离散型随机变量的分布列综合题精选（附答案）1.某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖，盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖。

卡片用后入回盒子，下一位参加者继续重复进行。

（Ⅰ）活动开始后，一位参加者问：盒中有几张“海宝”卡？主持人答：我只知道，从盒中抽取两张都是“世博会会徽”卡的概率是185，求抽奖者获奖的概率； （Ⅱ）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及ξξ，D E 的值。

解：（I ）设“世博会会徽”卡有n 张，由,185292=C C n 得n=5， 故“海宝”卡有4张，抽奖者获奖的概率为612924=C C…………5分（II ）)1,4(~B ξ的分布列为)4,3,2,1,0()5()1()(44===-k C k P k k kξ.9)61(4,364=-⨯==⨯=∴ξξD E…………12分2.某运动项目设置了难度不同的甲、乙两个系列，每个系列都有K 和D 两个动作。

比赛时每位运动员自选一个系列完成，两个动作得分之和为该运动员的成绩。

假设每个运动员完成每个系列中的K 和D 两个动作的得分是相互独立的。

根据赛前训练的统计数据，某运动员完成甲系列和乙系列中的K 和D 两个动作的情况如下表： 表1：甲系列 表2：乙系列 动作K 动作 D 动作得分 90 50 20 0 概率109 101 109 101 现该运动员最后一个出场，之前其他运动员的最高得分为115分。

（1） 若该运动员希望获得该项目的第一名，应选择哪个系列？说明理由。

并求其获得第一名的概率。

（2） 若该运动员选择乙系列，求其成绩ξ的分布列及数学期望.ξE解.（1）应选择甲系列，因为甲系列最高可得到140分，而乙系列最高只可得到110分，不可能得第一名。

动作 K 动作 D 动作 得分 100804010概率4341 43 41该运动员获得第一名的概率.4343414343=⨯+⨯=p （2）ξ的可能取值有50,70,90,110。

();10081109109110=⨯==ξp ();100910110990=⨯==ξp ();100910110970=⨯==ξp ().100110110150=⨯==ξpξ110 90 70 50 P100811009 1009 10013．在本次考试中共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。

评分标准规定：‘每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。

’某考生每道题都给出一个答案。

某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。

试求出该考生：（Ⅰ）选择题得60分的概率； （Ⅱ）选择题所得分数ξ的数学期望解：（1）得分为60分，12道题必须全做对．在其余的3道题中，有1道题答对的概率为12，有1道题答对的概率为13，还有1道答对的概率为14， 所以得分为60分的概率为： 1111.23424P =⋅⋅=，。

5分 （2）依题意，该考生得分的范围为｛45，50，55，60｝. ，。

6分 得分为45分表示只做对了9道题，其余各题都做错，所以概率为112361.234484P =⋅⋅== ，。

7分 得分为50分的概率为： 212311312111.23423423424P =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=，。

8分 同理求得得分为55分的概率为：36.24P = ，。

9分 得分为60分的概率为：41.24P = ，。

10分 所以得分ξ的分布列为数学期望6160545505560424242412E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=。

12分4．某地区举办科技创新大赛，有50件科技作品参赛，大赛组委会对这50件作品分别 从“创新性”和“实用性”两项进行评分，每项评分均按等级采用5分制，若设“创新性”得分为x ，“实用性”得分为y ，统计结果如下表：（Ⅰ）求“创新性为4分且实用性为3分”的概率； （Ⅱ）若“实用性”得分的数学期望为16750，求a 、b 的值． 解：（Ⅰ）从表中可以看出，“创新性为4分且实用性为3分”的作品数量为6件，∴“创新性为4分且实用性为3分”的概率为60.1250=． …………4分 （Ⅱ）由表可知“实用性”得分y 有1分、2分、3分、4分、5分五个等级，且每个等级分别有5件，4b +件，15件，15件，8a +件． …………5分 ∴“实用性”得分y 的分布列为：又∵“实用性”得分的数学期望为50，∴541515816712345505050505050b a ++⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………10分 ∵作品数量共有50件，∴3a b +=解得1a =，2b =． ……………………13分5．一个袋中装有6个形状大小完全相同的小球，球的编号分别为1,2,3,4,5,6.（Ⅰ）若从袋中每次随机抽取1个球，有放回的抽取2次，求取出的两个球编号之和为6的概率；（Ⅱ）若从袋中每次随机抽取2个球，有放回的抽取3次，求恰有2次抽到6号球的概率；（Ⅲ）若一次从袋中随机抽取3个球，记球的最大编号为X ，求随机变量X 的分布列. 解：（Ⅰ）设先后两次从袋中取出球的编号为,m n ，则两次取球的编号的一切可能结果),(n m 有6636⨯=种， ………………2分其中和为6的结果有(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3)，共5种， 则所求概率为536. ………………4分 （Ⅱ）每次从袋中随机抽取2个球,抽到编号为6的球的概率152613C p C ==.………………6分所以，3次抽取中，恰有2次抽到6号球的概率为2223122(1)3()()339C p p -=⨯=. ………………8分（Ⅲ）随机变量X 所有可能的取值为3,4,5,6. ………………9分33361(3)20C P X C ===， 23363(4)20C P X C ===， 243663(5)2010C P X C ====，2536101(6)202C P X C ====. ………………12分所以，随机变量X 的分布列为:………………13分6．甲、乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2、红桃3、红桃4、方块4）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。

（1）设),(j i 分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙二人抽到的牌的所有情况 （2）若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌面数字比3大的概率是多少？（3）甲、乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜。

