2016年高考模拟数学试题（全国新课标卷）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．i 为虚数单位,复数ii++13= A ．i +2 B ．i -2 C ．2-i D ．2--i2．等边三角形的边长为，如果那么等于A ．B ．C ．D ．3．已知集合}4|4||{2<-∈=x x Z x A ，}8121|{≥⎪⎭⎫⎝⎛∈=+yN y B ，记A card 为集合A 的元素个数，则下列说法不正确．．．的是 A ．5card =A B ．3card =B C ．2)card(=B A D ．5)card(=B A 4．一个体积为123的正三棱柱的三视图如图所示， 则该三棱柱的侧视图的面积为A ．63B ．8C ．83D ．125．过抛物线24y x =的焦点作直线交抛物线于点()()1122,,,P x y Q x y 两点，若126x x +=，则PQ 中点M 到抛物线准线的距离为A ．5B ．4C ．3D ．2 6．下列说法正确的是A ．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件B ．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件C ．事件A 、B 中至少有一个发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率大D ．事件A 、B 同时发生的概率一定比A 、B 中恰有一个发生的概率小 7．如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为 A ．1030020(())a x a x a a x +++的值 B ．3020100(())a x a x a a x +++的值 C ．0010230(())a x a x a a x +++的值 D ．2000310(())a x a x a a x +++的值8．若(9x －13x)n （n ∈N *）的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为A ．252B ．－252C ．84D ．－849．若S 1＝⎠⎛121xd x ，S 2＝⎠⎛12(ln x ＋1)d x ，S 3＝⎠⎛12x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为A ．S 1＜S 2＜S 3B ．S 2＜S 1＜S 3C ．S 1＜S 3＜S 2D ．S 3＜S 1＜S 210．在平面直角坐标系中,双曲线221124x y -=的右焦点为F ,一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A ,B 两点。

若△FAB 的面识为l 的斜率为 A ．13132 B ．21 C ．41 D ．7711．已知三个正数a ，b ，c 满足a c b a 3≤+≤，225)(3b c a a b ≤+≤，则以下四个命题正确的是p 1：对任意满足条件的a 、b 、c ，均有b ≤c ； p 2：存在一组实数a 、b 、c ，使得b >c ； p 3：对任意满足条件的a 、b 、c ，均有6b ≤4a +c ； p 4：存在一组实数a 、b 、c ，使得6b >4a +c . A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 2，p 4 12．四次多项式的四个实根构成公差为2的等差数列，则的所有根中最大根与最小根之差是 A ．2 B ．2 3 C ．4 D ．52第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题－21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题－24题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题包括4小题，每小题5分.13．某种产品的广告费支出x 与销售额y 之间有如下对应数据（单位：百万元）．根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为y^＝＋，则表中t 的值为 ． 14．已知函数y ＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π2]上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为 ．15．已知球的直径SC ＝4，A ，B 是该球球面上的两点，AB ＝2，∠ASC ＝∠BSC ＝45°，则棱锥S -ABC 的体积为 ．16．等比数列{a n }中，首项a 1＝2，公比q ＝3，a n ＋a n ＋1＋…＋a m ＝720(m ，n ∈N *，m ＞n )，则m ＋n ＝ ．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）在∆ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别为a ,b ,c,证明： （1）cos cos b C c B a +=； （2）22sin cos cos 2C A Ba bc+=+.18．（本小题满分12分）直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都为2，D 为CC 1中点． （1）求证：直线BD A AB 11平面⊥； （2）求二面角B D A A --1的大小正弦值；19．（本小题满分12分）（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日车流量都不低于10万辆且另1天的日车流量 低于5万辆的概率； （2）用X 表示在未来3天时间里日车流量不低于10万辆的天数，求X 的分布列和数学期望． 