目录第一章概率论的基本概念 (1)1 随机试验 (1)2.样本空间、随机事件 (1)3.频率和概率 (2)4．等可能概型（古典概型） (3)5.条件概率 (4)6.独立性 (5)第二章随机变量及其分布 (5)1. 随机变量 (5)2. 离散型随机变量及其分布律 (6)3.随机变量的分布函数 (7)4.连续型随机变量及其概率密度 (8)5.随机变量的函数分布 (9)第三章多维随机变量及其分布 (9)1.二维随机变量 (9)2.边缘分布 (11)3.条件分布 (11)4.相互独立的随机变量 (13)5.两个随机变量函数的分布 (13)第四章随机变量的数字特征 (14)1. 数学期望 (14)2. 方差 (16)3. 协方差及相关系数 (17)4.矩、协方差矩阵 (18)第五章大数定律和中心极限定理 (19)1. 大数定律 (19)2.中心极限定理 (20)第六章样本及抽样分布......................................... 错误!未定义书签。

第七章参数估计 .................................................... 错误!未定义书签。

第八章假设检验 .................................................... 错误!未定义书签。

第九章回归分析 .................................................... 错误!未定义书签。

参考文献 .................................................................. 错误!未定义书签。

第一章 概率论的基本概念1 随机试验1.对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验.2.随机试验E 的所有结果构成的集合称为E 的样本空间，记为{}S e =， 称S 中的元素e 为基本事件或样本点.3.可以在相同的条件下进行相同的实验；每次实验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果；进行一次试验之前不能确定哪一个结果会实现.2.样本空间、随机事件1.对于随机试验，尽管在每次试验之前不能预知试验结果，但试验的所有可能结果组成的集合是已知的.我们将随机试验E 的所有可能结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本空间的元素，即E 的每个结果称为样本点.2.一般我们称S 的子集A 为E 的随机事件A ，当且仅当A 所包含的一个样本点发生称事件A 发生.如果将S 亦视作事件，则每次试验S 总是发生，故又称S 为必然事件。

为方便起见，记φ为不可能事件，φ不包含任何样本点.3.若A B ⊂，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必导致事件的发生。

若A B ⊂且B A ⊂，即A B =，则称事件A 与事件B 相等.4.和事件{}A B x x A x A A B =∈∈或：与至少有一发生.5.当AB φ=时，称事件A 与B 不相容的，或互斥的.这指事件A 与事件B 不能同时发生.基本事件是两两互不相容的.,{,{,,A A S A A SA A AB AA AB ===∅=∅的逆事件记为若则称互逆，互斥.6.,A B A B A B AB 当且仅当同时发生时，事件发生.也记作. ,A B A B A B AB 当且仅当同时发生时，事件发生,也记作.7. 事件 A 的对立事件：设 A 表示事件 “A 出现”, 则“事件 A 不出现”称为事件 A 的对立事件或逆事件.事件间的运算规律：,,, A B C 设为事件则有,A B B A AB BA ==（１）交换律：()(),A B C A B C =（２）结合律：()()AB C A BC = ()()()A B C A C B C ACBC ==（３）分配律： ,de Morgan A B A B A B A B ==（４）律： 3.频率和概率1.记()A n n f A n= ()A n A f A A n --其中n 发生的次数（频数）；n 总试验次数.称为在这次试验中发生的频率.频率反映了事件A 发生的频繁程度. 2.频率的性质：10()12()1n n kkf A f S ≤≤=。

