六年级第8讲数论综合（一）
【兴趣篇】
4.一个各位数字均不为0的三位数能被8整除,将其中百位数字、十位数字和个位数字分别划去后可以得到三个两位数(例如,按此方法由247将得到47、27、24)。
已知这些两位数中一个是5的倍数，另一个是6的倍数，还有一个是7的倍数，原来的三位数是多少？
【分析与解】一个是5的倍数, 各4位数字均不为0，所以三位数中一定有一个是5。
能被7整除有14、21、28、35、42、49、56、63。
被5整除有15、25、35、45、55、65、75、85、95，能被6整除有12、18、24、36、42、48、54、66。
经试得满足条件的三位数是656。
6．一个自然数N共有9个约数，而N—1共有8个约数。
满足条件的自然数中，最小的和第二小的分别是多少？
【分析与解】N要约数为9。
N分解质因数指数必定是2与2，N—1要约数为8，N—1分解质因数指数必定是1、1与1，N要最小，所以从2的2次乘3的3次，可是，N—1不符合，经试，只有196才符合，用同样的方法，得到第二小的是256。
10．信息在战争中是非常重要的，它常以密文的方式传送。
对方能获取密文却很难知道破译密文的密码,这样就达到了保密的作用.有一天我军截获了敌军的一串密文:A37|8B4|21C,字母表示还没有被破译出来的数字.如果知道密码满足如下条件:
①密文由三个三位数连在一起组成,每个三位数的三个数字互不相同;
②三个三位数除以12所得到的余数是三个互不相同的质数;
③三个字母表示的数字互不相同且不全是奇数.
你能破解此密文吗?
【分析与解】由①得，A不能为3、7，B不能为4、8，C不能为2、1，21C÷12，当C为5时，余数是11，当C为8时，余数是2，当C为9时，余数是3，其它的不符合。
8B4÷12，当B为5时，余数是2，其它的不符合，所B只能是5， C只能是9。
B、C是奇数，所以A只能是是偶数，A37÷12，有且只当A是4时，余数是5。
密文:A37|8B4|21C为437 854 219。
【拓展篇】
8.一个合数,其最大的两个约数之和为1164.求所有满足要求的合数.
【分析与解】一个合数,其最大的两个约数之和为1164，这两个数之间可以是两倍、三倍、或11倍的关系，这样1164除去3乘2得第一个合数776，1164除去4乘3得第二个合数。
1067、
873、776。
所有满足要求的合数是1067得第三个合数11乘12除去1164，873．
9.已知a与b是两个正整数,且A＞B.请问:
⑴如果它们的最小公倍数是36,那么这两个正整数有多少种情况?
⑵如果它们的最小公倍数是120,那么这两个正整数有多少种情况?
【分析与解】⑴36分解质因数，a＞b，当a=36时，b有8种情况，当a=18时，b有2种情况，当a=12时，b有1种情况，当a=9时，b有1种情况，所以最小公倍数是36,那么这两个正整数有12种情况。
⑵120分解质因数，用⑴中的方法能解得最小公倍数是120,这两个正整数有31种情况。
12. 如图15-l,在一个圆圈上有几十个孔(少于100个).小明像玩跳棋那样从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几个孔跳一步,希望一圈以后能跳回到A孔.他先试着每隔2孔跳一步,结果只能跳到B孔.他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔.最后他每隔6孔跳一步,正好回到4孔.问这个圆圈上共有多少个孔?
则整除． 1.n能被7除以3余1,n除以5余【分析与解】设这个圆圈有n个孔,那么有n 将15t+1=7A,的倍数,即的倍数,所以n=15t+1,又因为凡是7的倍数将n-1是3、5,即是15×15的倍数和. 对应孔数为6或6与77系数与常数对取模,有t+1≡0(mod7),所以t取个孔．．即这个圆圈上共有9191与105的倍数和，满足题意的孔数只有916+l=91或
【超越篇】个数47的倍数，任意0的自然数，其中任意5个数的和都是1．有6个互不
相同且不为 6个数的和最小是多少？的和都是6的倍数。
请问：这个数可以得出这6整除，被6除余3,【分析与解】我们由题可以想到，这6个数能被7 。
756。
这6个数的和最小是105、147、189、231分别是:21、63、
，请问：2005×2006 设N=301×302×…×2．”？的末尾一共会出现多少个连续的数字“0(1) N ？整除为止，一共可以除以多少次12不断除以12，直到结果不能被12用(2) N有，我们只要计算NN的末尾一共会出现多少个连续的数字“0”【分析与解】(1) 要求.305-2005就可以了,所以就只要求出多少个因数5N中5的因数比2少，在多少个2乘5,625-1925的倍数14个125有个的倍数341个5,325-2000有6825的倍数,375-2000有个连续的数的末尾一共会出现426N 个所以一共有的倍数个有3125,341+68+14+3=426.
