B1C1⊥B1A1，面ABB1A1∩面A1B1C1＝B1A1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以B1C1⊥面ABB1A1，…又因为A1B⊂面ABB1A1，所以B1C1⊥A1B，即NB1⊥A1B，连结AB1，因为在平行四边形ABB1A1中，AB＝AA1，所以AB1⊥A1B，又因为NB1∩AB1＝B1，且AB1，NB1⊂面AB1N，所以A1B⊥面AB1N，…而AN⊂面AB1N，所以A1B⊥AN．…17．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的右焦点为F （1，0），并且点在椭圆上．（1）求椭圆C的方程；（2）设斜率为k（k为常数）的直线l与椭圆交于A，B两点，交x轴于点P（m，0），Q为直线x＝2上的任意一点，记QA，QB，QP的斜率分别为k1，k2，k0．若k1+k2＝2k0，求m的值．【分析】（1）根据焦点坐标可得c＝1，利用椭圆定义可得，结合a2＝b2+c2，解出b即可；（2）设直线l：y＝k（x﹣m），A（x1，y1），B（x2，y2），Q（2，y0），与椭圆方程联立，结合Q不在直线l上，可整理得到2x1x2﹣（2+m）（x1+x2）+4m＝0，利用根与系数关系，带入即可计算出m的值．解：（1）因为椭圆C的两个焦点为F1（﹣1，0）和F2（1，0），点在此椭圆上．所以，所以，所以椭圆方程为；（2）由已知直线l：y＝k（x﹣m），设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（2，y0），由得（1+2k2）x2﹣4mk2x+2k2m2﹣2＝0．所以．因为且k1+k2＝2k0，所以，整理得，因为点Q（2，y0）不在直线l上，所以2k﹣km﹣y0≠0，所以，整理得2x1x2﹣（2+m）（x1+x2）+4m＝0，将，代入上式解得m＝1，所以m＝1．18．（16分）如图，PQ为某公园的一条道路，一半径为20米的圆形观赏鱼塘与PQ相切，记其圆心为O，切点为G．为参观方便，现新修建两条道路CA、CB，分别与圆O相切于D、E两点，同时与PQ分别交于A、B两点，其中C、O、G三点共线且满足CA＝CB，记道路CA、CB长之和为L．（1）①设∠ACO＝θ，求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②设AB＝2x米，求出L 关于x的函数关系式L（x）．（2）若新建道路每米造价一定，请选择（1）中的一个函数关系式，研究并确定如何设计使得新建道路造价最少．【分析】（1）①根据正弦定理和解直角三角形即可求出L关于θ的函数关系式L（θ）；②利用三角形相似，即可得到x﹣20x＝20y，整理化简即可，（2）选择（1）中的第一个函数关系式，以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），利用导数求出函数的最小值即可．解：（1）①在Rt△CDO中，∠ACO＝θ，所以CO＝，所以CG＝+20，在Rt△AGC中，AC＝＝＝，所以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），②设AC＝y，则在Rt△AGC中，CG＝，由Rt△AGC和Rt△CDO相似可得＝，即＝，即x﹣20x＝20y，即x＝20（x+y）即x＝20，即x2（y﹣x）＝400（x+y），化简可得AC＝y＝，L（x）＝．其中x∈（20，+∞）；（2）选择（1）中的第一个函数关系式，以L（θ）＝2AC＝，其中θ∈（0，），在L′（θ）＝[cos2θsinθ﹣（1+sinθ）（cos2θ﹣sin2θ）]，＝（1+sinθ）[（1﹣sinθ）sinθ﹣（cos2θ﹣sin2θ）]，＝（1+sinθ）（sin2θ+sinθ﹣1），令L′（θ）＝0，解得sinθ＝，令sinθ0＝，当θ（0，θ0）时，L′（θ）＜0，函数L（θ）单调递减，当θ（θ0，）时，L′（θ）＞0，函数L（θ）单调递增，∴当sinθ＝时，L（θ）取得最小值，新建道路造价最少19．（16分）设f（x）＝ae x﹣a，g（x）＝ax﹣x2（a为与自变量x无关的正实数）．（1）证明：函数f（x）与g（x）的图象存在一个公共的定点，且在公共定点处有一条公切线；（2）是否存在实数k，使得对任意的恒成立，若存在，求出k的取值范围，否则说明理由．【分析】（1）由f（0）＝g（0）＝0，及f'（0）＝g'（0）＝a，即可得证；（2）先假设存在，则k＜e x﹣xlnx﹣x对任意的恒成立，构造函数，接下来只需要利用导数判断函数h（x）在上是否存在最小值即可．解：（1）证明：因为f（0）＝ae0﹣a＝0，g（0）＝0，所以f（x）＝ae x﹣a，g（x）＝ax﹣x2的图象存在一个公共的定点O（0，0）．因为f'（x）＝ae x，g'（x）＝a﹣2x，所以f'（0）＝a，g'（0）＝a，所以在定点O（0，0）处有一条公切线，为直线y＝ax．（2）假设存在实数k，使得对任意的恒成立，即存在实数k使得k＜e x﹣xlnx﹣x对任意的恒成立．令，则，令，则，因为x＞0，e x＞0，且y＝x，y＝e x在上单调递增，所以y＝xe x在上单调递增，因为，所以存在唯一实数，使得，即m'（x0）＝0，且，所以h'（x）在x0处取得最小值＝，所以h（x）＝e x﹣xlnx﹣x在上单调递增，所以，因为k＜e x﹣xlnx﹣x对任意的恒成立，所以，所以存在使得对任意的恒成立．20．（16分）定义：对于一个项数为m（m≥2，m∈N*）的数列{a n}，若存在k∈N*且k＜m，使得数列{a n}的前k项和与剩下项的和相等（若仅为1项，则和为该项本身），我们称该数列是“等和数列”．例如：因为3＝2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”．请解答以下问题：（1）判断数列2，﹣4，6，﹣8是否是“等和数列”，请说明理由；（2）已知等差数列{a n}共有r项（r≥3，且r为奇数），a1＝1，{a n}的前n项和S n满足nS n+1＝（n+1）S n+n（n+1）（n≤r﹣1）．判断{a n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．