2.6.2 求曲线的方程 2.6.3 曲线的交点学习目标 1.了解求曲线方程的步骤，会求简单曲线的方程.2.掌握求两条曲线交点的方法.3.领会运用坐标法研究直线与圆锥曲线的位置关系．知识点一 坐标法的思想思考1 怎样理解建立平面直角坐标系是解析几何的基础？答案 只有建立了平面直角坐标系，才有点的坐标，才能将曲线代数化，进一步用代数法研究几何问题．思考2 依据一个给定的平面图形，选取的坐标系唯一吗？ 答案 不唯一，常以得到的曲线方程最简单为标准．梳理 (1)坐标法：借助于坐标系，通过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法． (2)解析几何研究的主要问题：①通过曲线研究方程：根据已知条件，求出表示曲线的方程． ②通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究曲线的性质． 知识点二 求曲线的方程的步骤 1．建系：建立适当的坐标系．2．设点：设曲线上任意一点M 的坐标为(x ，y )． 3．列式：列出符合条件p (M )的方程f (x ，y )＝0. 4．化简：化方程f (x ，y )＝0为最简形式．5．证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 知识点三 曲线的交点已知曲线C 1：f 1(x ，y )＝0和C 2：f 2(x ，y )＝0.(1)P 0(x 0，y 0)是C 1和C 2的公共点⇔⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x 0，y 0)＝0.f 2(x 0，y 0)＝0，(2)求两曲线的交点，就是求方程组⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x ，y )＝0，f 2(x ，y )＝0的实数解．(3)方程组有几组不同的实数解，两条曲线就有几个公共点；方程组没有实数解，两条曲线就没有公共点．1．x 2＋y 2＝1(x ＞0)表示的曲线是单位圆．(×)2．若点M (x ，y )的坐标是方程f (x ，y )＝0的解，则点M 在曲线f (x ，y )＝0上．(√)3．方程y ＝x 与方程y ＝x 2x表示同一曲线．(×)4．曲线xy ＝2与直线y ＝x 的交点是(2，2)．(×)类型一 直接法求曲线的方程例1 一个动点P 到直线x ＝8的距离是它到点A (2,0)的距离的2倍．求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则|8－x |＝2PA . 则|8－x |＝2(x －2)2＋(y －0)2， 化简，得3x 2＋4y 2＝48，故动点P 的轨迹方程为3x 2＋4y 2＝48. 引申探究若本例中的直线改为“y ＝8”，求动点P 的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，则P 到直线y ＝8的距离d ＝|y －8|， 又PA ＝(x －2)2＋(y －0)2， 故|y －8|＝2(x －2)2＋(y －0)2， 化简，得4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0.故动点P 的轨迹方程为4x 2＋3y 2－16x ＋16y －48＝0. 反思与感悟 直接法求动点轨迹的关键及方法 (1)关键：①建立恰当的平面直角坐标系； ②找出所求动点满足的几何条件．(2)方法：求曲线的方程遵循求曲线方程的五个步骤，在实际求解时可简化为三大步骤：建系、设点；根据动点满足的几何条件列式；对所求的方程化简、证明． 特别提醒：直接法求动点轨迹方程的突破点是将几何条件代数化．跟踪训练1 已知两点M (－1,0)，N (1,0)，且点P 使MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列．求点P 的轨迹方程． 解 设点P (x ，y )，由M (－1,0)，N (1,0)， 得PM →＝－MP →＝(－1－x ，－y )， PN →＝－NP →＝(1－x ，－y )， MN →＝－NM →＝(2,0)．∴MP →·MN →＝2(x ＋1)，PM →·PN →＝x 2＋y 2－1， NM →·NP →＝2(1－x )．于是，MP →·MN →，PM →·PN →，NM →·NP →成公差小于零的等差数列等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－1＝12[2(x ＋1)＋2(1－x )]，2(1－x )－2(x ＋1)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝3，x >0.∴点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝3(x >0)． 类型二 相关点法求解曲线的方程例2 动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B (3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程． 解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，因为P 为MB 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋32，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x －3，y 0＝2y ，又因为M 在曲线x 2＋y 2＝1上， 所以(2x －3)2＋4y 2＝1.所以P 点的轨迹方程为(2x －3)2＋4y 2＝1. 反思与感悟 相关点法求解轨迹方程的步骤 (1)设动点P (x ，y )，相关动点M (x 0，y 0)． (2)利用条件求出两动点坐标之间的关系⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝f (x ，y )，y 0＝g (x ，y ).(3)代入相关动点的轨迹方程． (4)化简、整理，得所求轨迹方程．跟踪训练2 已知△ABC 的两顶点A ，B 的坐标分别为A (0，0)，B (6,0)，顶点C 在曲线y ＝x 2＋3上运动，求△ABC 重心的轨迹方程．解 设G (x ，y )为△ABC 的重心，顶点C 的坐标为(x ′，y ′)，则由重心坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0＋6＋x ′3，y ＝0＋0＋y ′3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x －6，y ′＝3y .因为顶点C (x ′，y ′)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以3y ＝(3x －6)2＋3， 整理，得y ＝3(x －2)2＋1.