真 真
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 假 否命题：若四边形不是正方形，则四边形两对角线不垂直。
原命题：若a>b，则ac2>bc2 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2
假 真
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 假 否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。
方法感悟 一个命题与它的逆否命题同真同假，所以当一 个命题的真假不易判断时，往往可以判断原命 题的逆否命题的真假，从而判断出原命题的真 假．
作业: P
3
1—10
选做11
逆命题： 若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 否命题： 若四边形不是正方形，则 四边形两对角线不垂直。 逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。
知识巩固:
把下列命题改写成“若p则q”的形式，并写出逆命题、否
命题、逆否命题。
1.负数的平方是正数 原命题： 若一个数是负数，则它的平方是正数。 逆命题： 若一个数的平方是正数，则它是负数。 否命题： 若一个数不是负数，则它的平方不是正数。 逆否命题： 若一个数的平方不是正数，则它不是负数。 2.正方形的四条边相等 原命题: 逆命题： 否命题： 逆否命题：
否命题： 若x2＋y2≠0，则xy≠0 逆否命题： 若xy ≠0，则x2＋y2 ≠0
原命题：若x∈A∪B，则x∈ UA∪ U B 逆命题： x∈ UA∪ UB ，x∈A∪B 。 否命题： xA∪B，x UA∪ UB。
真 假 假 真 假 假 假 假
图示
逆否命题：x UA∪ UB ，xA∪B 。
等价命题的应用 由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为 逆否命题的命题具有等价性，所以我们在直接证明某 一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否 命题为真命题，来间接地证明原命题为真命题． 例2 判断命题“已知 a ， x 为实数，若关于 x 的不等 式 x2＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2＋ 2≤0 的解集非空，则 a≥1”的逆 否命题的真假．
所以关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的 解集为空集． 故原命题的逆否命题为真． 法二：先判断原命题的真假： 2 因为 a，x 为实数，且关于 x 的不等式 x ＋(2a ＋1)x＋a2＋2≤0 的解集非空， 所以 Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即 4a－7≥0， 7 7 解得 a≥ .因为 a≥ ， 4 4 所以 a≥1，所以原命题为真． 又因为原命题与其逆否命题等价， 所以逆否命题为真．

知识巩固:
分别写出下列命题。
A 原命题： 若a>b，则a+c>b+c .
逆命题： 若a+c>b+c，则a>b. 否命题： 若a≤b，则a+c≤b+c. 逆否命题： 若a+c≤b+c，则a≤b. C 原命题： 若p则q 逆命题： 若q则p 否命题： 若﹁ p则﹁ q 逆否命题：若﹁ q则﹁p
B 原命题： 若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。
【思路点拨】
【解】 法一：原命题的逆否命题： 已知a，x为实数，若a＜1，则关于x的不等式 x2 ＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2 ＋ 2≤0 的解集为空集．判断 其真假如下： 抛物线 y ＝ x2 ＋ (2a ＋ 1)x ＋ a2 ＋ 2 的图象开口向 上， 判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7. 因为a<1，所以4a－7<0. 即抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的图象与x轴 无交点．
U
A A∩B
B
Back
设原命题是“当c>0时，若a>b，则ac>bc”, 写出逆命题、否命题、逆否命题，并判断真假。
原命题： 当c>0时，若a>b，则ac>bc 真
逆命题：
当c>0时，若ac>bc，则a>b
真
真 真
否命题： 当c>0时，若a≤b，则ac≤bc 逆否命题： 当c>0时，若ac≤bc，则a≤b
确定条件和结论 → 所求命题
【解析】
①原命题的否命题为“若x2＋y2＝
0，则x，y全为零”．真命题
②原命题的逆命题为“若两个三角形相似，
则这两个三角形是正三角形”．假命题
③原命题的逆否命题为“若x2＋x－m＝0无实 根，则m≤0”． ∵方程无实根， ∴判别式Δ＝1＋4m<0，
1 ∴m<－ ≤0.真命题 4 ④原命题的逆否命题为“若 x 不是无理数，则 x－ 2不是有理数”． ∵x 不是无理数，∴x 是有理数． 又 2是无理数， ∴x－ 2是无理数，不是有理数．真命题 故正确的命题为①③④，故选 B.