（3）{b n}是公比为q项数为m（m∈N*，m≥3）的等比数列{b n}，其中q≥2．判断{b n}是不是“等和数列”，并证明你的结论．【分析】（1）四项数列举例即可．（2）由nS n+1＝（n+1）S n+n（n+1）构造数列{}，进而求出S n＝n2，再由“等和数列”的定义检验即可．（3）由等比数列与等和数列的公式和定义找出成立，即2q k ﹣1＝q m再由q，k，m的范围和大小关系判断即可．解：（1）∵2+（﹣4）＝6+（﹣8），∴数列2，﹣4，6，﹣8是“等和数列”．（2）由，两边除以n（n+1），得，即，所以，数列为等差数列且，，所以，，假设存在k使得数列{a n}的前k项和与剩下项的和相等，即S k＝S r﹣S k，所以2S k＝S r∴2k2＝r2*在*中，因为r为奇数，所以等式的右边一定是奇数；而等式的左边2k2一定是偶数，所以*不可能有解，从而假设错误，{a n}不是“等和数列”．（3）设B n为{b n}的前n项和，假设{b n}是“等和数列”，则存在k∈N*且k＜m，使得B k＝B m﹣B k成立，即2B k＝B m于是成立，即2q k﹣1＝q m因为q≥2，所以2q k﹣1＜2q k≤q k+1，又m＞k，即m≥k+1，所以q k+1≤q m，所以2q k﹣1＜q m，与2q k﹣1＝q m产生矛盾．所以假设不成立，即{b n}不是“等和数列”．三、【选做题】本题包括A、B、C三小题，请选定其中两小题作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换] 21．在平面直角坐标系xOy中，直线x+y﹣2＝0在矩阵A＝对应的变换作用下得到的直线仍为x+y﹣2＝0，求矩阵A．【分析】设直线上任意一点，算出其在变换下对应的点，代入直线方程，与直线对应，求出参数，可得．解：设P（x，y）是直线x+y﹣2＝0上任意一点，其在矩阵A＝对应的变换下得到，对应的点为（x+ay，bx+2y）仍在直线上，所以得x+ay+bx+2y﹣2＝0，与x+y﹣2＝0比较得，解得，故A＝．[选修4-4：极坐标与参数方程]22．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为．以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C的参数方程为（α为参数）．求直线l与曲线C交点P的直角坐标．【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用直线和曲线的位置关系式的应用，建立方程组，进一步求出交点的坐标．解：直线l的极坐标方程为（ρ∈R），转换为直角坐标方程为．曲线C的参数方程为（α为参数），整理得，转换为直角坐标方程为x2＝2y．所以，整理得，解得x＝0或2，①当x＝0时，y＝0，②当x＝2时，y＝6，所以直线与曲线的交点的坐标为P（0，0）和P（2，6）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x，y，z均为正数，且，求证：x+4y+9z≥10．【分析】由x，y，z均为正数，运用柯西不等式和不等式的性质，即可得证；【解答】证明：因为x，y，z均为正数，所以x+1，y+1，z+1均为正数，由柯西不等式得，当且仅当（x+1）2＝4（y+1）2＝9（z+1）2时，等式成立．因为，所以，所以x+4y+9z≥10．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．24．如图，在三棱锥D﹣ABC中，DA⊥平面ABC，∠CAB＝90°，且AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点．（1）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）求二面角A﹣CE﹣B的余弦值．【分析】以A为坐标原点，分别以AC，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，（1）分别求出，的坐标，由两向量所成角的余弦值可得异面直线AE与BC所成角的余弦值；（2）分别求出平面AEC与平面BEC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角A﹣CE﹣B的余弦值．解：如图，以A为坐标原点，分别以AC，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，∵AC＝AD＝1，AB＝2，E为BD的中点，∴A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，0，0），E（0，1，），（1），，∵cos＜＞＝＝，∴异面直线AE与BC所成角的余弦值为；（2），．设平面AEC与平面BEC的一个法向量分别为，．由，取z1＝﹣2，可得；由，取z2＝﹣2，可得．∴cos＜＞＝＝．由图可知，二面角A﹣CE﹣B为钝二面角，∴二面角A﹣CE﹣B的余弦值为﹣．25．在自然数列1，2，3，…，n中，任取k个元素位置保持不动，将其余n﹣k个元素变动位置，得到不同的新数列．由此产生的不同新数列的个数记为P n（k）．（1）求P3（1）（2）求P4（k）；（3）证明kP n（k）＝n P n﹣1（k），并求出kP n（k）的值．【分析】（1）数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，即可得出；（2）类比（1）即可得出；（3）：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则，可得，利用，即可得出．【解答】（1）解：∵数列1，2，3中保持其中1个元素位置不动的排列只有1，3，2或3，2，1或2，1，3，∴P3（1）＝3；（2）解：＝；（3）证明：把数列1，2，…，n中任取其中k个元素位置不动，则有种；其余n﹣k 个元素重新排列，并且使其余n﹣k个元素都要改变位置，则有，故，又∵，∴．令，则a n＝na n﹣1，且a1＝1．于是a2a3a4…a n﹣1a n＝2a1×3a2×4a3×…×na n﹣1，左右同除以a2a3a4…a n﹣1，得a n＝2×3×4×…×n＝n!∴．。