解直角三角形应用题考点一、直角三角形的性质1、直角三角形的两个锐角互余可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90°2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

∠A=30°可表示如下： ⇒BC=21AB ∠C=90°3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90°可表示如下： ⇒CD=21AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项∠ACB=90° BD AD CD •=2⇒ AB AD AC •=2 CD ⊥AB AB BD BC •=2 6、常用关系式由三角形面积公式可得： AB •CD=AC •BC考点二、直角三角形的判定 （3~5分）1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

3、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。

考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90°①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即casin =∠=斜边的对边A A②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即cbcos =∠=斜边的邻边A A③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即batan =∠∠=的邻边的对边A A A④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即abcot =∠∠=的对边的邻边A A A2、锐角三角函数的概念锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值4、各锐角三角函数之间的关系 （1）互余关系 sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A) tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A) （2）平方关系1cos sin 22=+A A5、锐角三角函数的增减性 当角度在0°~90°之间变化时，（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） （3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小） （4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大） 考点四、解直角三角形 （3~5） 1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

2、解直角三角形的理论依据在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ，b ，c（1）三边之间的关系：222c b a =+（勾股定理） （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90° （3）边角之间的关系：ba B ab Bc a B c b B a b A b a A c b A c a A ========cot ,tan ,cos ,sin ;cot ,tan ,cos ,sin初三数学解直角三角形的应用 知识精讲【同步教育信息】 一. 本周教学容：解直角三角形的应用［学习目标］1. 了解解直角三角形在测量及几何问题中的应用。

2. 掌握仰角、俯角、坡度等概念，并会解有关问题。

3. 会用直角三角形的有关知识解决某些简单实际问题。

二. 重点、难点： 1. 仰角、俯角在进行测量时，视线与水平线所成角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角。

视线在水平线下方的叫做俯角。

2. 坡度坡面的铅直高度h 和水平宽度L 的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i 表示，即i hL=。

如果把坡面与水平面的夹角记作α（叫做坡角），那么i hL==tan α。

3. 直角三角形在实际问题中的应用在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的作用。

具体来说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形的边，角之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了。

［教学难点］运用解直角三角形的知识，结合实际问题示意图，正确选择边角关系，解决实际问题。

【典型例题】例1. “曙光中学”有一块三角形形状的花圃ABC ，现可直接测量到∠A=30°，AC=40米，BC=25米，请你求出这块花圃的面积。

解：分两种情况计算（1）如图1，过C 作CD ⊥AB 于D ，则图1CD AD AC ===2030203，·°cos DB CB CD =-=2215，故S AB CD ABC △·×==+=+121220315202003150()()（米2）（2）如图2，过C作CD⊥AB且交AB的延长线于D，图2由（1）可得CD=20，AD DB==20315，，所以S AB CDABC△·==+122003150()（米2）点拨：通过作高，把解某些斜三角形的问题转化为解直角三角形的问题。

例2. 某片绿地的形状如图3所示，其中∠A=60°，AB⊥BC，AD⊥CD，AB=200m，CD=100m，求AD、BC的长。

（精确到1m，31732≈.）图3解：延长AD，交BC的延长线于点E，可构成两个直角三角形，在Rt△ABE中，∠A=60°，AB=200m∴·BE AB A==tan2003(m)AEABm===cos()6020012400°在Rt△CDE中，∠CED=30°，CD=100m∴·∠DE CD CED m==cot()1003CECDCEDm===sin∠10012200∴AD AE DE m=-=-4001003227≈()BC BE CE m=-=-2003200146≈()点拨：其他四边形，如平行四边形，梯形等，常通过作高实现多边形向直角三角形转化。

例3. 如图4所示，某电视塔AB 和楼CD 的水平距离为100米，从楼顶C 处及楼底D 处测得塔顶A 的仰角分别为45°和60°，试求塔高和楼高。

图4（精确到0.1m ，参考数据：214142317320==..，）解：在Rt △ADB 中，∵∠ADB=60°，DB=100m ，∴AB DB ADB m ====tan tan .()∠×°10060100317320 在△ACE 中，∠ACE=45° ∴AE=CE=100∴CD EB AB AE m ==-=-=173********..()答：电视塔高是173.2m ，楼高是73.2m 。

点拨：搞清仰角、俯角等概念，同时要找合适的直角三角形。

例4. 如图5，在比水面高2m 的A 地，观测河对岸有一直立树BC 的顶部B 的仰角为 30°，它在水中的倒影B'C 顶部B'的俯角是45°，求树高BC （结果保留根号）图5解：设树高BC=x(m)，过A 作AE ⊥BC 于E ， 在Rt △ABE 中，BE x BAE BAE AEBE =-==230，∠°，∠cot ∴AE BE BAE x x ==-=-·∠·cot ()()2332∵∠B'AE=45°，AE ⊥BC ∴B E AE x '()==-32又∵B E B C EC BC AD x ''=+=+=+2∴x m =+()()423 答：树高BC 为()423+m点拨：树与树的倒影长度相等，即BC=B'C ，是此题的隐含条件。

例5. 为防水患，在漓江上游修筑防洪堤，其横截面为一梯形，如图6，堤的上底宽AD 和堤高DF 都是6米，其中∠B=∠CDF 。

图6（1）求证：△ABE ∽△CDF ；（2）如果tanB=2，求堤的下底BC 的长。

（1）证明：∵AE ⊥BC ，DF ⊥BC ∠B=∠CDF∴△ABE ∽△CDF（2）解：在Rt △ABE 中，tan B AEBE==2， ∴BE AE==23 在Rt △CDF 中，tan tan ∠CDF CFDFB ===2 ∴CF=2DF=12∴BC BE EF CF m =++=++=361221()答：堤的下底BC 的长是21m 。

点拨：与堤坝有关的问题，首先要搞清坡度（坡比），坡角等概念，同时还要将四边形问题转化为解直角三角形。

例6. 如图7，水库的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡CD 坡度i'=1：1，斜坡AB 坡度i =13：，求斜坡AB 的长及坡角α和坝底宽AD （精确到0.1m ）。

图7 解：过B ，C 两点分别作BE ⊥AD 于E ，CF ⊥AD 于F ， 则B E CF ==23m ， 在Rt △ABE 中，tan α===i 1333∴°，∴α===30246AB BE m () ∵i BE AE AE ===132313，即， ∴AE m =233() 在Rt △CFD 中，i CF FD '==11∴FD=CF=23（m ）∴AD AE EF FD =++=++=+23362329233≈×≈29231732688+..()m 答：斜坡AB 长4m ，坡角α为30°，坝底宽AD 约为68.8m 。

点拨：求出近似值要符合题目要求。

例7. 如图8，某轮船沿正北方向航行，在A 点处测得灯塔C 在北偏西30°，船以每小时20海里的速度航行2小时到达B 点后，测得灯塔C 在北偏西75°，问当此船到达灯塔C 的正东方时，船距灯塔C 有多远？（结果保留两位有效数字）？图8解：在△ABC 中，AB=20×2=40（海里），∠A=30° ∠°°°，BCA =-=753045过B 作BE ⊥AC 于E则AE AB ===cos304032203°×（海里） BE AB ===sin30401220°×（海里） ∴AC AE CE BE =+=+=+=+203203202031()（海里） 过C 作CD ⊥AB 于D ，则CD CA ==+sin ().3010312732°≈（海里） 答：船到达灯塔正东时，它距灯塔27.32海里。