故ΔABC 重心的轨迹方程为y ＝3(x －2)2＋1. 类型三 根据曲线的方程求两曲线的交点例3 过点M (1,2)的直线与曲线y ＝a x(a ≠0)有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a ，求a 的取值范围．解 当过M 点的直线斜率为零或斜率不存在时， 不可能与曲线有两个公共点． 设直线方程为y －2＝k (x －1)(k ≠0)，联立曲线方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －1)，y ＝ax，消去x ，得y 2－(2－k )y －ka ＝0.①当此方程有两个不同的根，即方程组有两个不同的解时，直线与曲线有两个不同的交点． ∴Δ＝(2－k )2＋4ka >0. 设方程①的两根分别为y 1，y 2， 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝2－k . 又∵y 1＋y 2＝a ，∴k ＝2－a ， 代入Δ>0中，得a 2＋4a (2－a )>0， 解得0<a <83.又∵k ≠0，∴2－a ≠0，即a ≠2.∴a 的取值范围是(0,2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫2，83. 反思与感悟 结合曲线方程的定义，两曲线的交点的坐标即为两曲线的方程构成的方程组的解，所以可以把求两曲线交点坐标的问题转化为解方程组的问题，讨论交点的个数问题转化为讨论方程组解的个数问题．若两曲线C 1和C 2的方程分别为F (x ，y )＝0和G (x ，y )＝0，则它们的交点坐标由方程组⎩⎪⎨⎪⎧F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0的解来确定．跟踪训练3 已知直线y ＝2x ＋b 与曲线xy ＝2相交于A ，B 两点，若AB ＝5，求实数b 的值． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋b ，xy ＝2，消去y ，整理得2x 2＋bx －2＝0.①∵x 1，x 2是关于x 的方程①的两根， ∴x 1＋x 2＝－b2，x 1x 2＝－1. 又AB ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，其中k ＝2，代入则有AB ＝1＋22·b 2＋162＝5，∴b 2＝4，则b ＝±2.故所求b 的值为±2.1．直线y ＝x ＋4与双曲线x 2－y 2＝1的交点坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，158 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x 2－y 2＝1得x 2－(x ＋4)2－1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－178，y ＝158.2．已知斜率为2的直线l 经过椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点F 2，则直线l 与椭圆的交点坐标为________．答案 (0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43 解析 因F 2(1,0)，l 方程为y ＝2x －2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －2，x 25＋y24＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，y ＝43，故所得交点坐标为(0，－2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43. 3．直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点的中点的轨迹方程是________________．答案 x ＋y －1＝0(x ≠0，x ≠1) 解析 设直线x a ＋y2－a＝1与x ，y 轴交点为A (a,0)，B (0，2－a )，A ，B 中点为M (x ，y )，则x ＝a 2，y ＝1－a2，消去a ，得x ＋y ＝1.∵a ≠0，a ≠2，∴x ≠0，x ≠1.4．已知⊙O 的方程是x 2＋y 2－2＝0，⊙O ′的方程是x 2＋y 2－8x ＋10＝0，由动点P 向⊙O 和⊙O ′所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程是________． 答案 x ＝32解析 设动点P (x ，y )，则x 2＋y 2－2＝(x －4)2＋y 2－6， 化简整理得x ＝32.5．M 为直线l ：2x －y ＋3＝0上的一动点，A (4,2)为一定点，又点P 在直线AM 上运动，且AP →＝3PM →，求动点P 的轨迹方程．解 设点M ，P 的坐标分别为M (x 0，y 0)，P (x ，y )，由题设及向量共线条件可得⎩⎪⎨⎪⎧4x ＝4＋3x 0，4y ＝3y 0＋2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4x －43，y 0＝4y －23，因为点M (x 0，y 0)在直线2x －y ＋3＝0上， 所以2×4x －43－4y －23＋3＝0，即8x －4y ＋3＝0，从而点P 的轨迹方程为8x －4y ＋3＝0.求解轨迹方程常用方法：(1)直接法：直接根据题目中给定的条件求解方程．(2)定义法：依据有关曲线的性质建立等量关系，从而确定其轨迹方程．(3)代入法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的．如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法．(4)待定系数法：根据条件能知道曲线的类型，可先根据曲线方程的一般形式设出方程，再根据条件确定待定的系数．一、填空题1．点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点轨迹方程是________． 答案 (x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析 设中点的坐标为(x ，y )，则相应圆x 2＋y 2＝4上的点的坐标为(2x －4,2y ＋2)， 所以(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4， 即(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.2．已知0≤α<2π，点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，则α的值为________． 