⎨ ⎩ ⎪⎪ ⎩第一章 实数1、实数的分类（1）按定义分类：⎧ ⎧ ⎧奇数 ⎪ ⎪整数⎨ ⎪⎪ ⎩偶数 ⎪有理数⎪ ⎧真分数（分子 < 分母） 实数⎪ ⎨ ⎪分数⎪> 分母） ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎩ ⎪⎩无理数⎨假分数（分子 ⎪带分数 （2）按正负分类：⎧ ⎧ ⎧ ⎧1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪正有理数⎪正整数⎨质数 正实数⎪⎨ ⎪合数 ⎨ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎩正无理数⎪ ⎨零⎪ ⎧负有理数⎪⎩ ⎪⎩正分数⎪负实数⎨ ⎪ 负无理数 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩2、有理数、无理数2.1 ：定义 1：有理数：整数和分数（有限小数、无限循环小数）无理数：无限不循环小数2.2 ：定义 2：在于能否写成两个整数比的形式 2.3 ：有理数的四则运算结果皆为有理数 无理数的四则运算结果皆为无理数或有理数 有理数与无理数的加减运算结果必为无理数有理数乘以无理数结果为有理数则有理数必为 0. 【例 1】、下列说法正确的是（ ）．（A ）小数都是有理数 （B ）无限小数都是无理数 （C ）无理数是开方开不尽的数 （D ）零的平方根和立方根都是零 （E ）对数是无理数实数【例2】、已知x是无理数，且(x +1)(x +3)是有理数，则下列叙述有（）个正确：（1）(x-1)(x-3)是无理数；（3）(x+2)2是有理数；（4）(x-1)2是无理数．x 2 是有理数；（2）（A）2 （B）3 （C）4 （D）1 （E）0【例3】、化简(3 + 2 )2019 (3 - 2 )2021 的结果为（）．（A） 5 - 2 3 （B）5 - 6 （C） 6 - 2 6（D）5 + 2 6 （E） 5 - 2 63、奇数、偶数3.1：奇数、偶数的概念：两两一组无剩余，偶数；两两一组有剩余，奇数3.2：奇数：末位为1、3、5、7、9偶数：末位为0、2、4、6、83.3：间隔式排布3.4：运算【例4】：在1、2、3⋯2020 数字前任意添加+、—，其结果为（奇数/偶数）4、质数、合数4.1：质数：一个数的约数只有1 和它本身合数：一个数的约数除了1 和它本身外，还有其他的约数4.2：1 既不是质数也不是合数【例5】、记不超过15的质数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（）．（A）5 （B）7 （C）8 （D）11 （E）6【例6】、20 以内的质数中，两个质数之和还是质数的共有（）种．（A）2 （B）3 （C）4 （D）5 （E）6【例7】、某人左右两手分别握了若干颗石子，左手中石子数乘3 加上右手中石子数乘4 之和为29，则右手中石子数为（）．（A）奇数（B）偶数（C）质数（D）合数（E）以上结论均不正确5、约数、倍数【例8】、三个质数的积是其和的7 倍，求这三个质数6、互质数：如果两个数的公约数只有 1，则称这两个数为互质数。

7、最大公约数、最小公倍数a =(a, b)⋅c ，b =(a, b)⋅d ，则[a, b]=(a, b)⋅c ⋅d ；ab =[a, b](a, b)【例9】、两个正整数的最大公约数是6，最小公倍数是210，满足条件的两个正整数组成的大数在前的数对共有（）。

（A）0 对（B）1 对（C）2 对（D）3 对（E）以上都不对【例10】、有三根铁丝，长度分别是120 厘米、180 厘米和300 厘米．现在要把它们截成相1+ 2 2 + 33+2等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长为 a 厘米，一共可以截成 b 段，则 a + b =（ ）．（A ）55 （B ）65 （C ）60 （D ）70 （E ）75 【例 11】、甲每 5 天进城一次，乙每 9 天进城一次，丙每 12 天进城一次，某天三人在城里相遇，那么下次相遇至少要（ ）．（A ）60 天 （B ）180 天 （C ）270 天 （D ）300 天 （E ）360 天8、三个基本概念1、相反数：两个实数的和为零，则称两个数互为相反数。

2、倒数：两个实数的积为 1，则称两个数互为倒数。

3、算数平方根：非负实数的非负平方根。

9、实数的运算p 1q ap= aq= a - p 、a p1 = 1 - 1 ；n (n + 1) n n + 11 = 1 ( 1 - 1 )n (n + k ) k n n + k【 例 12 】、 1+ 1 + 1++1=（ ）1⨯ 2 2⨯ 3 3⨯ 42020⨯ 2021A.20202021B.2019 2021C.2019 2020D.2021 2020 E. 1 【例 13】、( 1+1 + 1 + + 2020 + 2021 )(1 + 2021) = （ ）A. 2019B. 2020C. 2021D. 1011E. 101010、整除及带余数问题10.1 ：数字整除的判定 10.2 ：带余除法 【例 14】、正整数 N 的 8 倍与 5 倍之和，除以 10 的余数为 9，则 N 的最末一位数字为（ ）．（A ）2 （B ）3 （C ）5 （D ）9 （E ）7【例 15】、一个盒子装有不多于 200 颗糖，每次 2 颗，3 颗，4 颗或 6 颗的取出，最终盒内都只剩下一颗糖，如果每次以 11 颗的取出，那么正好取完，则盒子里共有 m 颗糖，m 的各个数位之和为（ ）．（A ）8 （B ）10 （C ）4 （D ）12 （E ）6 【例 16】、一盒围棋子，4 只 4 只数多 3 只，6 只 6 只数多 5 只，15 只 15 只数多 14 只，这盒围棋子在 150~200 之间．则这盒围棋子 11 只的数，最后余（ ）只．（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 （E ）6【例17】、有一个四位数，它被131 除，余数为13，被132 除，余数为130，则此四位数，则此四位数各数位的数字之和为（）A. 23B. 24C. 25D. 26E. 2711、循环小数化分数【例18】、纯循环小数0.abc 写成最简分数时，分子与分母之和是58，这个循环小数是（）．（A）0.567（B）0.537（C）0.517（D）0.569（E）0.56212、［x］和｛x｝的问题第二章比与比例、绝对值、平均值第一节：比与比例1、比的定义：两个数相除，又称为这两个数的比。

