习题2-1 1、解：在任意一个面积微元 SKIPIF 1 < 0 上的压力微元 SKIPIF 1 < 0 ，所以，该平面薄片一侧所受的水压力 SKIPIF 1 < 02、解：在任意一个面积微元σd 上的电荷微元σμd y x dF ),(=，所以，该平面薄片的电荷总量⎰⎰=Dd y x Q σμ),(3、解：因为10,10≤≤≤≤y x ，所以1122++≤++y x y x ，又u ln 为单调递增函数，所以()()1ln 1ln 22++≤++y x y x ，由二重积分的保序性得()()⎰⎰⎰⎰≤≤≤≤≤≤≤≤++≤++10101010221ln 1ln y x y x d y x d y x σσ4、解：积分区域D 如图2-1-1所示，所以该物体的质量34)384438()()(1032122222=-+-=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰-dy y y y dx y x dy d y x M yyDσ5、解：（1）积分区域如图2-1-2所示，所以⎰⎰⎰⎰=110010),(),(x y dy y x f dx dx y x f dy （2）积分区域如图2-1-3所示，所以⎰⎰⎰⎰=x x yy dy y x f dx dx y x f dy 2/422),(),(2（3）积分区域如图2-1-4所示，所以⎰⎰⎰⎰+----=11210222122),(),(y yx x xdx y x f dy dy y x f dx（4）积分区域如图2-1-5所示，所以⎰⎰⎰⎰=ee xeydx y x f dy dy y x f dx ),(),(10ln 00 6、解：（1）积分区域如图2-1-6所示，所以()⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-==101054/1134/3105565111432322x x dx x x x dy y x dx d y x xxDσ （2）积分区域如图2-1-7所示，所以1564)4(2122224022222=-==⎰⎰⎰⎰⎰--dy y y dx xy dy d xy y Dσ（3）积分区域如图2-1-8所示，所以11021011211011111101101)()()()(----+-----+-+-++--+-+-=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e e dx e e e dx e ee dxe e e dx e e e dy e dx dy e dx d e x x x x x x x x xxy x x xy x Dy x σ（4）积分区域如图2-1-9所示，所以613832419)()(20232/222022=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx x y x dy d x y x yy Dσ 7、解：（1）积分区域如图2-1-10所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以a r ≤≤≤≤-0,22πθπ，故 ()⎰⎰⎰⎰⋅=-aDdr r r f r d d y x f 022sin)cos,(,ππθσ（2）积分区域如图2-1-11所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故⎰⎰⎰⎰⋅=θπθθθσsin 20)sin ,cos (),(dr r r f r d d y x f D8、解：（1）积分区域如图2-1-12所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θθπθ2cos sin 0,40≤≤≤≤r ，故[]12sec tan sec )(4040cos sin 014021221022-===⋅=+⎰⎰⎰⎰⎰--ππθθπθθθθθd dr r r d dy y x dx xx（2）积分区域如图2-1-13所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以θπθsin 20,0≤≤≤≤r ，故8)(43222022a dr r d dx y x dy ay a aπθπ==+⎰⎰⎰⎰-9、解：（1）积分区域如图2-1-14所示，故49)(12131221222=+-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy ydx x d y x x x Dσ（2）积分区域如图2-1-15所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以10,20≤≤≤≤r πθ，故()28)1(21arcsin 2121)1(4112121121121111102141021010444210143410421022202222-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--+-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=--=⋅+-=++--⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ππππππθσπr r r r d r dr dr r r dr r rrdr r r rdr r r d d y x y x D（3）积分区域如图2-1-16所示， 故433222232214)32()()(a dy a y a ay dx y x dy d y xaayay a aD=+-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-σ（4）积分区域如图2-1-17所示，令θθsin ,cos r y r x ==，所以b r a ≤≤≤≤,20πθ，故()33220212232)(a b dr r d d y x baD-==+⎰⎰⎰⎰πθσπ 10、解：积分区域如图2-1-18所示，由图形的对称性得：⎰⎰==1441D d S S σ，所以24024022sin 0402cos 2sin 24a a d a rdr d S a =-===⎰⎰⎰ππθπθθθθ图2-1-1 图2-1-2 图2-1-3 图2-1-4图2-1-5 图2-1-6 图2-1-7 图2-1-8图2-1-9 图2-1-10 图2-1-11 图2-1-12图2-1-13 图2-1-14 图2-1-15 图2-1-16图2-1-17 图2-1-18习题2-21、解：⎰⎰⎰Ω=dv z y x Q ),,(μ2、化三重积分为直角坐标中的累次积分解：（1）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域x y x D xy -≤≤≤≤10;10:，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=101022,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f（2）因为积分区域Ω的上曲面为开口向下的抛物柱面22x z -=与下曲面为开口向上的旋转抛物面222y x z +=围成，二曲面的交线在xoy 平面上的投影为圆122=+y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≤+-≤≤--≤≤-Ω22222221111:x z y x x y x x ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-----+Ω=11112222222,,,,x x x y x dz z y x f dy dx dv z y x f（3）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域1;11:2≤≤≤≤-y x x D xy ，所以()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+Ω=111222,,,,xy x dz z y x f dy dx dv z y x f3、解：积分区域Ω如图2-2-1所示0)1(61211161211111022=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--Ω-dx x x dy y xdx zdz dy xdx xzdxdydz x xy另解：因为积分区域Ω关于坐标面yoz 对称，又xz z y x f =),,(关于第一坐标是奇函数，所以0=⎰⎰⎰Ωxzdxdydz 。

