第三章 一元函数积分学§3．1 不定积分甲 内容要点一．基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()⎰dx x f 。

其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。

2．不定积分的性质 设()()C x F dx x f +=⎰，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。

则（1）()()C x F dx x F +='⎰或 ()()⎰+=C x F x dF （2）()[]()x f dx x f ='⎰ 或 ()[]()dx x f dx x f d =⎰（3）()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （4）()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f3．原函数的存在性设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。

例如()⎰dx x 2sin ，()⎰dx x 2cos ，⎰dx x x sin ，⎰dx x x cos ，⎰x dx ln ，dx e x ⎰-2等。

被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

二．基本积分公式1．C x dx x ++=⎰+11ααα()，实常数1-≠α 2．⎰+=C x dx x ln 13．⎰+=C a adx a x xln 1 ()1,0≠>a aC e dx e x x +=⎰4．⎰+=C x xdx sin cos 5．⎰+-=C x xdx cos sin6．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 227．C x dx xxdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 228．C x xdx x +=⎰sec sec tan 9．C x xdx x +-=⎰csc csc cot 10．C x xdx +-=⎰cos ln tan 11．C x xdx +=⎰sin ln cot 12．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 14．⎰+=-C axx a dx arcsin22 ()0>a 15．C axa x a dx +=+⎰arctan 122 ()0>a 16．C x a x a a x a dx +-+=-⎰ln 2122 ()0>a17．C a x x a x dx +±+=±⎰2222ln ()0>a三．换元积分法和分部积分法1．第一换元积分法（凑微分法） 设()()C u F du u f +=⎰，又()x ϕ可导，则()[]()()[]()()()du u f x u x d x f dx x x f ⎰⎰⎰=='ϕϕϕϕϕ令()()[]C x F C u F +=+=ϕ这里要求读者对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。

常用的几种凑微分形式：（1）()()()⎰⎰++=+b ax d b ax f adx b ax f 1()0≠a （2）()()()⎰⎰++=+-b ax d b ax f na dx x b ax f nn n n 11 ()0,0≠≠n a（3）()()()x d x f x dxx f ln ln ln ⎰⎰=（4）⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰⎰x d x f x dx x f 1112 （5）()()()⎰⎰=x d x f x dx x f2 （6）()()()⎰⎰=xx x x a d a f adx a a f ln 1 ()1,0≠>a a ()()()⎰⎰=xx xxe d ef dx e e f（7）()()()⎰⎰=x d x f xdx x f sin sin cos sin （8）()()()⎰⎰-=x d x f xdx x f cos cos sin cos （9）()()()⎰⎰=x d x f xdx x f tan tan sec tan 2（10）()()()⎰⎰-=x d x f xdx x f cot cot csccot 2（11）()()()⎰⎰=x d x f xdx x x f sec sec tan sec sec （12）()()()⎰⎰-=x d x f xdx x x f csc csc cot csc csc（13）()()()⎰⎰=-x d x f dx xx f arcsin arcsin 1arcsin 2（14）()()()⎰⎰-=-x d x f dx xx f arccos arccos 1arccos 2（15）()()()⎰⎰=+x d x f dx x x f arctan arctan 1arctan 2 （16）()()()⎰⎰-=+x arc d x arc f dx xx arc f cot cot 1cot 2（17）⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛x d x f dx x x f 1arctan 1arctan 11arctan 2 （18）()[]()[]()()⎰⎰++++=+++22222222ln ln ln a x x d a x x f dx ax a x x f ()0>a（19）()[]()[]()()⎰⎰-+-+=--+22222222ln ln ln a x x d a x x f dx ax a x x f ()0>a（20）()()()C x f dx x f x f +='⎰ln ()()0≠x f2．第二换元积分法设()t x ϕ=可导，且()0≠'t ϕ，若()[]()()C t G dt t t f +='⎰ϕϕ，则()()()[]()()()[]C x G C t G dt t t f t x dx x f +=+='=⎰⎰-1ϕϕϕϕ令其中()x t 1-=ϕ为()t x ϕ=的反函数。

第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类： 第一类：被积函数是x 与n b ax +或x 与ndcx b ax ++或由xe 构成的代数式的根式，例如b ae x +等。

只要令根式()t x g n =，解出()t x ϕ=已经不再有根式，那么就作这种变量替换()t x ϕ=即可。

第二类：被积函数含有()0 2≠++A C Bx Ax ，如果仍令t C Bx Ax =++2解出()t x ϕ=仍是根号，那么这样变量替换不行，要作特殊处理，将0>A 时先化为()[]220l x x A ±-，0<A 时，先化为()()[]202x x l A ---然后再作下列三种三角替换之一：根式的形式所作替换三角形示意图（求反函数用）22x a -t a x sin =22x a +t a x tan =22a x -t a x sec =比较简单。

例1．()22222221a x d a x dx a x x --=-⎰⎰()C a xC u du u u a x +-=+==-⎰3222322313121令例2．()⎰⎰⎰-=+++=+2222222222222121dt a t t t a x a x d xa x dx x a x 令 ⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=-=dt a t a dt a t t 2222221 C xa a x a a a a x C t a t a a t ++++-++=++-+=222222ln 2ln2 例3．()⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫⎝⎛+=>+22221111101x x d x x dx x x xdx()C x x C tt tdt t x+⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫⎝⎛++-=+++-=+-=⎰222111ln 1ln 11令3．分部积分法设()x u ，()x v 均有连续的导数，则()()()()()()⎰⎰-=x du x v x v x u x dv x u或()()()()()()⎰⎰'-='dx x v x u x v x u dx x v x u使用分部积分法时被积函数中谁看作()x u 谁看作()x v '有一定规律。

（1）()axn e x P ，()ax x P n sin ，()ax x P n cos 情形，()x P n 为n 次多项式，a 为常数，要进行n 次分部积分法，每次均取axe ，ax sin ，ax cos 为()x v '；多项式部分为()x u 。

（2）()x x P n ln ，()x x P n arcsin ，()x x P n arctan 情形，()x P n 为n 次多项式取()x P n 为()x v '，而x ln ，x arcsin ，x arctan 为()x u ，用分部积分法一次，被积函数的形式发生变化，再考虑其它方法。

（3）bx e axsin ，bx e axcos 情形，进行二次分部积分法后要移项，合并。

（4）比较复杂的被积函数使用分部积分法，要用凑微分法，使尽量多的因子和dx 凑成()x dv 。

乙 典型例题 一．直接积分法所谓直接积分法就是用代数或三角恒等式，并用积分的性质和基本积分公式能直接求出不定积分，它要求初等数学有关公式很熟练。

例1．求()dx xx ⎰-21解：原式⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-=-dx x x x dx xx x 2321212221 C x x x ++-=25232152342例2．求下列不定积分（1）⎰++dx x x 1124 （2）()⎰+1x x dx（3）⎰+-232x x dx（4）()⎰+122x x dx 例3．求dx xxx ⎰⋅-⋅32532 例4．求下列不定积分（1）⎰xdx 2tan （2）⎰⋅x x dx22cos sin例5．求下列不定积分 （1）⎰dx x 2sin2（2）⎰-dx xx x sin cos 2cos （3）⎰dx xx x22cos sin 2cos （4）⎰++dx x x 2cos 1cos 12 分析：三角函数中的倍角公式1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=x x x x x ，在不定积分的计算中常可起到简化计算的作用。