2
dx dt
02 x
Байду номын сангаас
h cost
则上述方程的解为：
x(t) A0e t cos t 0 阻尼振动（暂态解） B cos t 受迫振动（定态解）
3. 稳定状态的振动表达式
x
受迫振动系统达到稳定时 应做与驱动力频率相同的谐振 动。其表达式为：
x Acos(t )
t
用旋矢法可求出上式的A和
讨论
求极限： dA 0
d
（1）位移共振(振幅取极值)
0
0
0
0
共振频率 : 共振振幅 :
r
Ar
02
h
2 02
2
2
2
共振相位 :
arctan
02 2 2
（振幅共振曲线）
10
第17章 振 动
（2）速度共振 (速度振幅A取极值)
vm
h ( 2 02 )2 4 2 2
共振频率 : 0
6
第17章 振 动
x Acos(t )
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
h cost
x Acos(t )
d2x dt 2
A 2
cos(t
dx
dt π)
A
cos(t
π) 2
A 2 cos(t π) 2 A cos(t π )
2
02 A cos(t ) h cost
7
第17章 振 动
台北101大厦定楼神球
18
第17章 振 动
上海环球金融中心风阻尼器
19
第17章 振 动
阻尼越小，越接近谐振动，阻尼越大，“周期”越长。 2) 过阻尼运动
当阻尼较大 2 02 或 1 其解为：
x(t) c1e
2 02
t
c2e
2 02
t
3
第17章 振 动
特点是运动没有周期性，经过相当长的时间物体才能回 到平衡位置。
3) 临界阻尼运动
若 2 02或 1
差都与起始条件无关。
在线性范围内,振动的频率取决于驱动力的频率。
多个驱动力的效应可以叠加，谐振子运动方程的解遵 从叠加原理。
即
m(
d2 dt 2
2
d dt
02 )
i
xi
i
fi
9
第17章 振 动
三、共振
受迫振 动幅度 与相位
A2
(2)2
h2
(02
2 )2
arctan 2
2 0
2
第17章 振 动
1940年华盛顿的塔科曼大桥建成 同年7月的一场大风引起桥的共振 桥被摧毁
13
第17章 振 动
核磁共振成像技术是将人体置于特殊的磁场中，用无线 电射频脉冲激发人体内氢原子核，引起氢原子核共振， 并吸收能量。在停止射频脉冲后，氢原子核按特定频率 发出射电信号，并将吸收的能量释放出来，被体外的接 受器收录，经过电子计算机处理获得图像 .（微波炉）
A2
(2)2
h2
(02
2 )2
共振 02 2 2
在弱阻尼即 << 0的情况下，
当 = 0时，
系统的振动速度和振幅都达到最大值 — 共振
共振现象 •普遍 •有利有弊
•160年前 拿破仑入侵西班牙 桥塌 •1940年 美国TACOMA海峡大 桥 大风 湍流
小号发出的波足以把玻璃杯振碎
12
A 2 cos(t π) 2 A cos(t π )
2
02 A cos(t ) h cost
画任意时刻旋矢图
A2 2 A
h
02 A
得
A2
(2)2
h2
(02
2 )2
arctg
2 02 2
位移与驱动力的相位差
驱动力初 相为零
8
第17章 振 动
结论: 受迫振动的振幅 A 及受迫振动与驱动力的相位
与速率成正比 f 比例系数 叫阻力系数。
2. 振动的微分方程(以弹簧振子为例)
m
d2x dt 2
kx
dx dt
阻尼系数: / 2m 固有角频率 02 k / m
3. 振动表达式和振动曲线
如果能振动起来（欠阻尼情况） 上述方程的解是什么形式呢？
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
从物理上考虑：
§17.3 阻尼振动与阻尼受迫振动
一、 阻尼振动 (Damped Vibration) 二、受迫振动 (Forced Vibration) 三、共振 (Resonance)
1
第17章 振 动
一、 阻尼振动
1. 阻尼力
km
rr F弹性 f阻力
系统在振动过程中，受到
o
x
x
粘性阻力作用后，能量将随时间逐渐衰减 。系统受的粘性阻 力
14
第17章 振 动
共振现象的应用: 我国古代就有大量的应用: 天坛的回音壁 黄鹤楼上磨擦铜盆时水的共振表演
工程上的的应用 簧频计
无线电中利用谐振电路选择信号
M C
uC
0
次声武器 3~17HZ
妈呀！受不 了啦！
地震 振动频率0 – 15 Hz， 人体器官，建筑物、构筑物的本征频率都在次声波 范围内。
设驱动力按余弦规律变化 即 F H cost
由牛顿第二定律有
m
d2x dt 2
kx
dx dt
H
cos t
弹性力 阻尼力
kx
dx dt
周期性驱动力
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
h cost
F H cost
其中 02 k / m
5
/ 2m
第17章 振 动
h H /m
d2x dt 2
如果无阻尼 是谐振动的形式；
存在阻尼时
仍振动，但 能量会衰减。
2
第17章 振 动
d2x dt 2
2
dx dt
02 x
0
对应于三种不同的解，将有三种不同的运动形式。 1) 阻尼振动
当阻尼较小，即当 2 02 或 / 0 1
解 x(t) A0e t cos t 0 其中： 02 2
共振速度振幅 :
vm
h
2
v Ac0os(t)
0
x Acos(t )
2 0
0
0, / 2
速度共振时，速度与驱动力 同相，一周期内驱动力总做 正功，此时向系统输入的能 量最大。 (弱阻尼情况下,不
（速度共振曲线）
arctan( 02 2 )
11 区分速度共振、位移共振) 第17章 振 动
其解为： x(t) c1 c2 e t
也称衰减常量,
= 1/2也称时间常量
x
品质因数 Q 2
T
三种阻尼振动
临界阻尼 过阻尼
过阻尼： 0
0
临界阻尼： 0
4
欠阻尼：
0
第17章 振 动
t
欠阻尼
二 、受迫振动
1. 受迫振动
振动系统在外界驱动力的作用下振动。
2. 受迫振动的动力学方程