。

()n f A3.当重复试验次数n 逐渐增大时，频率 呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数.这种“频率稳定性”即通常所说的统计规律性.我们让试验重复大量次数，计算频率以它来表征事件A 发生可能性的大小是合适的.随n 的增大渐趋稳定，记稳定值为p . 的稳定值p 定义为A 的概率，记为()P A p =.4.概率定义：设E 是随机试验，S 是它的样本空间.对于E 的每一个事件A 赋予一个实数，记为()P A ，称为事件A 的概率.满足下列条件:(1) 非负性：对于每一个事件A ,有()0;P A ≥(2) 规范性：对于必然事件S ,有()1;P S =(3) 可列可加性：设12,,A A 是两两相互不相容的事件，即对于i j ≠，i j A A φ=，,1,2i j =，则有()()()1212P A A P A P A =++ ；5.概率定义推得的重要性质.（1）()0P φ=（2）有限可加性 若123A A A A n 是两两互不相容的事件 则有()()1212A A A ()()n n P P A P A P A =++（3）对于任一事件()P A ≤1（4）对于任一事件A 有 ()()1P A P A =-(5) ()()()()P A B P A P B P AB =+-4．等可能概型（古典概型）1.当试验的样本空间只含有有限个元素，并且试验中每个基本事件发()n f A ()n f A ()n f A ()n f A生的可能性相同，具有这样特点的试验是大量存在的，则称这种试验为等可能概型.它在概率论发展初期曾是主要的研究对象，所以也称为等可能概型.2. (){}()1A j k i j k A P P e n ====∑包含的基本事件数S 中基本事件的总数即是等可能概型中事件A 的概率的计算公式.5.条件概率1. 条件概率定义：设,A B 是两个事件,且()0P A >，称()()()P AB P B A P A = 为在A 事件发生条件下B 事件发生的条件概率.2.符合条件概率的三个条件，即：（1）非负性 对于每一事件B , 有 ()A 0P B ≥（2）规范性 对于必然事件S ，有 ()A 1P S =（3）可列可加性 设12B B 是两两互不相容的事件，则有()11i i i i P B A P B A ∞∞==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑ 3. 乘法定理：设()A 0P >，则有 ()()()AB P P B A P A =推广: 一般设 12n A A A 为n 个事件，2n ≥，且()1210n P A A A ->有 121211122211()()()()()n n n n n P A A A P A A A A P A A A A P A A P A ---=⨯. 4.全概率公式：设试验E 的样本空间为S ，A 为E 的事件,12,,....,n B B B 为S 的一个划分，且()0(1,2,...,)i P B i n >=，则()()()()()()()1122n n P A P A B P B P A B P B P A B P B =+++5.贝叶斯公式：设试验E 的样本空间为S，A 为E 的事件,12,,....,n B B B 为S 的一个划分，且()0(1,2,...,)i P B i n >=，则()()()()()1i i i n j jj P A B P B P B A P A B P B ==∑6.独立性1.定义：设,A B 是两事件，如果满足等式()()()P AB P A P B =，则称事件,A B 相互独立，简称,A B 独立.若()0,()0P A P B >>,则,A B 相互独立与,A B 互不相容不能同时成立.2. 定理一：设,A B 是两事件，且()A P >0，若,A B 相互独立，则()P B A =()P B .反之亦然.3.定理二：若事件A 与B 相互独立则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立.4.推广定义：设,,A B C 是三个事件，如果满足等式()()()P AB P A P B =,()()()P BC P B P C =，()()()P AC P A P C =,()()()()P ABC P A P B P C =则称事件,,A B C 相互独立.5.第二章 随机变量及其分布1. 随机变量1.定义：设随机试验的样本空间{}{},S e X X e ==是定义在样本空()()()()()()()()()()(),,,,1A B A B A B A B P AB P A P B P AB P A AB P A P AB P A P B P A P B ⇔⇔⇔=⋅=-=-=-=⎡⎤⎣⎦相互独立相互独立相互独立相互独立当时间S 上的实值单值函数，称{}X X e =为随机变量.常见的两类随机变量{离散型连续型.2.本书中一般以大写字母如,,,,...X Y Z W 表示随机变量，而以小写字母,,,,...x y z w 表示实数.2. 离散型随机变量及其分布律1.定义：有些随机变量，它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个，这种随机变量称为离散型随机变量.2.定义：取值可数的随机变量为离散量.X 一般地，设离散型随机变量所有可能取的值为(1,2,)kx k =⋅⋅⋅⋅ x 取各个可能值的概率论，即事件的概率为{},1,2,k k P X x p k ===⋅⋅⋅称为离散型随机变量X 的分布律。

k p 满足如下两个条件：（1）0k p ≥ （2）11k k p ∞==∑3.（0－1）分布设随机变量X 只可能取0与1两个值,它的分布律是，则称 X 服从（0－1）分布或两点分布.（0－1）分布的分布律也可写成4.设试验只有两个可能结果：A 及A , 则称E为伯努利试验．设)1,10(1,0,}{1=+<<===-q p p k q p k X P k k()(01)P A p p =<<，此时()1P A p =-,将E 独立重复地进行n 次，则称这一串重复的独立试验为n 重伯努利试验.k k n k n C p q -刚好是二项式()n p q +的展开式中出现k P 的那一项，故称随机变量X 服从参数,n p 的二项分布，记为~(,)X B n p .特别，当1n =时二项分布化为{}1,0,1k k P X k p q k -===，这就是（0-1）分布.5.泊松分布设随机变量X 所有可能取值为0,1,2…..而取各个值的概率为0λ>其中是常数， . 3.随机变量的分布函数1. 分布函数的定义设X 是一个连续随机变量，称()()()F x p X x x =≤-∞<<+∞为 X 的分布函数.X 是随机变量, x 是自变量.由定义，对任意实数 12x x <，随机点落在区间(]12,x x 的概率为：{}{}{}122121()()P x X x P X x P X x F x F x <<=≤-≤=-.2. 分布函数性质1212(1)0()1,(,)(2)()(),()()F x x F x F x x x ≤≤∈-∞∞≤<单调不减性 000(3)()lim ()0,()lim ()1(4)lim (),()x x x x F F x F F x F x x +→-∞→∞→-∞==∞===-∞<<∞即任一分布函数处处右连续.{}012k k n k n P X k C p q k n-===，，，，，{}！k k X P k λλ-==e ，，，， 210=k X λ则称服从参数为的泊松分布，~()X P λ记为3.公式4.连续型随机变量及其概率密度1.如果对于随机变量X 的分布函数()F x ，存在非负函数()f x ，使对任意实数x 有()()xF x f t dt -∞=⎰，则称X 为连续型随机变量，其中函数()f x 称为X 的概率密度函数简称概率密度。