λ (3) m
3.006 3.002 3 3.009 3
CI(3) 0.003 0.001 0 0.005 0
CR(3)
RI(3)
0.58 0.58 0.58 0.58 0.58
0.019
再谈层次分析法的基本步骤
1）建立层次分析结构模型
深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标— 准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内 各因素基本上相对独立。
w( 2 )
(w1(2) ,
, w ) (2) T n
第1层O 第2层C1,…Cn
第3层对第2层各元素的权向量 第3层P1, …Pm
w(3) k
(w(3) k1
,
,
w(3) km
)T
,
k
1,2,
,n
构造矩阵
W (3)
[w(3) 1
,
,
w(3) n
]
则第3层对第1层的组合权向量
w W w (3)
通过一致 性检验
组合权向量
记第2层（准则）对第1层（目标）
的权向量为 w( 2)
(w1(2) ,
, w ) (2) T n
同样求第3层(方案)对第2层每一元素(准则)的权向量
方案层对C1(景色) 的成对比较阵
方案层对C2(费用) 的成对比较阵
…Cn
1 2 5
B1 1/ 2 1
2
1/ 5 1/ 2 1
数学建模中的 层次分析法
层次分析法简介
• 层次分析法是萨蒂（saaty) 等人20世纪 70年代提出的一种决策方法。它是将半 定性、半定量问题转化为定量问题的有 效途径，它将各种因素层次化，并逐层 比较多种关联因素，为分析和预测事物 的发展提供可的定量依据。
• 层次分析法在决策工作中有广泛的应用。 主要用于确定综合评价的权重系数。层 次分析法所用数学工具主要是矩阵运算。
1 1/ 3 1/8
B 2
3
1
1/ 3
8 3 1
…Bn
最大特征根 1
2
… n
权向量
w1(3)
w2(3)
… wn(3)
（2）考虑第3层对第2层 由1–9尺度得
1 2 5
1 1 3 1 8
1 1 3
B1 1 2
1
2 B2 3
1
1 3
B3
2
1 3
1 5 1 2 1
8 3 1
1 3 1 3 1
1 3 4
1 1 1 4
B4 1 3 1 1 B5 1 1 1 4
1 4 1 1
4 4 1
(3) max
(3.006, 3.002, 3, 3.009, 3)
权向量矩阵
0.595 0.082 0.429 0.634 0.167 W (3) 0.276 0.236 0.429 0.192 0.167
• 相应的综合评价公式是
• Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3 • 如果用同样的分制来给作品的三个指
标评分，由以上公式算出的便是作品综 合评分y。
例2. 选择旅游地
如何在3个目的地中按照景色、费用、居 住条件等因素选择.
目标层
O(选择旅游地)
准则层
C1 景色
C2 费用
C3 居住
C4 饮食
wi0 , wi 1
i 1
对权重系数的量化过程
（1）成对比较 从 x1,x2,…xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献
（重要程度）的大小，按照以下标度给xi/xj赋值： xi/xj＝1，认为“xi与xj重要程度相同” xi/xj＝3，认为“xi比xj重要程度略大” xi/xj＝5，认为“xi比xj重要程度大” xi/xj＝7，认为“xi比xj重要程度大很多” xi/xj＝9，认为“xi比xj重要程度绝对大”
当比值为2，4，6，8 时认为介于前后中间状态。
（2）建立逆对称矩阵
由xi/xj建立n阶方阵A (3) 迭代
按下列方法求向量迭代序列：
e0=( 1/n 1/n … 1/n)T
e’k=Aek-1 || e’k||为Aek-1 的n个分量之和
ek= e’k / || e’k|| , k=1,2, …
数列｛ 记e=(a1
CI k
0.003
0.001
0
0.005 0
RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验 方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ …=0.300 方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T
旅游决策问题计算结果
λ (2) m
CI(2)
CR(2)
权向量C对U 0.264 0.476 0.054 0.098 0.109
k1
0.595
w(3) 0.277 k 0.129
k
3.005
2 0.082 0.236 0.682
3.002
3 0.429 0.429 0.142
3
4 0.633 0.193 0.175
5 0.166 0.166 0.668
3.009 3
w(2) 0.263 0.475 0.055 0.090 0.110
层次分析法简介
一、层次分析法基本原理
分解
建立
实际问题
多个因素
层次结构
确定 诸因素的相 计算 对重要性
判断
权向量
综合决策
二、层次分析法基本步骤
一、确定权系数
设x1,x2,…xn为对应各因素的决策变量。 其线性组合：
y=w1x2+w2x2+ …+wnx 是综合评判函数。
w1,w2,
… n
wn是权重系数，其满足：
1.991
0.661
0.471
0.156
e3 0.559 , e3 3.018, e3 0.185
1.998
0.659
0.473
0.156
e4 0.561 , e4 3.028, e4 0.185
1.994
0.659
• 由于e4=e3 ,迭代经过4次中止，权系数是 w1=0.156, w2=0.185, w3=0.659
一致性检验 对A确定不一致的允许范围 已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n
可证：n 阶正互反阵最大特征根 n, 且 =n时为一致阵
定义一致性指标: CI n CI 越大，不一致越严重
n 1
为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI——随机模
拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。 Saaty的结果如下
1
3
e0
1 3
1
3
1 1 1
5
A
1
1
1 3
5 3 1
0.733 e1 Ae0 0.788
3
e1 4.511
0.733 0.162
1
e1
4.511 0.788 3 来自0.172 0.665
0.467
0.155
e2 0.565 , e2 3.014, e2 0.184
0.128 0.682 0.142 0.174 0.667
（3）组合权向量
0.595 (3) 0.276
0.128
0.082 0.236 0.682
0.299 0.245
0.455
0.429 0.429 0.142
0.634 0.192 0.174
0.264 000...611666777 000...040579468
• A的归一化特征向量可作为权向量
对于不一致(但在允许范围内)的成对
比较阵A，建议用对应于最大特征根
的特征向量作为权向量w ，即
Aw w
成对比较阵和权向量 Saaty等人提出1~9尺度——aij 取值 比较尺度aij 1,2,… , 9及其互反数1,1/2, … , 1/9
• 便于定性到定量的转化：
2）构造成对比较阵
用成对比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的 成对比较阵。
3）计算权向量并作一致性检验
对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性 检验，若通过，则特征向量为权向量。
4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）
组合权向量可作为决策的定量依据。
组合 权向量
第2层对第1层的权向量
1 1/ 2
2
1
A 1/ 4 1/ 7
1/ 3
1/ 5
1/ 3 1/ 5
4 3 3
7
5
5
1 1/ 2 1/ 3
2
1
1
3 1 1
权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T
一致性指标 CI 5.073 5 0.018 5 1
随机一致性指标 RI=1.12 (查表) 一致性比率CR=0.018/1.12=0.016<0.1
w1 w2
w1
wn
w2
wn
wn
wn
成对比较阵和权向量 成对比较完全一致的情况 满足 aij a jk aik , i, j, k 1,2, , n
w1
w1
w1
w2
w2
w2
A
w1
w2
的正互反阵A称一致阵，如
wn
wn
w1
w2
w1
wn
w2
wn
wn
wn
一致阵 • A的秩为1，A的唯一非零特征根为n 性质 • A的任一列向量是对应于n 的特征向量
C5 旅途