21．设 ，函数 ．
（1）当 时，求函数 的单调区间；
（2）若函数 在区间 上有唯一零点，试求a的值．
22．
在直角坐标系 中，圆 ，曲线 的参数方程为 为参数），并以 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）写出 的极坐标方程，并将 化为普通方程；
（2）若直线 的极坐标方程为 与 相交于 两点，求 的面积（ 为圆 的圆心）.
（3）求在甲同学的8次预赛成绩中，从不小于80分的成绩中随机抽取2个成绩，列出所有结果，并求抽出的2个成绩均大于85分的概率.
20．如图，已知圆 经过椭圆 的左右焦点 ，与椭圆 在第一象限的交点为 ，且 ， ， 三点共线.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设与直线 （ 为原点）平行的直线交椭圆 于 两点，当 的面积取取最大值时，求直线 的方程.
A． B． C． D．
11．已知函数 ，若 ，且 的最小值为 ，则 （）．
A．在 上是增函数B．在 上是减函数
C．在 上是增函数D．在 上是减函数
12．已知 ， 分别是双曲线 的左、右焦点，过点 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线的另一条渐近线于点P，若点P在以线段 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是（）
23．设函数
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的取值范围．
参考答案
1．B
【分析】
利用列举法，求得集合 的所有可能，由此确定正确选项.
【详解】
由于集合 满足 ，所以集合 的可能取值为 ，共 种可能.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题.
2．D
【详解】
由题意可得： ，且： ，
据此有： .
16．我国古代数学名著《九章算术•商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵．斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑．阳马居二，鳖臑居一，不易之率也．合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣．”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：
①四个侧面都是直角三角形；
②最长的侧棱长为 ；
A． B． C． D．
4．有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为
A． B． C． D．
5．设 ， ， ，则 、 、 的大小关系（）．
A同学被问到谁去过北京时，
本题选择D选项.
3．C
【解析】
∵ ， ∥ ，
∴ ，
又 为锐角，
∴ ．选C．
4．C
【解析】
选取两支彩笔的方法有 种，含有红色彩笔的选法为 种，
由古典概型公式，满足题意的概率值为 .
本题选择C选项.
考点：古典概型
名师点睛：对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.
2020届陕西省西安中学高三第一次模拟考试数学（文）试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 满足 ，则集合 的个数是（）
A．4B．3C．2D．1
2．若 ，则 （）
A． B． C． D．
3．已知向量 ，若 ，则锐角 为（ ）
7．A
【分析】
根据周期性和奇偶性，即可求解.
【详解】
由f（﹣x）＝﹣f（x），f（﹣x）＝﹣f（x），
得 .
故选:A
【点睛】
本题考查函数的性质应用，属于基础题.
8．D
【分析】
根据线面平行的判定定理以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【详解】
若“ ”则“ ”成立，即充分性成立，
8．已知平面α，直线m，n满足m⊄a，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）
A．充要条件B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件D．充分不必要条件
9．曲线 在 处的切线的倾斜角为 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
10．已知抛物线 交双曲线 的渐近线于 ， 两点（异于坐标原点 ），若双曲线的离心率为 ， 的面积为32，则抛物线的焦点为（ ）
5．A
【分析】
利用对数函数，幂函数的单调性比较大小即可.
【详解】
解：因为 在 上单调递增，
所以 ，即
因为
所以
故选：A
【点睛】
本题主要考查了利用对数函数，幂函数的单调性比较大小，是中档题.
6．A
【解析】
由题意的，如果小赵去过长城，则小赵说谎，小钱说谎，不满足题意；
如果小钱去过长城，则小赵说真话，小钱说谎，小孙、小李说真话，满足题意，故选A.
A． B．
C． D．
二、填空题
13．设 ， 满足约束条件 则 最小值为________.
14．已知某民营车企1月份生产了A，B，C三种型号的新能源汽车，台数依次为120，210， 现用分层抽样的方法从中随机抽取16台车进行安全测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为_______.
15．在 中，内角 所对的边分别为 ，已知 的面积为 ， ，则 的值为___________．
19．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次，得到甲、乙两位学生成绩的茎叶图.
（1）现要从中选派一人参加数学竞赛，对预赛成绩的平均值和方差进行分析，你认为哪位学生的成绩更稳定？请说明理由；
（2）若将频率视为概率，求乙同学在一次数学竞赛中成绩高于84分的概率；
小赵说：我没去过；小钱说：小李去过；小孙说；小钱去过；小李说：我没去过．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过北京的是（ ）
A．小钱B．小李C．小孙D．小赵
7．已知函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），且f（x+2）＝f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1﹣x），则f（ ）＝（）
A． B． C． D．
③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；
④外接球的表面积为24π．
其中正确的描述为____．
三、解答题
17．已知等比数列 的各项均为正数， ．
Ⅰ 求数列 的通项公式；
Ⅱ 设 证明： 为等差数列，并求 的前n项和 ．
18．如图，四棱锥 中，底面 为矩形， 面 ， 为 的中点．
（1）证明： 平面 ;
（2）设 ， ，三棱锥 的体积 ，求A到平面PBC的距离．