20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的焦距为2且过点)23,1(．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点12,F F ，求该平行四边形面积的最大值． 21．（本小题满分12分）设函数x c bx ax x f ln )(2++=，（其中c b a ,,为实常数） （1）当1,0==c b 时，讨论)(x f 的单调区间；（2）曲线)(x f y =（其中0>a ）在点))1(f 1(，处的切线方程为33-=x y ， （ⅰ）若函数)(x f 无极值点且)('x f 存在零点，求c b a ,,的值； （ⅱ）若函数)(x f 有两个极值点，证明)(x f 的极小值小于43－.请考生在22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲.如图AB 是圆O 的一条弦，过点A 作圆的切线AD ，作BC AC ⊥，与该圆交于点D ，若AC =2CD =. （1）求圆O 的半径；（2）若点E 为AB 中点，求证,,O E D 三点共线.23.（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ()sin 2x y ααα⎧=⎨=⎩是参数，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1sin cos ρθθ=-.（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）求曲线1C 上的任意一点P 到曲线2C 的最小距离，并求出此时点P 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲.设函数()|2|f x x a a =-+.（1） 若不等式()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，求实数a 的值；（2） 在（1）条件下，若存在实数n ，使得()()f n m f n --≤恒成立，求实数m 的取值范围.2016年高考模拟数学试题（全国新课标卷）参考答案一、选择题：本大题包括12小题，每小题5分。

1-12 BDAA BBCC ABCD二、填空题：13. 50 14.{13，23，1} 15. 433三、解答题: 17.证法一：（余弦定理法）（1）22222222cos cos 222a b c a c b a b C c B b c a ab ac a+-+-+=+==（2）222222223223222cos cos 2222()2a c b b c a A B ac bc a b a bab ac a a b bc b ab a b c abc a b abc +-+-++=+++-++---+==+222222212sin1cos 2222a c b CC ab a b c ac c c c abc+-----+===，所以等式成立证法二：（正弦定理法）（1）在∆ABC 中由正弦定理得 2sin ,2sin b R B c R C ==，所以cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin()2sin b C c B R B C R C B R B C R A a+=+=+==（2）由（1）知cos cos b C c B a +=， 同理有 cos cos a C c A b +=所以cos cos cos cos b C c B a C c A a b +++=+即 2(cos cos )()(1cos )()2sin 2C c B A a b C a b +=+-=+⋅ 所以22sin cos cos 2C A Ba bc+=+18. 解：（1）取BC 中点O ，连结AO ．ABC ∆ 为正三角形，BC AO ⊥∴111C B A ABC -直棱柱11B BCC ABC 平面平面⊥∴且相交于BC 11B BCC AO 平面⊥∴取11C B 中点1O ，则11//BB OO BC OO ⊥∴1 以O 为原点，如图建立空间直角坐标系xyz O -， 则()()()()())0,0,1(,0,2,1,3,0,0,3,2,0,0,1,1,0,0,111--C B A A D B()()()3,2,1,0,1,2,3,2,111-=-=-=∴BA BD AB0,0111=⋅=⋅BA AB BD AB ，111,BA AB BD AB ⊥⊥∴． ⊥∴1AB 平面1A BD ．（2）设平面AD A 1的法向量为()z y x n ,,=．()()0,2,0,3,1,11=--=AA AD ． ,,1AA n AD n ⊥⊥⎩⎨⎧==-+-∴0203y z y x 令1=z 得()1,0,3-=n 为平面AD A 1的一个法向量．由（1）()3,2,11-=AB 为平面1A BD 的法向量．46,cos 1->=<∴AB n ． ∴所以二面角B D A A --1的大小的正弦值为410．19. 解：（Ⅰ）设A 1表示事件“日车流量不低于10万辆”，A 2表示事件“日车流量低于5万辆”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日车流量不低于10万辆且另1天车流量低于5万辆”．则 P (A 1)＝＋＋＝， P (A 2)＝，所以P (B )＝×××2＝（Ⅱ）X 可能取的值为0，1，2，3，相应的概率分别为027.0)7.01()0(303=-⋅==C X P ，189.0)7.01(7.0)1(213=-⋅⋅==C X P ，441.0)7.01(7.0)2(223=-⋅⋅==C X P ，343.07.0)3(333=⋅==C X P .X 的分布列为因为X ～B (3，20. 