你认为此游戏是否公平？请说明你的理由.解：（1）甲、乙二人抽到的牌的所有情况为（2，3），（2，4），（2，'4），（3，2），（3，4），（3，'4），（4，2），（4，3），（4，'4），（'4，2），（'4，3），（'4，4），共12种不同情况 ………4分（2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，'4.因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为32. ……8分 （3）由甲抽到的牌比乙大有（3，2），（4，2），（4，3），（'4，2），（'4，3），共5种甲获胜的概率,1251=P 乙获胜的概率为1272=P 127125<∴此游戏不公平 ……..13分7．某地区教研部门要对高三期中数学练习进行调研，考察试卷中某道填空题的得分情况.已知该题有两空，第一空答对得3分，答错或不答得0分；第二空答对得2分，答错或不答得0分.第一空答对与否与第二空答对与否是相互独立的.从所有试卷中随机抽取1000份试卷，其中该题的得分组成容量为1000的样本，统计结果如下表：（Ⅱ）这个地区的一名高三学生因故未参加考试，如果这名学生参加考试，以样本中各种得分情况的频率（精确到0.1）作为该同学相应的各种得分情况的概率.试求该同学这道题得分ξ的数学期望.解：（Ⅰ）设样本试卷中该题的平均分为x ，则由表中数据可得:01983802069823023.011000x ⨯+⨯+⨯+⨯== ，…….3分据此可估计这个地区高三学生该题的平均分为3.01分. …….4分 （Ⅱ）依题意，第一空答对的概率为0.8，第二空答对的概率为0.3， ………6分(0)(10.8)(10.3)0.14P ξ==--= (2)(10.8)0.30.06P ξ==-= (3)0.8(10.3)0.56P ξ==-= (5)0.80.3)0.24P ξ==⋅=则该同学这道题得分ξ的分布列如下：ks5u所以E ξ=0×0.14+2×0.06+3×0.56+5×0.24=3 ……12分8．某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检测，每一件二等品通过检测的概率为23.现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品. (Ⅰ) 随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X ，求X 的分布列； (Ⅲ) 随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为A …………………………1分事件A 等于事件 “选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测” ………2分151332104106)(=⨯+=A p ………………4分 (Ⅱ) 由题可知X 可能取值为0,1,2,3.30463101(0)30C C P X C ===,21463103(1)10C C P X C ===, 12463101(2)2C C P X C ===,03463101(3)6C C P X C ===. …………8分……………9分(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为B ………10分 事件B 等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测” 所以，3111()()303810P B =⋅=. ……………13分9．某商场进行促销活动，到商场购物消费满100元就可转动转盘(转盘为十二等分的圆盘)一次进行抽奖，满200元转两次，以此类推（奖金累加）；转盘的指针落在A 区域中一等奖，奖10元，落在B 、C 区域中二等奖，奖5元，落在其它区域则不中奖．一位顾客一次购物消费268元，(Ⅰ) 求该顾客中一等奖的概率；(Ⅱ) 记ξ为该顾客所得的奖金数，求其分布列；(Ⅲ) 求数学期望E ξ(精确到0.01)．解(Ⅰ) 设事件A 表示该顾客中一等奖 1111123()212121212144P A =⨯+⨯⨯=所以该顾客中一等奖的概率是23144……4分 （Ⅱ）ξ的可能取值为20，15，10，5，0 ………5分111(20)1212144P ξ==⨯=，121(15)2121236P ξ==⨯⨯=， 221911(10)21212121272P ξ==⨯+⨯⨯=291(5)212124P ξ==⨯⨯=，999(0)121216P ξ==⨯=（每个1分）……………10分所以ξ的分布列为ξ 20 15 10 5 0P1144 136 1172 14 916………………10分（Ⅲ）数学期望111112015105 3.3314436724E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯≈…………………14分10．甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率； （Ⅱ）求签约人数的分布列和数学期望．ABC解：（Ⅰ）用A，B，C分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A，B，C相互独立，且.至少有1人面试合格的概率是（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.＝＝==∴的分布列是0 1 2 3的期望11．甲，乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59． （Ⅰ）求p 的值；（Ⅱ）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．解：（Ⅰ）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225(1)9p p +-=， 解得13p =或23p =． 又12p >，所以23p =． …………………6分 （Ⅱ）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．5(2)9P ξ==，5520(4)(1)9981P ξ==-⨯=， 52016(6)198181P ξ==--=，所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望2469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………13分12．甲班有2名男乒乓球选手和3名女乒乓球选手，乙班有3名男乒乓球选手和1名女乒乓球选手，学校计划从甲乙两班各选2名选手参加体育交流活动.（Ⅰ）求选出的4名选手均为男选手的概率.（Ⅱ）记X 为选出的4名选手中女选手的人数，求X 的分布列和期望.解：（Ⅰ）事件A 表示“选出的4名选手均为男选手”.由题意知232254()C P A C C = ………………3分11110220=⨯=. ………………5分（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. ………………6分23225431(0)10620C P X C C ====⨯， ………………7分11212333225423337(1)10620C C C C P X C C +⨯⨯+====⨯， ………………9分 21332254333(3)10620C C P X C C ⨯====⨯， ………………10分 (2)1(0)(1)(3)P X P X P X P X ==-=-=-=920=. ………………11分 X………………12分179317()01232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………13分13．为振兴旅游业，某省2009年面向国内发行了总量为2000万张的优惠卡，其中向省外人士发行的是金卡，向省内人士发行的是银卡。