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。 假
结 论 1
原命题的真假和 逆命题的真假没有关 系。
四种命题的关系
2.互否命题的真假关系
判断下列否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c
结 论
4
逆命题和否命题总 是同真同假。
四种命题的关系
原命题 若 p则 q 互 否 命 题 真 假 无 关 否命题 若﹁ p则﹁ q 逆命题 若q则p
互 否 命 题 真 假 无 关
逆否命题 若﹁ q则﹁p
达标检测
分别写出下列命题，并判断真假。
原命题：若x2＋y2＝0，则xy＝0 逆命题： 若xy ＝0，则x2＋y2 ＝0
真 否命题：若a≤b，则a+c≤b+c 真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 假 否命题：若四边形是不正方形，则四边形两对角线不垂直。 假 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 真 否命题：若a≤b，则ac2≤bc2 真 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 假 否命题：若四边形对角线不相等，则四边形不是平行四边形。 假 逆命题：若四边形是平行四边形，则四边形对角线相等。
知识回顾:
四种命题的概念
什么叫互逆命题？ 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论和条 件，这两个命题就叫做互逆命题。把其中一个叫做原命题， 则另一个叫做原命题的逆命题。

什么叫互否命题？
一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的条件的否 定和结论的否定，这两个命题就叫做互否命题。把其中一个 叫做原命题，则另一个叫做原命题的否命题。 注意：区分否命题和命题的否定（非p ）。 什么叫互为逆否命题？ 一个命题的条件和结论，分别是另一个命题的结论的否 定和条件的否定，这两个命题就叫做互为逆否命题。把其中 一个叫做原命题，则另一个叫做原命题的逆否命题。
下列命题中正确的是( ) ①“若 x2＋y2≠0，则 x，y 不全为零”的否命 题； ②“正三角形都相似”的逆命题； ③“若 m>0，则 x2＋x－m＝0 有实根”的逆 否命题； ④“若 x－ 2是有理数， 则 x 是无理数”的逆 否命题．
例1
A．①②③④ C．②③④
B．①③④ D．①④2
原命题的真假和 否命题的真假没有关 系。
四种命题的关系
3.互为逆否命题的真假关系
判断下列逆否命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 逆否命题：若a+c≤b+c，则a≤b
真 真
真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆否命题：若四边形两对角线不垂直，则四边形不是正方形。
若一个四边形是正方形，则它的四条边相等。 若一个四边形的四条边相等，则它是正方形。 若一个四边形不是正方形，则它的四条边不相等。 若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形。
新知探究:
四种命题的关系
1.互逆命题的真假关系
判断下列命题的真假，并总结规律。
原命题：若a>b，则a+c>b+c 真 逆命题：若a+c>b+c，则a>b 真 原命题：若四边形是正方形，则四边形两对角线垂直。 真 逆命题：若四边形两对角线垂直，则四边形是正方形。 假 原命题：若a>b，则ac2>bc2 假 逆命题：若ac2>bc2，则a>b 真
在下列横线上,填写”互逆””互否””互为逆否”
(1)命题:”若q则┐p”与命题”若┐q则p”
(2)命题:”若┐p则q”与命题”若q则┐p”
互否 互逆
(3)命题:”若┐q则p”与命题”若┐p则q”
互为逆否
考点突破
考点一
四种命题真假的判断
对于命题在判断它的真假性时，如果直接判 断有难度，可以利用原命题与逆否命题、逆 命题与否命题的等价性，先判断等价命题的 真假，由等价命题的真假再确定原来命题的 真假．
原命题：若a>b，则ac2>bc2 逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b
假 假
假 原命题：若四边形对角线相等，则四边形是平行四边形。 假 逆否命题：若四边形不是平行四边形，则四边形对角线不相等。
结 论 3
原命题和逆否命 题总是同真同假。
四种命题的关系
4.否命题和逆命题的真假关系
观察下列命题的真假，并总结规律。