实验八 离散系统的Z 域分析一、目的（1）掌握利用MATLAB 绘制系统零极点图的方法 （2）掌握离散时间系统的零极点分析方法（3）掌握用MATALB 实现离散系统频率特性分析的方法 （4）掌握逆Z 变换概念及MATLAB 实现方法二、离散系统零极点线性时不变离散系统可用线性常系数差分方程描述，即()()N Miji j a y n i b x n j ==-=-∑∑ （8-1）其中()y k 为系统的输出序列，()x k 为输入序列。

将式（8-1）两边进行Z 变换的00()()()()()Mjjj Nii i b zY z B z H z X z A z a z-=-====∑∑ （8-2） 将式（8-2）因式分解后有：11()()()Mjj Nii z q H z Cz p ==-=-∏∏ （8-3）其中C 为常数，(1,2,,)j q j M =为()H z 的M 个零点，(1,2,,)i p i N =为()H z 的N 个极点。

系统函数()H z 的零极点分布完全决定了系统的特性，若某系统函数的零极点已知，则系统函数便可确定下来。

因此，系统函数的零极点分布对离散系统特性的分析具有非常重要意义。

通过对系统函数零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：● 系统单位样值响应()h n 的时域特性； ● 离散系统的稳定性； ● 离散系统的频率特性；三、离散系统零极点图及零极点分析 1．零极点图的绘制设离散系统的系统函数为()()()B z H z A z =则系统的零极点可用MATLAB 的多项式求根函数roots()来实现，调用格式为：p=roots(A)其中A 为待根求多项式的系数构成的行矩阵，返回向量p 则是包含多项式所有根的列向量。

如多项式为231()48B z z z =++，则求该多项式根的MATLAB 命令为为：A=[1 3/4 1/8];P=roots(A) 运行结果为： P =-0.5000 -0.2500需注意的是，在求系统函数零极点时，系统函数可能有两种形式：一种是分子、分母多项式均按z 的降幂次序排列；另一种是分子、分母多项式均按1z -的升幂次序排列。

这两种方式在构造多项式系数向量时稍有不同。

（1）()H z 按z 的降幂次序排列：系数向量一定要由多项式最高次幂开始，一直到常数项，缺项要用0补齐；如34322()3221z zH z z z z z +=++++其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 0 2 0]、B=[1 3 2 2 1]。

（2）()H z 按1z -的升幂次序排列：分子和分母多项式系数向量的维数一定要相同，不足的要用0补齐，否则0z =的零点或极点就可能被漏掉。

如11212()11124z H z z z ---+=++其分子、分母多项式系数向量分别为A=[1 2 0]、B=[1 1/2 1/4]。

用roots()求得()H z 的零极点后，就可以用plot()函数绘制出系统的零极点图。

下面是求系统零极点，并绘制其零极点图的MATLAB 实用函数ljdt()，同时还绘制出了单位圆。

function ljdt(A,B)% The function to draw the pole-zero diagram for discrete system p=roots(A); %求系统极点 q=roots(B); %求系统零点 p=p'; %将极点列向量转置为行向量 q=q'; %将零点列向量转置为行向量 x=max(abs([p q 1])); %确定纵坐标范围 x=x+0.1; y=x; %确定横坐标范围 clf hold onaxis([-x x -y y]) %确定坐标轴显示范围 w=0:pi/300:2*pi; t=exp(i*w); plot(t) %画单位园 axis('square') plot([-x x],[0 0]) %画横坐标轴 plot([0 0],[-y y]) %画纵坐标轴 text(0.1,x,'jIm[z]') text(y,1/10,'Re[z]')plot(real(p),imag(p),'x') %画极点 plot(real(q),imag(q),'o') %画零点 title('pole-zero diagram for discrete system') %标注标题hold off例1：绘制如下系统函数的零极点（1）32323510 ()375z z zH zz z z-+=-+-（2）11210.5()31148zH zz z----=++解：MATLAB命令如下（1）A=[1 -3 7 -5];B=[3 -5 10 0];ljdt(A,B)绘制的零极点图如图8-1（a）所示。

（2）A=[1 3/4 1/8];B=[1 -0.5 0];ljdt(A,B)绘制的零极点图如图8-1（b）所示。

2．离散系统零极点分析（1）离散系统零极点分布与系统稳定性《信号与系统》课程已讲到离散系统稳定的条件为：●时域条件：离散系统稳定的充要条件为()nh n∞=-∞<∞∑，即系统单位样值响应绝对可和；●Z域条件：离散系统稳定的充要条件为系统函数()H z的所有极点均位于Z平面的单位圆内。