答案π3或5π3解析 由(cos α－2)2＋sin 2α＝3，得cos α＝12.又因为0≤α<2π， 所以α＝π3或α＝5π3.3．已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个公共点，则b 的取值范围为________． 答案 [1，2)解析 在同一直角坐标系内作出y ＝x ＋b 与y ＝1－x 2的图象，如图所示，可得b 的范围为1≤b < 2.4．直线y ＝mx ＋1与椭圆x 2＋4y 2＝1有且只有一个交点，则m 2的值为________． 答案 34解析 因为直线与椭圆只有一个交点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝mx ＋1，x 2＋4y 2＝1，消去y 得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＋3＝0，所以由Δ＝(8m )2－12(1＋4m 2)＝16m 2－12＝0， 解得m 2＝34.5．已知定点A (0,1)，直线l 1：y ＝－1，记过点A 且与直线l 1相切的圆的圆心为点C .则动点C 的轨迹E 的方程为________． 答案 x 2＝4y解析 设动点C (x ，y )，根据题意可知，点C 到点A 的距离与到直线l 1：y ＝－1的距离相等，所以x 2＋(y －1)2＝|y ＋1|， 两边平方整理得x 2＝4y .6．已知点A (－1,0)，B (1,0)，且MA →·MB →＝0，则动点M 的轨迹方程是________． 答案 x 2＋y 2＝1解析 设动点M (x ，y )，则MA →＝(－1－x ，－y )，MB →＝(1－x ，－y ).由MA →·MB →＝0，得(－1－x )(1－x )＋(－y )·(－y )＝0, 即x 2＋y 2＝1.7．已知点F (1,0)，直线l ：x ＝－1，P 为平面上的一动点，过点P 作l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →.则动点P 的轨迹C 的方程是________． 答案 y 2＝4x解析 设点P (x ，y )，则Q (－1，y )． 由QP →·QF →＝FP →·FQ →，得(x ＋1,0)·(2，－y )＝(x －1，y )·(－2，y )， 所以2(x ＋1)＝－2(x －1)＋y 2， 化简得y 2＝4x .8．已知两点A (2，0)，B (－2，0)，点P 为平面内一动点，过点P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，且PA →·PB →＝2PQ →2，则动点P 的轨迹方程为________． 答案 y 2－x 2＝2解析 设动点P 的坐标为(x ，y )， 则点Q 的坐标为(0，y )， PQ →＝(－x,0)，PA →＝(2－x ，－y )， PB →＝(－2－x ，－y )，PA →·PB →＝x 2－2＋y 2.由PA →·PB →＝2PQ →2，得x 2－2＋y 2＝2x 2， 所以所求动点P 的轨迹方程为y 2－x 2＝2.9．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 答案 14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，y ＝ax 2，消去y 得方程ax 2－x ＋1＝0.令Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14.10．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2.过F 1作倾斜角为30°的直线与椭圆的一个交点P ，且PF 2⊥x 轴，则此椭圆的离心率e 为________． 答案33解析 由题意得PF 2＝b 2a ，PF 1＝2b2a，由椭圆定义得3b 2a＝2a,3b 2＝3a 2－3c 2＝2a 2，则此椭圆的离心率e 为33. 11．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是________． 答案 45°或135°解析 由y 2＝6x 得焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，设直线方程y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，y 2＝6x ，得k 2x 2－(6＋3k 2)x ＋94k 2＝0，设直线与抛物线的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝6＋3k2k2，∵弦长为12，∴6＋3k2k2＋3＝12，∴k ＝±1，∴直线的倾斜角为45°或135°.二、解答题12．在平面直角坐标系中，已知点F (0,2)，一条曲线在x 轴的上方，它上面的每一点到F 的距离减去到x 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程． 解 设点M (x ，y )是所求曲线上任意一点， 因为曲线在x 轴的上方，所以y >0.过点M 作MB ⊥x 轴，垂足是点B ，则MF －MB ＝2， 即x 2＋(y －2)2－y ＝2， 整理得x 2＋(y －2)2＝(y ＋2)2， 化简得y ＝18x 2，所以所求曲线的方程是y ＝18x 2(x ≠0)．13．已知线段AB ，B 点的坐标为(6,0)，A 点在曲线y ＝x 2＋3上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程．解 设线段AB 的中点M 的坐标为(x ，y )， 点A (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋62，y ＝y12，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －6，y 1＝2y .由题知点A (x 1，y 1)在曲线y ＝x 2＋3上， 所以2y ＝(2x －6)2＋3，所以线段AB 的中点M 的轨迹方程为y ＝2(x －3)2＋32.三、探究与拓展14．过点P (0,1)的直线与曲线|x |－1＝1－(1－y )2相交于A ，B 两点，则线段AB 长度的取值范围是____________． 答案 [22，4]解析 曲线|x |－1＝1－(1－y )2可化为x ≥1，(x －1)2＋(y －1)2＝1，或x <－1，(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，图象如图所示，线段AB 长度的取值范围是[22，4]．文档从互联网中收集，已重新修正排版，word 格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。