4、解：积分区域Ω如图2-2-2所示，当h z ≤≤0时，过),0,0(z 作平行与xoy面的平面，与立体Ω的截面为圆⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛≤+z z z h R y x D z 222:，因而z D 的半径为z hR，面积为222z h R π，故4220322h R dz z hR dxdy zdz zdxdydz hhD zππ===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω5、求下列立体Ω的体积解（1）曲面所围立体是球体与旋转抛物面的一部分（如图2-2-3所示），用柱面坐标计算：)455(32]161)5(31[20204232542202-=---=====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰-ΩΩπθθπππr r rdzdr d dz rdrd dv V r图2-2-1 图2-2-2 图2-2-3（2）因为积分区域Ω的上曲面为平面x z -=1，下曲面为0=z ，积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域11;1:2≤≤-≤≤y x y D xy ，所以15821212)1(10421111111022=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ωdy y y dx x dy dz dx dy dv V y yx6、利用柱面坐标计算下列三重积分解：（1）因为积分区域Ω的上曲面为开口向上的上半球面222y x z --=，下曲面为开口向上的旋转抛物面22y x z +=，将22y x z +=代入222y x z --=得z z -=2，解此方程得1=z 积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域1:22≤+y x D xy ，由柱坐标公式得：10,20:≤≤≤≤r D xy πθ()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=--==-Ω10422012127221222ππθπdr r r r zrdz dr d zdv r r。

（2）因为积分区域Ω的上曲面为平面2=z ，下曲面为开口向上的旋转抛物面222y x z +=，将2=z 代入222y x z +=得422=+y x ，所以积分区域Ω在xoy 坐标面上的投影区域4:22≤+y x D xy ，由柱坐标公式得：20,20:≤≤≤≤r D xy πθ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-==+Ω2023202022/3223162122)(2ππθπdr r r dz r dr d dv y x r 。

7、利用球面坐标计算下列三重积分 解：（1）用球面坐标计算πϕπϕϕθθϕϕπππ5451)cos (2sin sin )(1050140204222=⎪⎭⎫⎝⎛⋅-⋅===++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩr drr d d d drd r dv z y x（2）用球面坐标计算44/0644/0544/04cos 203204/0267cos 68cos sin 8)cos 2(41cos sin 2cos sin sin cos a a d a d a drr d d d drd r r zdv a πϕπϕϕϕπϕϕϕϕπκϕϕθθϕϕϕπππϕππ=-==⋅⋅==⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ8、选用适当的坐标计算下列三重积分解：（1）积分区域Ω为球，故用球面坐标计算：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωπθπϕϕ2020cos 0:r ，所以10cos 512cos 41sin 2sin 2sin 2/052/042/0cos 03cos 022/020222πϕπϕϕϕπϕϕπϕϕθπππϕϕππ=⋅-=⋅⋅==⋅=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰d drr d dr r r d d dv z y x（2）将y z 2=代入22y x z +=得到xoy 平面上的一个圆()1122=-+y x ，用直角坐标公式计算⎰⎰⎰⎰⎰⎰+-+---Ω=yy x x xzdz dy dx zdv 21111112222，由于计算量较大，请同学一试。