.
”0字“
(2) 12=2×2×3, 要求N一共可以除以多少次12,只要求N含有多少个2×2×3因式就可以了,用(1)的方法算出有多个2、4、8、16、32、64、128、256、512、1024的倍数的数,一共算得有1700个，3的倍数的有1526，2×2的因式有850个，3的因式有1526，所以一共可以除以850次12。
3．老师告诉贝贝和晶晶一个小于5000的四位数。
这个四位数是5的倍数。
贝贝计算出它与5！的最小公倍数，晶晶计算出它与10！的最大公约数，结果发现贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍。
请问：这个四位数是多少？
【分析与解】贝贝的计算结果恰好是晶晶的5倍，这个四位数与5！的最小公倍数是贝贝的计算结果，显然这个数为4！的倍数，所知又为5！的倍数，因为这个数与5！最小公倍数就是它本身，它与10！的最大公约数最小也是120，它本身必须包含600这个约数，而600也是10！的约数，所以这个四位数就是3000。
4．一个正整数，它分别加上75和48以后都不是120的倍数，但这两个和的乘积却能被120
整除。
这个正整数最小是多少？
【分析与解】设这个正整数为A,则(75+A)×(48+A)=3600+A(75+48+A)是120的倍数,则
A(75+48+A)= A(123+A), A(123+A)是120的倍数,则A是120的倍数或(123+A) 是120的倍数,是要使正整数最小,我们只要使(123+A)是120的倍数,得A是240-123=117. 这个正整数最小是117.
5． a、b、c是三个非零自然数。
a和b的最小公倍数是300，c和a，c和b的最大公约数都是20，且a﹥b﹥c。
请问：满足条件的a、b、c共有多少组？
【分析与解】 300=20×3×5，是 a、b 的最小公倍数，而20是 a和c、b 和c的最大公约数，所以 a、b、c 有7种可能，即
a 20×5 20×3×5 20×3×5 20×520×3×5 20×3×520×3×5
b 20×3
20 ×3 20 ×5 20×320 ×320 ×5 20×5
C 20 20 20 40 40 40 80
a﹥b﹥c，满足条件的a、b、c共有7组。
6．有一类三位数，它们除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0）。
这样的三位数中最小的三个是多少？
【分析与解】除以2、3、4、5、6所得到的余数互不相同（可以含0），要求找到一个数能整除2、3、4、5、6后有余数的数，所以先求最小公倍数，2×3×4×5×6=60，又因为是最小三位数，所以是120。
当120减1得119，让119除以2、3、4、5、6，所得的余数分别为：1、2、3、4、5；当120减2得118，让118除以2、3、4、5、6，所得的余数分，所得的余数分别6、5、4、3、2除以117，让117得3减120，当4、3、2、1、0别为：
为：1、0、1、2、3，不符合，所以余数0不是除以4、6，而除以2、3都有了，所以只有除以5得0了，个位不能是0，因为是0的话能被动整除，所以个位只能是5了。
经算只有155符合，所以第三小的是155，这样的三位数中最小的三个是118、119、155。
7．有一个自然数除以15、17、19所得到的商与余数之和都相等并且商和余数都大于1，那么这个自然数是多少？
【分析与解】没有详细过程, 这个自然数是1082.
8．有4个互不相同的三位数，它们的首位数字相同，并且它们的和能被它们之中的3个数整除。
请写出这4个数。
180、135、117、108个数是4这, 【分析与解】没有详细过程。