解：（1）由已知可得⎪⎩⎪⎨⎧=+=-=，1491,2222222b ab ac 解得a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆C 的标准方程是13422=+y x .（2）由已知得：122F F =，由于四边形ABCD 是椭圆的内接四边形， 所以原点O 是其对称中心，且122ABCDABF F SS =四边形()()121121222AF F AF B AF F BF F S S S S ∆∆∆∆=+=+()122A B A D F F y y y y =+=-，当直线AD 的斜率存在时，设其方程为()1y k x =-，代入椭圆方程，整理得：()2222344120k x k x k +-+-=，由韦达定理得：22228412,3434A D A D k k x x x x k k -+==++， ∴()()()()()2222222221441434A D A D A D A D k k y y k x x k x x x x k +⎡⎤-=-=+-=⎣⎦+，∴26ABCDA D Sy y =-==<，当直线AD 的斜率不存在时，易得：331,,1,22A D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴26ABCDA D Sy y =-=，综上知，符合条件的椭圆内接四边形面积的最大值是6．21. 解：（1）当1,0==c b 时xax x ax x f 1212)('2+=+=，)0(>x ………1分当0≥a 时，0)('>x f 很成立，)(x f ∴在),0(+∞上是增函数；………2分当0<a 时，令0)('=x f 得ax 21-=或a x 21--=（舍）………3分令0)('>x f 得a x 210-<<；令0)('<x f 得ax 21-> )(x f ∴在上)21,0(a-是增函数，在),21(+∞-a 上是减函数………4分(2) (i)x cb ax x f ++=2)('由题得⎩⎨⎧==3)1('0)1(f f ， 即⎩⎨⎧=++=+320c b a b a ⎩⎨⎧-=-=⇒a c ab 3． 则x a ax ax x f ln )3()(2-+-=，xaax ax x a a ax x f -+-=-+-=3232)('2（ⅰ）由)(x f 无极值点且)('x f 存在零点，得0)3(82=--a a a )0(>a解得38=a ，于是38-=b ，31-=c ． （ⅱ）由(i)知)0(32)('2>-+-=x xaax ax x f ，要使函数)(x f 有两个极值点，只要方程0322=-+-a ax ax 有两个不等正根，设两正根为21,x x ，且21x x <，可知当2x x =时有极小值)(2x f ．其中这里,4101<<x 由于对称轴为41=x ，所以21x 412<<， 且032222=-+-a ax ax ，得123222---=x x a【也可用以下解法：由(Ⅱ)知)0(32)('2>-+-=x xaax ax x f ，要使函数)(x f 有两个极值点，只要方程0322=-+-a ax ax 有两个不等正根，那么实数a 应满足 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>>->--0)2(2030)3(82a aa a a a ，解得338<<a ，a a a a a a x 24941414)3(822-+=--+=338<<a 12490<-<∴a即21x 412<<】 所以有22222ln )3()(x a ax ax x f -+-=12)ln (3ln 3ln 3)ln (2222222222222-----=+--=x x x x x x x x x x a )21x 41(2<< 而2222222222)12()ln )(14(3)('-----=x x x x x x x f ，记x x x x g ln )(2--=，)141(≤<x ， 有0)1)(12()('≤-+=xx x x g 对]1,41(∈x 恒成立，又0)1(=g ，故对)21,41(∈x 恒有)1()(g x g >，即0)(>x g ．0)('2>∴x f 对于21x 412<<恒成立即)(2x f 在⎪⎭⎫⎝⎛21,41上单调递增， 故43)21()(f 2-=<f x ． 22．解： (1) 取BD 中点为F ，连结OF ，由题意知，//OF AC ，OF AC =AC 为圆O 的切线，BC 为割线2CA CD CB ∴=⋅，由2AC CD ==，6,4,2BC BD BF ∴===在Rt OBF ∆中，由勾股定理得，4r OB ===.(2) 由(1)知，//,OA BD OA BD =所以四边形OADB 为平行四边形，又因为E 为AB 的中点， 所以OD 与AB 交于点E ，所以,,O E D 三点共线. 23.解：(1) 由题意知，1C 的普通方程为22(1)1x y -+=2C 的直角坐标方程为1y x =+.(2) 设(1cos2,sin 2)P αα+，则P 到2C 的距离2)|4d πα=+，当cos(2)14πα+=-，即322()4k k Z παπ=+∈时，d 1，此时P 点坐标为(1.24.解：(1) 由()6f x ≤，得626(6)a x a a a -≤-≤-<，即其解集为{|33}x a x -≤≤，由题意知()6f x ≤的解集为{|23}x x -≤≤，所以1a =.(2) 原不等式等价于，存在实数n ，使得()()|12||12|2m f n f n n n ≥+-=-+++恒成立，即min |12||12|2m n n ≥-+++，而由绝对值三角不等式，|12||12|2n n -++≥， 从而实数4m ≥.。