即a : b = a(b ≠ 0) b2、比的基本性质： a : b =pa : pb( p ≠ 0) a : b =n ⇒a =bn3、比例的定义4、比例中项：当a : b =b : c 时，称b 为a, c 的比例中项5、比例的性质1、更比定理：a=c⇔a=b b dc d2、反比定理：a=c⇔b=d b d a c3、合比定理：a=c b d4、分比定理：a=cb d⇔a +bb⇔a -bb=c +dd=c -dd5、合分比定理：a=c⇔a +b=c +d b d a -b c -d6、增减性定理（a, b > 0 ）a> 1 b a +m<ab +m b( m >0)0 <a< 1ba +m>ab +m b( m >0)cx ⎨-1, x < 0 ⎪-⎪7、等比定理：a=c=eb d f=a +c +eb +d +f，其中b +d +f ≠ 0【例1】设1 : 1 : 1 = 4 : 5 : 6 ，则使x +y +z = 74 成立的y值是（）．x y z（A）24 （B）36 （C）743（D）372（E）26【例2】若非零实数a，b，c，d 满足等式a=b=c=d=n ，则n的值为（）．b +c +d a +c +d a +b +d a +b +c（A）-1或14（B）13（C）14（D）-1 （E）-1或13第二节：绝对值1、绝对值的定义（1）a⎧a , a >0=⎨0 , a =0⎩ a , a <0（2）a = 0 ⇔ a = 0 a =a ⇔a ≥ 0 ；a =-a ⇔a ≤ 0（3）遇到绝对值，去掉绝对值2、绝对值的非负性（1）⎪a⎪表示数轴上实数 a 对应的点到原点的距离，可以说距离就是绝对值。

（2）若干个非负数的和为0 时，只有这若干个非负数同时为0。

（3）a +b2 += 0 ⇒a =b =c = 0【例1】设x、y、z满足3x+y-z-2+(2x+y-z)2=求x+y+z的值为（）．，试（A）4006 （B）4004 （C）4012 （D）4016 （E）40023、自反性=x=⎧1, x > 0x ⎩ （1）只能取值±1 x（2）最大值为 1，最小值为-1a b 【例 2】： -= -2ab（1）a 〈 0（2）b 〉 0【例 3）．（A ）1 （B ） -1（C ） ±1 （D ） 1 3 （E ） 1 24、三角不等式定理与应用（1）-|a| ≤ a ≤ |a|，即任意实数的绝对值不小于它自身，而绝对值的相反数不大于它自身。

当且仅当 a≤（≥） 0 时，左（右）边等号成立。

（2）三角不等式， |a + b| ≤ |a| + |b|等号成立的条件：ab ≥ 0 |a - b| ≤ |a| + |b|等号成立的条件：ab ≤0【例 4】已知 2x -a ≤1， 2x - y ≤1，则 y -a 的最大值为（）．（A ）1（B ）3（C ）2（D ）4（E ）5【例 5】已知x ∈[2,5]， a =5-x ， b = x -2，则 b -a 的取值范围是（）．（A ） [-3,5] （B ） [0,5] （C ） [1,3]（D ） [3,5]（E ） [0,3]5、特殊的绝对值函数（1）形如 x - a + x - b 的最小值为 a - b 无最大值，在 x ∈ [a ,b ]取到最值（2）形如 x - a - x - b 的最大值 a - b 与最小值- a - b ，在 x ≤ a 或 x ≥ b 取到最值【例 6】 若不等式 x -1 + x - 3 < a 的解集是空集，则 a 的取值范围是第三节：平均值1、平均值定义（1）算术平均值：n 个实数 x ,x ,......,x 的算术平均值 x =x 1 + x 2 + ...... + x n12nn++= 1，则⎫2021 ⎛ ⋅⎫⎝ ⎪ ÷ ⎭（2）几何平均值：n个正实数x1,x2,......,xn的几何平均值Xg=，注意：几何平均值只对正实数有定义，而算术平均值对任何实数都有定义。

【例1】三个实数1，x-2和x的几何平均值等于4，5和-3的算术平均值，则x的值为（）．（A）-2 （B）4 （C）2 （D）-2或4 （E）2 或42、基本定理：当x1,x2,......,x n为n个正实数时，它们的算术平均值不小于它们的几何平均值，即x1+x2+ ...... +xn ≥(x > 0, i= 1,..., n )n i当且仅当x1 =x2 = ...... =x n 时，等号成立。