对于三阶以下的低阶系统，可以利用求根公式求出系统函数的极点，从而判断系统的稳定性，但对于高阶系统，手工求解则显得十分困难，这时可以利用MATLAB来实现。

实现方法是调用前述的函数ljdt()绘出系统的零极点图，然后根据极点的位置判断系统的稳定性。

例2：系统函数如例1所示，判断两个系统的稳定性。

（a）（b）图8-1 离散系统的零极点图解：由例1绘出的零极点图可以看出两个系统的稳定性分别为：第（1）个系统不稳定；第（2）个系统稳定。

（2）零极点分布与系统单位样值时域特性的关系 从《信号与系统》课程中已经得知，离散系统的系统函数()H z 与单位样值响应()h n 是一对Z 变换对；因而，()H z 必然包含了()h n 的固有特性。

离散系统的系统函数可以写成11()()()Mjj Nii z q H z Cz p ==-=-∏∏ （8-4）若系统的N 个极点均为单极点，可将()H z 进行部分分式展开为：1()Ni i i k zH z z p ==-∑ （8-5）由Z 逆变换得：1()()()Nn i i i h n k p u n ==∑ （8-6）从式（8-5）和（8-6）可以看出离散系统单位样值响应()h n 的时域特性完全由系统函数()H z 的极点位置决定。

从《信号与系统》的学习中已经得出如下规律： ● ()H z 位于Z 平面单位圆内的极点决定了()h n 随时间衰减的信号分量； ● ()H z 位于Z 平面单位圆上的一阶极点决定了()h n 的稳定信号分量；● ()H z 位于Z 平面单位圆外的极点或单位圆上高于一阶的极点决定了()h n 的随时间增长的信号分量；下面以例子证明上述规律的正确性：例3：已知如下系统的系统函数()H z ，试用MATLAB 分析系统单位样值响应()h n 的时域特性。

（1）1()1H z z =-，单位圆上的一阶实极点；（2）21()2cos()18H z z z π=-+，单位圆上的一阶共轭极点；（3）2()(1)zH z z =-，单位圆上的二阶实极点； （4）1()0.8H z z =-，单位圆内的一阶实极点；（5）21()(0.5)H z z =-，单位圆内的二阶实极点； （6）1() 1.2H z z =-，单位圆外的一阶实极点；解：利用MATLAB 提供的函数impz()绘制离散系统单位样值响应波形，impz()基本调用方式为（其他方式，请读者参看MATLAB 帮助）：impz(b,a,N)，其中，b 为系统函数分子多项式的系数向量，a 为系统函数分母多项式的系数向量，N 为产生序列的长度；需要注意的是，b 和a 的维数应相同，不足用0补齐，例如2211()(1)21H z z z z ==--+的b=[0 0 1]，a=[1 –2 1]。

下面是求解个系统单位样值响应的MATLAB 命令： （1）a=[1 -1];b=[0 1]; impz(b,a,10)运行结果如图8-2（a ）所示。

（2）a=[1 –2*cos(pi/8) 1];b=[0 0 1]; impz(b,a,50)运行结果如图8-2（b ）所示。

（3）a=[1 -2 1];b=[0 1 0]; impz(b,a,10)运行结果如图8-2（c ）所示。

（4）a=[1 -0.8];b=[0 1]; impz(b,a,10)运行结果如图8-2（d ）所示。

（5）a=[1 -1 0.25];b=[0 0 1]; impz(b,a,10)运行结果如图8-2（e ）所示。

（6）a=[1 -1.2];b=[0 1]; impz(b,a,10)运行结果如图8-2（f ）所示。

（a ）（b ）图8-2 系统的单位样值响应四、离散系统频率特性分析1．离散系统的频率响应()j H e ω对于某因果稳定离散系统，如果激励序列为正弦序列：0()sin()()x n A n u n ω= 则，根据《信号与系统》课程给出的结果有，系统的稳态响应为：()()sin[()]()j ss y n A H e n u n ωωϕω=+定义离散系统的频率响应为()()()()j j j j z e H e H z H e e ωωωϕω=== 其中，()j H e ω——称为离散系统的幅频特性；()ϕω——称为离散系统的相频特性；()j H e ω是以2π为周期的周期函数，只要分析()j H e ω在ωπ≤范围内的情况，便可分析出系统的整个频率特性。

2．用MATLAB 实现离散系统的频率特性分析方法 （1）直接法（c ）（d ）（e ）（f ）图8-2 系统的单位样值响应（续）设某因果稳定系统的系统函数()H z ，则系统的频响特性为：()()()()j j j j z e H e H z H e e ωωωϕω===MATLAB 提供了专门用于求离散系统频响特性的函数freqz()，调用freqz()的格式有以下两种：● [H,w]=freqz(B,A,N)B 和A 分别为离散系统的系统函数分子、分母多项式的系数向量，N 为正整数，返回量H 则包含了离散系统频响()j H e ω在0~π范围内N 个频率等分点的值，向量w 则包含0~π范围内N 个频率等分点。

调用中若N 默认，默认值为512。