数列的综合运用 ——放缩法
1.证明： 1 2
1
1 22
1
1 23
1
1 2n
1
1
2.证明： 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 < 1
a1 a2
an 2
3.证明：1 3 5 2n 1 1
246
2n 2n 1
4.证明：1
1
1 n2
4
要证明的这些不等式的左侧，结构上有什么共性？
求数列的前n项和有哪些方法呢？
2.为了能求和，放缩为可裂项相消模式
1
可放缩为 1 ，
an2 bn c
an(n b )
bZ a
a
1 可放缩为 1 ， 1
n2
n2 1 n(n 1)
1 可放缩为 2
n
n n1
3.能放也要能收(局部放缩)
4.为了能够求积，放缩为可前后相约模式
5.形如(**)n的模型，常可考虑二项展开式放缩
体验高考
【拓展 2】在数列{an}中， an 2n2 3n 1 (n∈N*)
证明：
1 a1
＋
1 a2
＋…＋
1 an
<152
局部放缩
【热身3】log 2 3 log 3 4 log4 5 log127 128 __7_____
左边 lg 3 lg 4 lg 5 ...... lg 127 lg 128
数 列an 的 通 项 公 式an
3n
2n, 证明：1 a1
1 a2
1 an
3 2
(改 于2012年 广 东 卷19题)
【课后思考题】数列an的通项公式an 3n 2n,
证明：1 1 1 13
a1 a2
an 10
课后练习
【练习1】证明：1＋ 1 ＋…＋ 1 > n (n＞1，n∈N*)．
热
身2】 1 4
1 12
1 24
2n2
1
2n
n
________________
2(n 1)
【例 2】在数列{an}中， an 2n2 3n 1 (n∈N*)
证明： 1 ＋ 1 ＋…＋ 1 < 1
a1 a2
an 2
1
可放缩为 1
an2 bn c
an(n b )
a
为了能求和，放缩为可裂项相消模式
2
n
【练习2】证明：1
1 4
1 9
1 n2
7 4
【练习3】已知数列an的通项公式为an
Sn为数列an的前n项和
证明：n(n 2
1)
Sn
(n
1பைடு நூலகம்2 2
n(n 1)，
总结
1.为求和，放缩为等比数列 2.为求和，放缩为可裂项相消模式 3.能放也要能收(局部放缩) 4.为求积，放缩为前后相约模式 5.形如(**)n的模型，常可用二项展开式放缩
lg 2 lg 3 lg 4
lg 126 lg 127
lg 128 lg 2
log2 128
7
【例3】证明：1 3 5 2n 1 1
246
2n 2n 1
(改 于2009广 东 卷21题)
为了求积，放缩为可前后相约模式
【拓展3(思考题)】证明： 3n 1 3 3n 1
3n 2
【例4】设n 1, n N *，求证（3）n (n 1)(n 2)
【分析】问题等价于证明：
2
8
(1
1 2
)n
C
0 n
C
1 n
(
1 2
)1
Cn2
(
1 2
)2
Cnn
(
1 2
)n
n n 8
一般地，求证含有形如(**)n的不等式，常可考 虑用二项展开式舍去一些项进行放缩
题后反思、小结
1.为了能求和，放缩为等比数列
公式法 错位相减法 裂项相消
分组（分类）
倒序相加法
1 1 【热身1】1 2
1 22
1 23
1 2n
______
n
【例1】证明：1 2
1
1 22
1
1 23
1
1 2n
1
1
为了能够求和，放缩为等比数列模式
【拓展1】证明：32
1 21
33
1 22
34
1 23
1 3n1
2n
1 4
【